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Full text of "Wissenschaft und Hypothese: Autorisierte deutsche Ausgabe mit erläuternden Anmerkungen"

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H. P0INCAR6 

WISSENSCHAFT UND 

HYPOTHESE 

DEUTSCH 

TO» F. mn> L. UNDEMANN 



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QilS 



ENGINttKlNÜ ÜBRARY 



HENRI POINCARE 

MEMBRE DE L*INSTITÜT 

WISSENSCHAFT UND 
HYPOTHESE 



AUTORISIERTE DEUTSCHE AUSGABE 
MIT ERLÄUTERNDEN ANMERKUNGEN 



VON 



F. UND L. LINDEMANN 




LEIPZIG 

IDRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 

1904 



ALLE RECHTE, 
EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN, 



Vorwort 



Wenige Forscher sind sowohl in der reinen als in 
der angewandten Mathematik mit gleichem Erfolge 
schöpferisch tätig gewesen, wie der Verfasser des vor- 
liegenden Werkes. Niemand war daher mehr als er be- 
rufen, sich über das Wesen der mathematischen Schluß- 
weisen und den erkenntnistheoretischen Wert der mathe- 
matischen Physik im Zusammenhange zu äußern. Und 
wenn auch in diesen Gebieten die Ansichten des ein- 
zelnen zum Teil von subjektiver Beanlagung und Er- 
fahrung abhängen, werden doch die Entwicklungen des 
Verfassers überall ernste und volle Beachtung finden, 
um so mehr, als sich derselbe bemüht, auch einem weiteren, 
nicht ausschließlich mathematischen Leserkreise verständ- 
lich zu werden, und ihm dies durch passende und 
glänzend durchgeführte Beispiele in hohem Maße gelingt. 

Die Erörterungen erstrecken sich auf die Grundlagen 
der Arithmetik, die Grundbegriflfe der Geometrie, die 
Hypothesen und Definitionen der Mechanik und der 
ganzen theoretischen Physik sowohl in ihrer klassischen 
Form als in ihrer neuesten Entwicklung. 

In betreflf der gewonnenen Resultate muß auf das 
Werk selbst verwiesen werden. Um den Standpunkt des 
Verfassers zu bezeichnen, wird es genügen, einige charakte- 
ristische Sätze herauszugreifen, deren Gehalt man aller- 
dings nur im Zusammenhange des Ganzen erfassen wird: 

„Der Verstand hat von dieser Macht (d. i. der Geistes- 
kraft, welche überzeugt ist, sich die unendliche Wieder- 
holung eines und desselben Schrittes vorstellen zu können) 
eine direkte Anschauung, und die Erfahrung kann für 



rV Vorwort. 

ihn nur eine Gelegenheit sein, sich derselben zu bedienen 
und dadurch derselben bewußt zu werden" (S. 13). 

„Die geometrischen Axiome sind weder synthetische 
Urteile a priori noch experimentelle Tatsachen; es sind 
auf Übereinkommen beruhende Festsetzungen bez. ver- 
kleidete Definitionen. Die Geometrie ist keine Erfahrungs- 
wissenschaft; aber die Erfahrung leitet uns bei Aufstel- 
lung der Axiome; sie läßt uns nicht erkennen, welche 
Geometrie die richtige ist, wohl aber, welche die be- 
quemste ist. Es ist ebenso unvernünftig zu untersuchen, 
ob die fundamentalen Sätze der Geometrie richtig oder 
falsch sind, wie es unvernünftig wäre zu fragen, ob das 
metrische System richtig oder falsch ist" (S. 51, 73 u. 138). 

„Das Trägheitsgesetz, das in einigen besonderen 
Fällen erfahrungsmäßig bewiesen ist, kann ohne Furcht 
auf die allgemeinsten Fälle ausgedehnt werden, weil wir 
wissen, daß in diesen Fällen die Erfahrung das Gesetz 
weder bekräftigen noch entkräften kann" (S. gg). 

„Das Prinzip der Gleichheit von Wirkung und Gegen- 
wirkung darf nicht als ein experimentelles Gesetz, sondern 
muß als eine Definition angesehen werden" (S. 102). 

„Die Erfahrung kann den Prinzipien der Mechanik 
als Grundlage dienen und dennoch ihnen niemals wider- 
sprechen" (S. 107). 

„Die Prinzipien der Mechanik sind Übereinkommen 
und verkleidete Definitionen. Sie sind von experimen- 
tellen Gesetzen abgeleitet; diese Gesetze sind sozusagen 
als Prinzipe hingestellt, denen unser Verstand absolute 
Gültigkeit beilegt" (S. 140). 

„Wenn man das Prinzip von der Erhaltung der 
Energie in seiner ganzen Allgemeinheit aussprechen und 
auf das Universum anwenden will, so sieht man es sich 
sozusagen verflüchtigen, und es bleibt nichts übrig als der 
Satz: Es gibt ein Etwas, das konstant bleibt" (S. 134). 

„Das Experiment ist die einzige Quelle der Wahr- 



Vorwort. V 

heit; die mathematische Physik hat die Aufgabe, die 
Verallgemeinerung so zu leiten, daß der Nutzeffekt der 
Wissenschaft vermehrt wird" (S. 144). 

„Jede Verallgemeinerung setzt bis zu einem gewissen 
Grade den Glauben an die Einheit und die Einfach- 
heit der Natur voraus. Es >«8t nicht -«icher, daß die 
Natur einfach ist" (S. 152). 

„Die mathematische Wissenschaft hat nicht den Zweck, 
uns über die wahre Natur der Dinge aufzuklären. Ihr 
einziges Ziel ist, die physikalischen Gesetze miteinander 
zu verbinden, welche die Erfahrung uns zwar erkennen 
ließ, die wir aber ohne mathematische Hilfe nicht aus- 
sprechen können" (S. 212). 

„Es kümmert uns wenig, ob der Äther wirklich 
existiert; wesentlich ist nur, daß alles sich abspielt, als 
wenn er existierte, und daß die Hypothese für die Er- 
klärung der Erscheinungen bequem ist" (ibid.). 

„Was die Wissenschaft erreichen kann, sind nicht 
die Dinge selbst, sondern es sind einzig die Beziehungen 
zwischen den Dingen; außerhalb dieser Beziehungen 
gibt es keine erkennbare Wirklichkeit" (S. XIII). 

Man wird bemerken, daß wir damit wieder auf Kants 
Ausspruch zurückkommen, wonach der Verstand die Ge- 
setze nicht aus der Natur schöpft, sondern sie dieser 
vorschreibt und die oberste Gesetzgebung der Natur in 
uns selbst, d. h. in unserm Verstände liegt, oder auf 
Goethes Wort: „Alles Vergängliche ist nur ein Gleich- 
nis", das man auf den gleichen Gedanken beziehen wird, 
wenn man sich die Relativität aller Erkenntnisse zum 
Bewußtsein bringt. Solchen allgemeinen Aussprüchen kommt 
eine hohe subjektive Bedeutung zu, denn sie befriedigen 
in gewissem Sinne unser Bedürfnis nach einem Abschlüsse 
der Forschung und Erkenntnis. Für den empirischen 
Forscher aber gibt es keinen derartigen Abschluß; jeder 
allgemeine Ausspruch bedarf für ihn der ständigen Prüfung 



VI Vorwort. 

an der Hand der Erfahrung und hat für ihn nur so lange 
Gültigkeit, als er sich in Übereinstinunung mit der Er- 
fahrung befindet, mag es sich um eine allgemeine Denk- 
notwendigkeit unseres Geistes oder um einen speziellen 
Lehrsatz der exakten Wissenschaft handeln. Denn für 
solche Erfahrung sind nicht nur die eigentlichen Be- 
obachtungen der Natur maßgebend, sondern auch die 
inneren Erfahrungen des menschlichen Verstandes. Nichts 
zeigt klarer, wie sehr der letztere der Ausbildung, der 
Verfeinerung und der Vervollkommnung fähig ist, als die 
Geschichte der Mathematik im letzten Jahrhundert. Die 
eigenen Schöpfungen des menschlichen Verstandes geben 
hier wieder das Erfahrungsmaterial, auf dem sich weitere 
Forschungen aufbauen; manche Wahrheit, die für alle 
Zeiten sicher begründet schien, wird heute in ihrer Gültig- 
keit beschränkt oder auf neue „einwandfreie" Weise er- 
schlossen ; und wir sind nicht sicher, daß nicht neue Zweifel 
und neue Einwände unsere Nachkommen zu erneuten An- 
strengungen in gleicher Richtung veranlassen werden. 

Auch wer sich nicht auf diesen rein empirischen 
Standpunkt stellt, wird das Bedürftiis empfinden, die 
leitenden Grundgedanken auf den oft verschlungenen 
Wegen der exakten Wissenschaften zu verfolgen, und er 
wird sich gern der Führung des Verfassers anvertrauen, 
um die üppig wuchernden Ranken beiseite zu biegen, 
die sich zwischen den festen Stämmen unserer Erkenntnis 
verbindend ausbreiten, und sich dadurch den freien Aus- 
blick zu wahren. Die scheinbar spielende Leichtigkeit, 
mit welcher dies Ziel durch den Verfasser meist erreicht 
wird, war es, wodurch wenigstens mein Interesse an dem 
Werke besonders geweckt wurde. 

Nicht so sehr auf die gewonnenen Resultate ist im 
vorliegenden Werke das Hauptgewicht zu legen, sondern 
auf die Methode der Behandlung; und die vom Ver- 
fasser befolgte Methode ist dieselbe, welche bei Er- 



Vorwort. VH 

forschung der Grundlagen von Geometrie und Arith- 
metik in den letzten Dezennien zu so reichen und vor- 
läufig befriedigenden Ergebnissen geführt hat. Sie besteht 
darin, daß man eine erfahrungsmäßig zulässige Hypothese, 
deren Zusammenhang mit andern Voraussetzungen zu 
untersuchen ist, durch eine Annahme ersetzt, die zwar 
auch unser logisches Denken befriedigt, aber nicht mit der 
Erfahrung in Einklang steht, und daß man dadurch die 
gegenseitige Abhängigkeit verschiedener Hypothesen oder 
Axiome zu evidenter Anschauung bringt. 

Dem Fachmann ist ein großer Teil der Entwicklungen 
(zumal der späteren Kapitel) aus anderen Schriften des 
Verfassers bekannt, aber auch ihm wird eine zusammen- 
fassende Darstellung willkommen sein. Ganz besonders 
gebe ich mich der Hoflfnung hin, daß in einer Zeit, wo so 
leicht der Sinn für den Zusammenhang unserer Erkenntnis 
unter der Hingabe an die Einzelforschung leidet, die nach- 
folgenden Darlegungen für die studierende Jugend erneut Ver- 
anlassung bieten mögen, sich dem Studium der Grundlagen 
und der Grundbegriflfe unserer Wissenschaft zu widmen. 

Zur Erreichung dieses Zieles habe ich der deutschen 
Ausgabe zahlreiche Anmerkungen hinzugefügt, die teils 
einzelne Stellen des Werkes näher erläutern, teils durch 
literarische Nachweisungen dem Leser die Mittel zu weiterem 
Studium der besprochenen Fragen an die Hand geben. 
Auf irgendwelche systematische Vollständigkeit kam es da- 
bei nicht an. Besonders dort konnten diese Bemerkungen 
kürzer gehalten werden, wo ich wegen weiterer Ausführungen 
auf andere Werke des Verfassers verweisen konnte. 

Wenn es gelungen sein sollte, der oft bilderreichen 
Sprache des Verfassers auch bei der Übertragung ins 
Deutsche gerecht zu werden, so hat daran meine Frau 
einen wesentlichen Anteil, indem sie die eigentlich tech- 
nische Arbeit der Übersetzung durchgeführt hat. 

München, im Januar 1904. F. Lindemann. 



Inhalt. 

Seite 

Vorwort III 

Einleitung XI 

Erster Teil: 

Zahl und Größe. 

Erstes Kapitel: Über die Natur der mathematischen 

Schlußweisen i 

Syllogistische Schlußweisen i 

Verifikation und Beweis 3 

Elemente der Arithmetik 5 

Algebraische Rechnung 9 

Rekurrierendes Verfahren ii 

Induktion 12 

Mathematische Konstruktion 14 

Zweites Kapitel: Die mathematische Größe und die 

Erfahrung 17 

Definition der inkommensurablen Zahlen 20 

Das physikalische Kontinuum 22 

Das mathematische Kontinuum 23 

Die meßbare Größe 28 

-Verschiedene Bemerkungen (Kurven ohne Tangenten) 29 

Das physikalische Kontinuum von mehreren Dimensionen 3 1 

Das mathematische Kontinuum von mehreren Dimensionen 3 4 

Zweiter Teil: 

Der Raum. 

Drittes Kapitel: Die nicht-Euklidische Geometrie . . 36 

Die Geometrie von Lobatschewsky 37 

Die Geometrie von Riemann 38 

Die Flächen konstanten Krümmungsmaßes 40 

Veranschaulichung der nicht-Euklidischen Geometrie . 42 

Die implizieten Axiome 44 

Die vierte Geometrie 47 

Der Lehrsatz von Lie 48 

Die Geometrien von Riemann 48 

Von der Natur der Axiome 49 



Inhalt. IX 

Seite 

Viertes Kapitel: Der Raum und die Geometrie ... 52 

Der geometrische Raum und der Vorstellungsraum . 53 

Der Gesichtsraum 54 

Der Tastraum und der Bewegungsraum 56 

Zustands- und Ortsveränderungen 59 

Bedingungen der Kompensation von Bewegungen . . 61 

Die festen Körper und die Geometrie ....... 62 

Das Gesetz der Homogenität 65 

Die nicht-Euklidische Welt ; . . 66 

Die vierdimensionale Welt 70 

Fünftes Kapitel: Die Erfahrung und die Geometrie . 73 

yOiQ Geometrie und die Astronomie 74 

Das Gesetz der Relativität 78 

Tragweite der Experimente 82 

Anhang (Was ist ein Punkt?) 86 

Dritter Teil: 
Die Kraft. 

Sechstes Kapitel: Die klassische Mechanik 91 

Das Prinzip der Trägheit 93 

Das Gesetz der Beschleunigung 99 

Die anthropomorphe Mechanik 108 

Die Schule des Fadens 109 

Siebentes Kapitel: Die relative und die absolute Be- 
wegung 113 

Das Prinzip der relativen Bewegung 113 

Die Schlußweise Newtons 115 

Achtes Kapitel: Energie und Thermodynamik. . . . 124 

Das energetische System 124 

Thermod3niamik 131 

Allgemeine Übersicht des dritten Teiles 138 

Vierter Teil: 

Die Natur. 

Neuntes Kapitel: Die Hypothesen in der Physik . . 142 

Die Rolle des Experimentes und der Verallgemeinerung 142 

Die Einheit der Natur 147 

Die Rolle der Hypothese 152 

Ursprung der mathematischen Physik 155 

Zehntes Kapitel: Die Theorien der modernen Physik 161 

y^ Die Bedeutung der physikalischen Theorien .... 161 

Die Physik und der Mechanismus 168 

Der gegenwärtige Zustand der Wissenschaft .... 173 

y Elftes Kapitel: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung . 183 

Einteilung der Wahrscheinlichkeitsprobleme .... 189 



X Inhalt. 

Seite 
Die Wahrscheinlichkeit in den mathematischen Wissen- 
schaften 192 

Die Wahrscheinlichkeit in den physikalischen Wissen- 
schaften 196 

Rouge et noir 202 

Die Wahrscheinlichkeit der Ursachen 204 

Die Theorie der Fehler 207 

Schlußfolgerungen 210 

Zwölftes Kapitel: Optik und Elektrizität 211 

Die Fresnelsche Theorie 211 

Die Maxwellsche Theorie 213 

Die mechanische Erklärung der physikalischen Er- 
scheinungen 216 

Dreizehntes Kapitel: Die Elektrodynamik 224 

Die Amp^resche Theorie 225 

I. Wirkung geschlossener Ströme 227 

n. Wirkung eines geschlossenen Stromes auf einen 

Stromteil 228 

m. Stetige Rotationen 230 

rV. Gegenseitige Wirkung zweier offenen Ströme. 231 

V. Induktion 234 

Die Helmholtzsche Theorie 235 

Die diesen Theorien anhaftenden Schwierigkeiten . . 238 

Die Maxwellsche Theorie 239 

/ Die Rowlandschen Experimente 240 

Die Lorentzsche Theorie 242 

Erläuternde Anmerkungen]^(von,F. Lindemann) . . . 245 

Verbesserungen. 

lies „entnehmen" statt „nehmen", 
lies „dem" statt „demselben", 
lies „nur" statt „nicht". 
Es ist hier auf die Anmerkung 56) zu 
verweisen. 

lies „auszuscheiden" statt „auszu- 
schneiden". 

lies „welcher" statt „welche", 
lies „Hysteresis" statt „Hysterisis". 
lies „Schon vor" statt „Vor". 
Vor dem Worte „Gefahr" ist das Wort 
„keineswegs" einzuschalten. 



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Einleitung. 



Für einen oberflächlichen Beobachter ist die wissen- 
schaftliche Wahrheit über jeden Zweifel erhaben; die 
wissenschaftliche Logik ist unfehlbar, und wenn die Ge- 
lehrten sich hie und da täuschen, so geschieht es nur, 
weil sie die Regeln der Logik verkannten. 

„Die mathematischen Wahrheiten werden durch eine 
Kette untrüglicher Schlüsse aus einer kleinen Anzahl 
evidenter Sätze abgeleitet; sie drängen sich nicht nur 
uns, sondern der ganzen Natur auf. Sie fesseln sozu- 
sagen den Schöpfer und gestatten ihm nur zwischen 
einigen verhältnismäßig wenig zahlreichen Lösungen zu 
wählen. Einige Experimente werden dann genügen, um 
zu erfahren, welche Wahl er getroffen hat. Aus jedem 
Experimente können durch eine Reihe mathematischer 
Deduktionen eine Menge Folgerungen hervorgehen, und 
auf diese Weise läßt uns jedes Experiment einen Winkel 
<ies Weltalls erkennen." 

So ungefähr denken sich viele Leute, besonders die 
Schüler, welche die ersten physikalischen Begriflfe kennen 
lernen, den Ursprung der wissenschaftlichen Gewißheit. 
So fassen sie die Rolle des Experimentes und der Mathe- 
matik auf. Und dieselbe Auffassung hatten vor hundert 
Jahren viele Grelehrte, welche in ihren Träumen die 
Welt konstruieren und dabei der Erfahrung mögHchst 
wenige Materialien entlehnen wollten. 

Als man ein wenig mehr nachdachte, bemerkte man, 
«in wie großer Platz der Hypothese eingeräumt war; man 



Xn EinleituDg. 

sah, wie der Mathematiker ihrer nicht entraten kann und 
wie der Experimentator sie noch weniger missen kann. 
Darauf fragte man sich, ob wohl dieses Gebäude solid 
genug wäre, und man glaubte, daß ein Hauch es stürzen 
könnte. Derartig skeptisch urteilen, hieße oberflächlich 
sein. Entweder alles anzweifeln oder alles glauben, 
das sind zwei gleich bequeme Lösungen; die eine wie 
die andere erspart uns das Denken. 

Anstatt eine summarische Verurteilung auszusprechen,. 
müssen wir mit Sorgfalt die Rolle der Hypothese prüfen; 
wir werden dann erkennen, daß sie notwendig und 
ihrem Inhalte nach berechtigt ist. Wir werden dann 
auch sehen, daß es mehrere Arten von Hj^othesen gibt, 
daß die einen verifizierbar sind und, einmal vom Experi- 
mente bestätigt, zu jfruchtbringenden Wahrheiten werden ; 
daß die anderen, ohne uns irrezuführen, uns nützlich 
werden können, indem sie unseren Gedanken eine feste 
Stütze geben; daß schließlich noch andere nur schein- 
bare Hypothesen sind und sich auf Definitionen oder ver- 
kleidete Übereinkommen und Festsetzungen zurückführen 
lassen. 

Diese letzteren finden wir hauptsächlich in der Mathe- 
matik und in den ihr verwandten Wissenschaften. Ge- 
rade hieraus schöpfen diese Wissenschaften ihre Strenge; 
diese Übereinkommen sind das Werk der freien Tätig- 
keit unseres Verstandes, der in diesem Gebiete kein 
Hindernis kennt. Hier kann unser Verstand behaupten, 
weil er befiehlt; aber verstehen wir uns recht: diese Be- 
fehle beziehen sich auf unsere Wissenschaft, welche 
ohne dieselben unmöglich wäre; sie beziehen sich nicht 
auf die Natur. Sind diese Befehle nun willkürlich? 
Nein, denn sonst würden sie unfruchtbar sein. Das 
Experiment läßt uns freie Wahl, aber es leitet diese 
Wahl, indem es uns hilft, den bequemsten Weg einzu- 
schlagen. Unsere Befehle werden also gleich denen. 



Einleitung. XIH 

«ines absoluten, aber weisen Fürsten sein, der zuerst 
meinen Staatsrat befragt. 

Manche sind darüber verwundert, daß man gewissen 
fundamentalen Prinzipien der Wissenschaft den Charakter 
freier konventioneller Festsetzungen beilegen soll. Sie 
haben übermäßig verallgemeinem wollen und dabei ver- 
gessen, daß Freiheit nicht Willkür ist. Sie gelangten so 
zu dem sogenannten „Nominalismus" und sie fragten 
5ich, ob der Gelehrte sich nicht durch seine Definitionen 
betrügen läßt und ob die Welt, die er zu entdecken 
glaubt, nicht einfach nur durch die Willkür seiner Laune 
geschaffen ist.*) Bei diesem Standpunkte wäre die 
Wissenschaft sicher begründet, aber sie wäre ihrer Trag- 
weite beraubt. 

Wenn dem so wäre, so wäre die Wissenschaft ohn- 
mächtig. Nun haben wir aber jeden Tag ihren Einfluß 
vor Augen. Das könnte nicht der Fall sein, wenn sie 
uns nicht etwas Reelles erkennen ließe; aber was sie 
erreichen kann, sind nicht die Dinge selbst, wie die 
naiven Dogmatiker meinen, sondern es sind einzig die 
Beziehungen zwischen den Dingen; außerhalb dieser Be- 
ziehungen gibt es keine erkennbare Wirklichkeit. 

Zu dieser Erkenntnis werden wir gelangen, aber bis 
wir so weit sind, müssen wir die Reihe der Wissen- 
schaften, von der Arithmetik und der Geometrie an bis 
2UT Mechanik und experimentellen Physik, durchgehen. 

Welcher Art ist die Natur der mathematischen Schluß- 
weise? Ist sie, wie man gewöhnlich glaubt, wirklich 
deduktiv? Eine tiefergehende Analyse zeigt uns, daß 
sie es nicht ist, daß sie in gewissem Grade an der 
Natur der induktiven Schlußweise Anteil hat und gerade 
dadurch so fruchtbringend ist. Sie bewahrt deshalb 



*) Vergl. Le Roy, Science et Philosophie (Revue de M6ta- 
physique et de Morale 1901). 



XIV Einleitung. 

nicht weniger ihren Charakter absoluter Genauigkeit; das 
haben wir zuerst zu zeigen. 

Indem wir jetzt eines der Hilfsmittel genauer kennen, 
welches die Mathematik dem Forscher an die Hand 
gibt, haben wir einen anderen fundamentalen Begriff zu 
analysieren, nämlich denjenigen der mathematischen 
Größe. Finden wir sie in der Natur vor oder sind wir 
es, die sie in die Natur hineinlegen? Riskieren wir 
nicht im letzteren Falle, alles zu verderben? Wenn wir 
die grob organisierten Angaben unserer Sinne mit dieser 
außerordentlich komplizierten und feinen Vorstellung ver- 
gleichen, welche die Mathematiker als Größe bezeichnen, 
so müssen wir gezwungenermaßen einen Unterschied be- 
merken; diesen Rahmen, in welchen wir alles einfügen 
wollen, haben wir selbst hergestellt; aber wir haben ihn 
nicht auf gut Glück gemacht, wir haben ihn sozusagen 
nach Maß angefertigt und darum können wir die Tat- 
sachen hineinbringen, ohne ihrer Natur das Wesentliche 
zu nehmen. 

Ein anderer Rahmen, den wir der Welt anpassen, 
ist der Raum. Woher stammen die ersten Grundlagen 
der Geometrie? Sind sie uns durch die Logik auferlegt? 
Lobatschewsky hat das Gegenteil bewiesen, indem er 
die nicht-Euklidische Geometrie schuf. Ist der Raum 
uns durch unsere Sinne oflfenbart? Ebenfalls nicht, denn 
der Raum, den uns unsere Sinne zeigen können, unter- 
scheidet sich absolut von dem geometrischen Räume. 
Hat die Geometrie ihren Ursprung in der Erfahrung? 
Eine gründlichere Erörterung zeigt uns, daß dies nicht 
der Fall ist. Wir schlußfolgern also, daß die Grund- 
lagen nur Übereinkommen sind; aber diese Überein- 
kommen sind nicht willkürlich, und wenn wir in eine 
andere Welt versetzt würden, welche ich die nicht- 
Euklidische Welt nenne und die ich mir vorzustellen ver- 
suche, so müßten wir zu anderen Übereinkommen gelangen^ 



Einleitung. XV 

In der Mechanik werden wir zu analogen Schluß- 
sätzen gefuhrt und wir sehen, daß die Prinzipe dieser 
Wissenschaft, obgleich sie sich direkt auf das Experiment 
stützen, ebenfalls an dem konventionellen Charakter der 
geometrischen Postulate beteiligt sind. Bis hier triumphiert 
der Nominalismus, aber wir kommen zu den eigentlichen 
physikalischen Wissenschaften. Da ändert sich das 
Schauspiel; wir treflfen eine andere Art von Hypothesen 
und wir sehen deren ganze Fruchtbarkeit. Ohne Zweifel 
erschienen uns zuerst die Theorien hinfallig, und die 
Geschichte der Wissenschaft beweist uns, daß sie ver- 
gänglich sind: sie sind aber dennoch nicht ganz ver- 
gangen, von jeder ist etwas übriggeblieben. Dieses 
Etwas muß man sich bemühen herauszusuchen, weil nur 
dieses und dieses allein der Wirklichkeit wahrhaft ent- 
spricht. 

Die Methode der physikalischen Wissenschaften be- 
ruht auf der Induktion, welche uns die Wiederholung 
einer Erscheinung erwarten läßt, wenn die Umstände 
sich wiederholen, unter welchen sie sich das erste Mal 
darbot. Wenn alle diese Umstände sich auf einmal 
wiederholen könnten, so könnte dieses Prinzip ohne Ge- 
fahr angewendet werden: aber das wird niemals vor- 
kommen; einige dieser Umstände werden immer fehlen. 
Sind wir absolut sicher, daß sie ohne Wichtigkeit sind? 
Gewiß nicht. Das kann wahrscheinlich sein, es kann 
aber nicht wirklich gewiß sein. Darum spielt der Be- 
griflf der Wahrscheinlichkeit eine bedeutende Rolle in 
den physikalischen Wissenschaften. Die Wahrscheinlich- 
keitsrechnung ist also nicht nur ein Zeitvertreib oder ein 
Führer für die Baccaratspieler, und wir müssen ver- 
suchen, ihre Prinzipe fester zu begründen. In dieser 
Beziehung kann ich nur unvoUkonmiene Resultate geben; 
so sehr widerstrebt der unbestimmte Instinkt, welcher uns 
den Begriflf der Wahrscheinlichkeit fassen läßt, der Analyse. 



XVI EinleituDg. 

Nachdem wir die Bedingungen, unter welchen der 
Physiker arbeitet, studiert haben, hielt ich es für richtig, 
ihn dem Leser bei der Arbeit zu zeigen. Dazu nahm 
ich einige Beispiele aus der Geschichte der Optik und 
derjenigen der Elektrizität. Wir werden sehen, von wo 
die Ideen Fresnels und diejenigen Maxwells ausgegangen 
sind, und welche unbewußten Hypothesen Ampere und 
die anderen Begründer der Elektrodynamik machten. 

H. P. 



Erster Teil. 
Zahl und Größe. 

Erstes Kapitel. 
Ober die Natur der mathematischen Schlußweisen. 

I. 

Die Möglichkeit der Existenz einer mathematischen 
Wissenschaft scheint ein unlösbarer Widerspruch in sich 
zu sein. Wenn diese Wissenschaft nur scheinbar deduktiv 
ist, woher kommt ihr dann diese vollkommene Un- 
widerlegbarkeit, welche niemand zu bezweifeln wagt? 
Wenn im Gregenteil alle Behauptungen, welche sie auf- 
stellt, sich auseinander durch die formale Logik ab- 
leiten lassen, warum besteht die Mathematik dann nicht 
in einer ungeheueren Tautologie? Der logische Schluß 
kann uns nichts wesentlich Neues lehren, und wenn alles 
vom Prinzipe der Identität ausgehen soll, so müßte auch 
alles darauf zurückzuführen sein. Dann müßte man also 
zugeben, daß alle diese Lehrsätze, welche so viele Bände 
füllen, nichts anderes lehren, als auf Umwegen zu 
sagen, daß A gleich A ist. 

Man kann ohne Zweifel zu den Axiomen zurück- 
gehen, welche an der Quelle aller dieser Betrachtungen 
stehen. Wenn man meint, sie auf das Prinzip des 
Widerspruches nicht zurückfuhren zu können, wenn man 
noch weniger in ihnen erfahrungsmäßige Tatsachen sehen 
will, welche an der mathematischen Notwendigkeit keinen 
Anteil haben, so hat man doch noch immer den Aus- 

Poincar^y Wissenschaft und Hypothese. I 



2 I, I. Mathematische Schlnßweisen. 

weg, sie den synthetischen Urteilen a priori einzureihen. 
Das heißt aber nicht, die Schwierigkeit lösen, sondern 
ihr nur einen Namen geben; und wenn selbst die Natur 
der sjrnthetischen Urteile für uns kein Geheimnis wäre, 
so würde der Widerspruch nicht hinfallig, er würde nur 
hinausgeschoben; die syllogistische Beweisführung bleibt 
unfähig, den gegebenen Voraussetzungen irgend etwas 
hinzuzufügen; diese Voraussetzungen reduzieren sich auf 
einige Axiome, und man könnte in den Folgerungen 
nichts anderes wiederfinden. 

Kein Lehrsatz würde neu sein, bei dessen Beweis 
nicht ein neues Axiom in Frage käme. Die logische 
Durchführung könnte uns nur die unmittelbar evidenten 
Wahrheiten geben, welche der direkten Anschauung ent- 
lehnt sind. Sie wäre nichts anderes als ein überflüssiges 
Zwischenglied der Betrachtung; und würde man auf diese 
Weise nicht dahin kommen sich zu fragen, ob dieser 
ganze syllogistische Apparat nur dazu dient, um zu ver- 
schleiern, inwieweit wir der Anschauung etwas ent- 
lehnt haben? 

Der Widerspruch wird uns noch mehr auffallen, wenn 
wir irgend ein mathematisches Buch aufschlagen; auf 
jeder Seite wird der Verfasser die Absicht ankündigen, 
einen schon bekannten Satz zu verallgemeinem. Kommt 
dieses nun daher, daß die mathematische Methode vom 
Besonderen zum Allgemeinen fortschreitet, und wie kann 
man sie dann deduktiv nennen? 

Wenn endlich die Wissenschaft der Zahl rein ana- 
lytisch wäre, oder wenn sie von einer kleinen Anzahl 
synthetischer Urteile nach analytischer Methode ausgehen 
könnte, so vermöchte ein genügend starker Verstand 
mit einem Blicke scheinbar alle Wahrheiten zu über- 
sehen; was sage ich! man könnte sogar hoffen, eines 
Tages eine hinreichend einfache Sprache zu erfinden, 
um sie so auszudrücken, daß sie auch einem gewöhn- 



Beweis und Verifikation. 7 

liehen Verstandesvermögen ebenso unmittelbar eii>- 
leuchten. 

Wenn man es ablehnt, diese Folgerungen zuzulassen, 
so muß man doch zugeben, daß die mathematische 
Überlegung an sich eine Art schöpferischer Klraft ent- 
hält und sich dadurch von der syllogistischen Schluß- 
weise unterscheidet. 

Der Unterschied muß sogar tiefgehend sein. Wir 
werden zum Beispiel den Schlüssel zu dem Greheimnisse 
nicht in dem öfteren Gebrauche des Gesetzes finden, 
nach welchem eine und dieselbe eindeutige, auf zwei 
gleiche Zahlen angewandte Operation zu gleichen Re- 
sultaten führt. 

Alle diese Schlußweisen, mögen sie nun auf den 
eigentlichen Syllogismus zurückführbar sein oder nicht, 
bewahren den analytischen Charakter und sind ebenda- 
durch ohnmächtig. 

n. 

Der Streit ist alt; schon Leibniz suchte zu beweisen, 
daß 2 und 2 gleich 4 ist; wir wollen seine Darlegungen 
ein wenig untersuchen. 

Ich setze voraus, daß man die Zahl i definiert habe, 
und ebenso die Operation x -\- i, welche darin besteht, 
einer gegebenen Zahl x die Einheit hinzuzufügen. 

Diese Definitionen kommen, wie sie auch beschaffen 
sein mögen, für die folgende Betrachtung nicht in Frage. 

Ich definiere hierauf die Zahlen 2, 3 und 4 durch 
die Gleichungen: 

(i) 1 + 1 = 2, 

(2) 2+1=3, 

(3) 3+1=4. 

Ich definiere ebenso die Operation x -\- 2 durch die 
Beziehung: 



A ly I. Mathematische Schlnßweisen. 

(4) X+2 = {x+l)+l. 

Dieses vorausgesetzt, haben wir: 

2 + 2==(2 + i)+i (Definition 4), 

(2+1) +1 = 3+ I (Definition 2), 

3+1=4 (Definition 3), 

also: 

2 + 2=4, w. z. b. w. 

Man wird nicht ableugnen können, daß diese Be- 
weisführung eine rein analytische ist. Fragt man jedoch 
irgend einen Mathematiker, so wird er sagen: „Das ist 
keine eigentliche Beweisführung, sondern eine Verifi- 
kation". Man hat sich darauf beschränkt, zwei rein 
konventionelle Definitionen einander zu nähern, und hat 
ihre Identität festgestellt; man hat nichts Neues gelernt. 
Die Verifikation unterscheidet sich genau vom wirk- 
lichen Beweise, weil sie rein analytisch und unfiruchtbar 
ist. Sie ist unfruchtbar, weil die Schlußfolgerung nur 
die Übersetzung der Voraussetzungen in eine andere 
Sprache ist. Der wirkliche Beweis dagegen ist firucht- 
bar, weil die Schlußfolgerung einen allgemeineren Inhalt 
hat, als die Voraussetzungen. 

Die Gleichung 2 + 2 = 4 ist nur deshalb einer sol- 
chen Verifikation fähig, weil sie einen besonderen Cha- 
rakter hat Jede besondere Aussage in der Mathematik 
kann auf solche Weise verifiziert werden. Aber wenn 
die Mathematik sich auf eine Reihe von ähnlichen Veri- 
fikationen zurückfuhren ließe, so wäre sie keine Wissen- 
schaft. So erschafft zum Beispiel ein Schachspieler keine 
Wissenschaft, indem er eine Partie gewinnt Eine 
Wissenschaft kann sich nur auf allgemeine Wahrheiten 
beziehen. 

Man kann sogar sagen, daß gerade die exakten 
Wissenschaften die Aufgabe haben, uns von diesen 
direkten Verifikationen zu entlasten. 



Die Arithmetik. 



m. 

Wir wollen den Mathematiker bei der Arbeit beobach- 
ten nnd versuchen, einen Einblick in seine Denkweise 
zu gewinnen. 

Der Versuch ist nicht ohne Schwierigkeit; es genügt 
nicht, ein Werk auf gut Glück aufzuschlagen und darin 
den nächstbesten Beweis zu zergliedern. 

Wir müssen zuerst die Geometrie ausschließen, denn 
hier wird die Frage durch die schwer zugänglichen 
Probleme verwickelt, welche sich auf das Wesen der 
Postulate, auf die Natur und den Ursprung der Raum- 
vorstellung beziehen. Aus analogen Gründen können 
wir uns nicht an die Inünitesimal-Rechnung wenden. 
Wir müssen den mathematischen Gedanken da suchen, 
wo er rein geblieben ist, das ist in der Arithmetik. 

Auch dabei muß man noch auswählen; in den höch- 
sten Gebieten der Zahlentheorie haben die mathemati- 
schen Elementarbegriffe bereits eine solche Entwicklung 
durchgemacht, daß es schwer fallt, dieselbe zu analy- 
sieren. 

So dürfen wir erwarten, die gesuchte Erklärung in 
den Anfangen der Arithmetik zu finden, aber gerade in 
den Beweisen der allerelementarsten Lehrsätze kommt es 
vor, daß die Verfasser der klassischen Abhandlungen 
das geringste Maß von Genauigkeit und Schärfe an- 
wenden. Man kann ihnen daraus keinen Vorwurf 
machen; sie gehorchen einer Notwendigkeit; die Anfänger 
sind nicht für die wirkliche mathematische Strenge vor- 
bereitet; sie würden darin nur unnütze und langweilige 
Spitzfindigkeiten sehen; man würde seine Zeit verlieren, 
wenn man sie zu firüh anspruchsvoller machen würde; 
sie müssen schnell den Weg durchlaufen, welchen die 
Begründer der Wissenschaft langsam durchmessen haben. 



5 I» I* Mathematische Schlußweisen. 

aber immer dabei die schon zurückgelegten Strecken im 
Auge behalten. 

Warum ist eine so lange Vorbereitung notwendig, 
um sich an diese vollkommene Strenge zu gewöhnen, 
welche, wie man glauben möchte, alle gut veranlagten 
Köpfe sich selbst auferlegen sollten? Darin liegt ein 
logisches und psychologisches Problem, das wohl des 
Nachdenkens wert ist. 

Wir können uns dabei nicht aufhalten, es liegt unse- 
rem Gegenstande fem; alles, was ich hervorheben möchte, 
ist, daß wir, um unser Ziel nicht zu verfehlen, die Be- 
weise der elementarsten Lehrsätze von Anfang an durch- 
gehen müssen und ihnen nicht die grobe Form lassen, 
welche man ihnen gibt, um die Anfanger nicht zu er- 
müden, sondern diejenige, welche einen geübten Mathe- 
matiker befriedigen kann.*) 

Definition der Addition. — Ich setze voraus, 
daß man zuvor die Operation x -^ i, welche darin be- 
steht, daß man die Zahl i einer gegebenen Zahl x hin- 
zufügt, definiert hat. 

Diese Definition, welcher Art sie auch sei, wird in 
der Fortsetzung unserer Entwicklungen keine Rolle 
spielen. 

Es handelt sich jetzt darum, die Operation x -\- a zm 
definieren, welche darin besteht, die Zahl a zu einer ge- 
gebenen Zahl X hinzuzufügen. 

Setzen wir voraus, man hätte die Operation: 

X -{■ {a — i) 

definiert, so wird die Operation x -\- a durch die Glei- 
chung: 

(i) x + a=[x-\-{a^i)]-\-i 

definiert sein. 

Wir werden also wissen, was x -\- a bedeutet, wenn 
wir wissen, was x -\- {a — i) bedeutet, und da ich am 



Addition und Multiplikation. y 

Anfang vorausgesetzt habe, man wisse, was x -\- i be- 
deute, so wird man successive und „durch rekurrierendes 
Verfahren" die Operationen x-\-2, :r+3 etc. definieren 
können. 

Diese Definition verdient einen Augenblick unsere 
Aufmerksamkeit, sie unterscheidet sich durch ihre be- 
sondere Natur von der rein logischen Definition, und 
derartig besondere Definitionen werden uns noch oft be- 
gegnen. Die Gleichung (i) enthält tatsächlich eine un- 
endliche Anzahl von verschiedenen Definitionen, deren 
jede nur einen Sinn hat, wenn man die vorhergehende 
kennt. 

Eigenschaften der Addition. — Associatives 
Gesetz. — Ich behaupte, daß: 

In der Tat, der Lehrsatz ist richtig für r = i ; er 

heißt dann: 

a + {b+ l)^{a + b)+i, 

und das ist nichts anderes, abgesehen vom Unterschiede 
in der Bezeichnungsweise, als die Gleichung (i), durch 
welche ich soeben die Addition definiert habe. 

Nehmen wir an, daß der Lehrsatz richtig sei für 
f = y, so behaupte ich, daß er für r =» y + i auch rich- 
tig ist. Sei in der Tat: 

{a + b) + y^a+{b + y), 

so wird man daraus ableiten, daß: 

[(« + *) + y] + I = [« + (* + y)] + I 

oder infolge der Definition (i): 
(a + b) + (y+i) = a + {b + y+l)=a+[6+{y+l)]. 

Das beweist, durch eine Reihe von rein analytischen 
Schlüssen, daß der Lehrsatz für y + i richtig ist. 

Ist er also richtig für ^ = i, so würde man so suc- 
cessive einsehen, daß er richtig ist für r = 2, für ^ = 3 etc. 



3 I, I. Mathematische Schlnßweisen. 

Commutatives Gesetz. — i. Ich behaupte, daß: 

Der Satz ist evident für a =^ i; man könnte durch rein 
analytische Schlüsse verifizieren, daß er für = y richtig 
ist; er ist dann auch für a = y -\- i richtig; er gilt nun 
für fl = I, also auch für 0=2, für fl =» 3 etc.; das 
meint man, wenn man sagt, daß der ausgesprochene 
Satz durch rekurrierendes Verfahren bewiesen sei. 
2. Ich behaupte, daß: 

Der Satz ist soeben für ^ = i bewiesen; man kann durch 
analytische Schlüsse verifizieren, daß er, wenn er für 
b = ß richtig ist, auch für 3 = j5 + i gilt. 

Der Inhalt der Behauptung ist folglich durch rekur- 
rierendes Verfahren sicher gestellt. 

Definition der Multiplikation. — Wir definieren 
die Multiplikation durch die Gleichungen: 

a X I = a, 
(2) axb '=^[ax{b — i)] + a. 

Die Gleichung (2) umfaßt wie die Gleichung (i) eine un- 
endliche Anzahl von Definitionen; wenn sie ax i defi- 
niert hat, so erlaubt sie successive ax 2, 0x3 etc. zu 
definieren. 

Eigenschaften der Multiplikation. — Distri- 
butives Gesetz. — Ich behaupte, daß: 

{a -\- b)xc = (axc) -{- (bx:c). 

Man verifiziert durch analytische Schlußweise, daß die 
Gleichung richtig ist für r = i ; sodann, daß der Satz, 
wenn er für ^ = y richtig ist, es auch für r = y -[- i ist. 

Die Behauptung ist wiederum durch rekurrierendes 
Verfahren bewiesen. 

Commutatives Gesetz. — Ich behaupte, daß: 



Algebraische Rechnung. q 

a X I = I X a. 

Der Satz ist evident für = i . 

Man verifiziert analytisch, daß er für a = a richtig 

ist, wenn er für = a + i g^*« 
2. Ich behaupte, daß: 

axb ^=^ bxa. 

Der Satz ist soeben bewiesen für ^ =« i. Man würde 
analytisch beweisen, daß er für b =^ ß richtig ist, wenn 
er für 3 = |3 + I richtig ist. 

IV. 

Ich halte jetzt mit dieser einförmigen Aufeinander- 
folge von Entwicklungen inne. Aber gerade diese Ein- 
förmigkeit läßt das Verfahren besser zur Geltung kommen, 
das einförmig ist und das wir bei jedem Schritte wieder- 
finden. 

Dieses Verfahren ist der Beweis durch die rekur- 
rierende Schlußweise. Man stellt zuerst den Lehrsatz 
far « = I auf; man beweist darauf, daß er für n richtig 
ist, wenn er für « — i stimmt, und man schlußfolgert 
daraus, daß er für alle ganzen Zahlen gilt. 

Wir haben soeben gesehen, wie man sich dieses Ver- 
fahrens bedienen kann, um die Regeln der Addition und 
Multiplikation zu beweisen, d. h. die Regeln der alge- 
braischen Rechnung; diese Rechnung ist ein Werkzeug, 
das sich in weit umfassenderem Maße zu Umformungen 
eignet als der einfache logische Schluß; aber sie ist 
noch ein rein analytisches Werkzeug und nicht fähig, 
uns etwas Neues zu lehren. Wenn die Mathematik kein 
anderes hätte, so würde sie alsbald in ihrem Vorwärts- 
kommen aufgehalten werden; aber sie findet neue Hilfs- 
quellen in demselben Verfahren, d. h. in der rekurrieren- 
den Schlußweise, und so kann sie weiter vorwärtsschreiten. 



xo ^> I- Mathematische Schlußweisen. 

Bei näherer Prüfung findet man auf Schritt und Tritt 
diese Art der Schlußweise, sei es in der einfachen Ge- 
stalt, welche wir ihr soeben gaben, sei es in einer mehr 
oder weniger veränderten Gestalt. 

Hier haben wir die mathematische Schlußweise in 
ihrer reinsten Form, und es ist für uns notwendig, sie 
näher zu prüfen. 

V. 

Die Haupteigenschaft des rekurrierenden Verfahrens 
besteht darin, daß es, sozusagen in einer einzigen Formel 
zusammengedrängt, eine unendliche Anzahl von Syllogis- 
men enthält. 

Um sich darüber besser klar zu werden, will ich 
einen dieser Syllogismen nach dem anderen darlegen; 
sie folgen aufeinander — man gestatte mir dieses 
Bild — wie Kaskaden. 

Es sind, wohlverstanden, hypothetische Syllogismen. 
Der Lehrsatz gilt für die Zahl i. 
Ist er richtig für i, so ist er auch richtig für 2. 
Er gilt also für 2. 

Ist er richtig für 2, so gilt er auch für 3. 
Er gilt also für 3, und so weiter. 

Man sieht, daß die Schlußfolgerung eines jeden Syl- 
logismus dem folgenden als Unterlage dient. 

Ja, noch mehr: die Folgesätze aller unserer Syllo- 
gismen können auf eine einzige Formel zurückgeführt 
werden: 

Wenn der Lehrsatz für « — i gilt, so gilt er auch für «. 

Man sieht also, daß man sich bei dem rekurrieren- 
den Verfahren darauf beschränkt, die Unterlage des ersten 
Syllogismus und die allgemeine Formel darzulegen, welche 
alle Folgesätze als besondere Fälle enthält. 

Diese Reihe von Syllogismen, welche niemals enden 
würde, wird so auf einen Satz von wenigen Linien reduziert. 



Rekurrierendes Verfahren. 1 1 

Es ist jetzt leicht verständlich, warum jede besondere 
Folgerung eines Lehrsatzes, wie ich es oben dargelegt 
habe, durch rein analytisches Verfahren verifiziert werden 
kann. 

Wenn wir, anstatt zu zeigen, daß unser Lehrsatz für 
alle Zahlen gilt, nur vor Augen führen wollen, daß er 
z. B. für die Zahl 6 gilt, so wird es genügen, die fünf 
ersten Syllogismen unserer Kaskade aufzustellen; wir 
würden neun brauchen, wenn wir den Lehrsatz für die 
Zahl lo beweisen wollten, für eine größere Zahl würden 
wir noch mehr brauchen; aber wie groß auch diese Zahl 
sei, wir würden sie schließlich immer erreichen, und die 
analytische Verifikation würde möglich sein. 

Und wenn wir auch noch so weit in dieser Weise 
fortschreiten würden, so könnten wir uns doch niemals 
bis zu dem allgemeinen Lehrsatze erheben, der für alle 
Zahlen anwendbar ist und welcher allein der Gegenstand 
der Wissenschaft ist. Um dahin zu gelangen, bedürfte 
es einer unendlichen Anzahl von Syllogismen; es müßte 
ein Abgrund übersprungen werden, welchen die Geduld 
des Analysten, der auf die formale Logik als einzige 
Quelle beschränkt ist, niemals ausfüllen könnte. 

Ich fragte zu Anfang (vgl. S. 2), weshalb man sich 
nicht einen Verstand vorstellen könnte, der stark genug 
wäre, mit einem Blicke die Gesamtheit der mathemati- 
schen Wahrheiten zu erfassen. 

Die Antwort ist jetzt erleichtert; ein Schachspieler 
kann vier Züge im voraus berechnen, vielleicht auch 
fünf, aber wenn man ihm auch Außerordentliches zu- 
traut, so wird er sich immer nur eine endliche Zahl zu- 
rechtlegen können; wenn er seine Fähigkeiten auf die 
Arithmetik anwendet, so wird er nicht im stände sein, 
sich deren allgemeine Wahrheiten mit einer einzigen 
direkten Anschauung zum Bewußtsein zu bringen; um 
zu dem kleinsten Lehrsatze zu gelangen, kann er nicht 



12 I> !• Mathematische SchluBweisen. 

das rekurrierende Verfahren entbehren, weil dies ein 
Werkzeug ist, welches uns erlaubt, vom Endlichen zum 
Unendlichen fortzuschreiten. 

Dieses Werkzeug ist immer nützlich, denn es erlaubt 
uns, mit einem Satze so viele Stationen zu überspringen, 
wie wir wollen, und erspart uns dadurch lange, er- 
müdende und einförmige Verifikationen, welche sich bald 
als unbrauchbar erweisen würden. Aber dieses Werk- 
zeug wird unentbehrlich, wenn man den allgemeinen 
Lehrsatz im Auge hat, dem wir uns durch analytische 
Verifikationen unaufhörlich nähern, ohne ihn jemals zu 
erreichen. 

In diesem Gebiete der Arithmetik kann man meinen, 
von der Infinitesimal-Rechnung weit entfernt zu sein; 
und dennoch spielt, wie wir soeben gesehen haben, die 
Idee des mathematischen Unendlich schon eine hervor- 
ragende Rolle, und ohne sie würde es keine Wissen- 
schaft geben, weil es nichts Allgemeines geben würde. 



VI. 

Das Urteil, auf welchem die Entwicklung durch das 
rekurrierende Verfahren beruht, kann in andere Formen 
gesetzt werden; man kann z. B. sagen, daß es in einer 
unendlichen Menge von verschiedenen ganzen Zahlen 
immer eine gibt, welche kleiner ist als alle übrigen. 

Man kann leicht von einer Aussage zur anderen 
übergehen und sich so der Einbildung hingeben, als 
hätte man die Legitimität des rekurrierenden Verfahrens 
bewiesen. Aber man wird immer auf ein Hindernis 
stoßen, man wird immer zu einem unbeweisbaren Axiom 
gelangen, welches im Grunde nichts weiter ist als der 
zu beweisende Satz, in eine andere Sprache übersetzt. 

Man kann sich daher der Schlußfolgerung nicht ent- 
ziehen, daß das Gesetz des rekurrierenden Verfahrens 



Physikalische Induktion. I^ 

nicht auf das Prinzip des Widerspruchs zurückführ- 
bar ist. 

Zu diesem Gesetze können wir nicht durch die Er- 
fahrung gelangen; die Erfahrung könnte uns z. B. lehren, 
daß das Gesetz für die zehn, für die hundert ersten 
Zahlen richtig ist, sie kann nicht die unendliche Folge 
der Zahlen erreichen, sondern nur einen größeren oder 
kleineren, aber immer einen begrenzten Teil dieser Zahlen- 
folge. 

Wenn es sich jedoch nur darum handelt, so würde 
das Prinzip des Widerspruchs genügen; es würde uns 
gestatten, immer so viele logische Schlüsse zu entwickeln, 
wie wir wollen; nur wenn es sich darum handelt, eine 
unendliche Anzahl in eine einzige Formel zusammenzu- 
fassen, nur vor dem Unendlichen versagt dieses Prinzip, 
und genau an diesem Punkte wird auch die Erfahrung 
machtlos. Dieses Gesetz, welches dem analytischen Be- 
weise ebenso unzugänglich ist wie der Erfahrung, gibt 
den eigentlichen Typus des sjrnthetischen Urteils a priori. 
Man kann andrerseits darin nicht bloßes Übereinkommen 
sehen wollen, wie bei einigen Postulaten der Geometrie. 

Warum drängt sich uns dieses Urteil mit einer un- 
widerstehlichen Gewalt auf? Das kommt daher, weil es 
nur die Bestätigung der Geisteskraft ist, welche über- 
zeugt ist, sich die unendliche Wiederholung eines und 
desselben Schrittes vorstellen zu können, wenn dieser 
Schritt einmal als möglich erkannt ist. Der Verstand 
hat von dieser Macht eine direkte Anschauung, und die 
Erfahrung kann für ihn nur eine Gelegenheit sein, sich 
derselben zu bedienen und dadurch derselben bewußt 
zu werden. 

Aber, wird man einwenden, wenn das rohe Experi- 
ment das rekurrierende Verfahren nicht rechtfertigen 
kann, ist es dann nicht ebenso, wenn die Induktion 
dem Experimente zu Hilfe kommt? Wir sehen succes- 



j^ I, I. Mathematische Schlußweisen. 

sive, daß ein Lehrsatz richtig ist für die Zahl i, für die 
Zahl 2, für die Zahl 3 u. s. w.; das Gesetz ist evi- 
dent, so sagen wir; und es ist das ebenso berechtigt 
wie bei jedem physikalischen Gesetze, das sich auf Be- 
obachtungen stützt, deren Zahl zwar sehr groß, aber 
immer endlich ist. 

Man kann nicht verkennen, daß hier eine auffallige 
Analogie mit den gebräuchlichen Verfahrungsweisen der 
Induktion vorhanden ist. Aber es besteht ein wesent- 
licher Unterschied. Die Induktion bleibt in ihrer An- 
wendung auf die physikalischen Wissenschaften immer 
unsicher, weil sie auf dem Glauben an eine allgemeine 
Gesetzmäßigkeit des Universums beruht, und diese Ge- 
setzmäßigkeit liegt außerhalb von uns selbst. Die mathe- 
matische Induktion dagegen, d. h. der Beweis durch 
rekurrierendes Verfahren, zwingt sich uns mit Notwendig- 
keit auf, weil er nur die Betätigung einer Eigenschaft 
unseres eigenen Verstandes ist.^ 



VIL 

Wie ich schon erwähnt habe, bemühen sich die 
Mathematiker immer, die Sätze, welche sie erhalten 
haben, weiter zu verallgemeinem; so (um nicht andere 
Beispiele zu suchen) haben wir eben die Gleichung: 

a -\- I = I -\- a 

bewiesen; und wir haben uns derselben bedient, um da- 
raus die Gleichung: 

a -^ b = b -]- a 

abzuleiten, welche offenbar allgemeiner ist. 

Die Mathematik kann daher, wie die anderen Wissen- 
schaften, vom Besonderen zum Allgemeinen fortschreiten. 

Hierin liegt eine Tatsache, welche uns am Anfang 
dieser Darlegung unverständlich erschienen wäre, aber 



Mathematisclie Konstruktion. 



15 



welche jetzt für uns nichts Geheimnisvolles hat, nach- 
dem wir die Analogie zwischen dem rekurrierenden Be- 
weise und der gewöhnlichen Induktion festgestellt haben. 

Ohne Zweifel, die mathematisch-rekurrierende Schluß- 
weise und die physikalisch-induktive Schlußweise beruhen 
auf verschiedenen Grundlagen, aber ihre Wege laufen 
parallel; sie schreiten in demselben Sinne fort, d. h. vom 
Besonderen zum Allgemeinen. 

Gehen wir darauf noch etwas näher ein. Um die 
Gleichung: 

(i) a -\- 2 = 2 -\- a 

zu beweisen, genügt es, zweimal die Regel: 

fl + I ^ I + fl 
anzuwenden und zu schreiben: 
(2) a+2=a+i + i = i+fl+i = i + i+a=2+fl. 

Die Gleichung (2) ist so auf rein analytischem Wege 
aus der Gleichung (i) abgeleitet; sie ist demnach nicht 
ein bloßer . Spezialfall derselben; sie ist etwas anderes. 

Man kann daher nicht sagen, daß man im eigentlich 
analytischen und deduktiven Teile der mathematischen 
Entwicklungen im gewöhnlichen Sinne des Wortes vom 
Allgemeinen zum Besonderen übergeht. Die beiden 
Seiten der Gleichung (2) sind einfach verwickeitere Kom- 
binationen als die beiden Seiten der Gleichung (i), und 
die Analyse dient nur dazu, die Elemente, welche in 
diese Kombinationen eingehen, zu trennen und ihre gegen- 
seitigen Beziehungen zu studieren. 

Die Mathematik kommt also „durch Konstruktionen" 
vorwärts, sie „konstruiert" immer verwickeitere Kom- 
binationen. Indem sie dann durch die Analyse dieser 
Kombinationen, die man als selbständige Gesamtheiten 
bezeichnen könnte, zu ihren ursprünglichen Elementen 
zurückkehrt, wird sie sich der gegenseitigen Beziehungen 



l5 I> I* Mathematisclie Schlußweisen. 

dieser Elemente bewußt und leitet daraus die Beziehungen 
zwischen diesen Gesamtheiten selbst ab. 

Das ist ein rein analytisches Vorgehen, aber nicht 
ein Vorgehen vom Allgemeinen zum Besonderen, denn 
die Gesamtheiten können offenbar nicht so angesehen 
werden, als wären sie von speziellerer Natur wie ihre 
Elemente. 

Man hat mit Recht diesem Prozesse der Konstruktion 
eine große Wichtigkeit beigelegt, und man hat darin die 
notwendige und hinreichende Bedingung für die Fort- 
schritte der exakten Wissenschaften erkennen wollen. 

Notwendig? ohne Zweifel; aber hinreichend? nein! 

Damit eine Konstruktion nützlich sein kann, damit 
sie nicht nur eine überflüssige Anstrengung des Ver- 
standes darstellt, damit sie jedem als Sprungbrett dienen 
kann, der sich höher erheben will, muß sie vor allem 
eine Art Einheit besitzen, welche erlaubt, darin etwas 
anderes zu sehen als die bloße Anhäufung von Ele- 
menten. 

Oder genauer: man muß einen Vorteil darin erkennen, 
daß man lieber die Konstruktion als die einzelnen Ele- 
mente betrachtet. 

Welcher Art kann dieser Vorteil sein? 

Warum z. B. soll man sich lieber mit einem Polygon 
beschäftigen, das doch stets in Dreiecke zerlegbar ist, 
als mit diesen Elementar-Dreiecken? 

Offenbar, weil es Eigenschaften gibt, die den Poly- 
gonen mit einer beliebigen Anzahl von Seiten zukommen 
und die man unmittelbar auf irgend ein besonderes 
Polygon anwenden kann. 

Meistens dagegen wird man sie nur um den Preis 
sehr langwieriger Bemühungen dadurch wiederfinden, daß 
man direkt die Verhältnisse der Elementar- Dreiecke 
studiert. 

Wenn das Viereck etwas anderes ist als zwei an- 



Mathematische Induktion. 



17 



«inandergelegte Dreiecke, so Kegt dies daran, daß das 
Viereck zur Klasse der Polygone gehört 

Eine Konstruktion wird nur interessant, wenn man 
sie an andere, ähnliche Konstruktionen anreihen kann, 
so daß alle zu einer gemeinsamen Klasse gehören. 

Überdies muß man die Eigenschaften dieser Klasse 
ableiten können, ohne sie einzeln nacheinander für jedes 
Individuum der Klasse aufzustellen. 

Um dahin zu gelangen, muß man notwendigerweise 
vom Besonderen zum Allgemeinen aufsteigen, indem man 
eine oder mehrere Stufen weiterklimmt. 

Das analytiscde Verfahren „durch Konstruktion" nötigt 
uns nicht herabzusteigen, aber es läßt uns auf demselben 
Niveau. 

Wir können uns nur durch die mathematische In- 
duktion erheben, welche allein uns etwas Neues lehren 
kann. Ohne die Külfe dieser Induktion, welche in ge- 
wissem Sinne von der physikalischen Induktion verschie- 
den, aber fruchtbar wie diese ist, würde die Konstruk- 
tion nicht im stände sein, eine Wissenschaft aufzubauen. 

Schließlich wollen wir bemerken, daß diese Induktion 
nur möglich ist, wenn eine und dieselbe Operation un- 
endlich oft wiederholt werden kann. Deshalb wird die 
Theorie des Schachspiels niemals eine Wissenschaft werden 
können, denn die verschiedenen Züge einer und derselben 
Partie haben keine Ähnlichkeit untereinander. 



Zweites Kapitel. 
Die mathematische Größe und die Erfahrung« 

Wenn man wissen will, was die Mathematiker unter 
einem Kontinuum verstehen, muß man nicht bei der 
•Geometrie anfragen; der Geometer sucht sich immer die 

Poincar6, Wissenschaft und Hypothese. 2 



jg I, 2. Mathematische GröAe und Erfahrung. 

von ihm studierten Figuren mehr oder weniger darzu- 
stellen, aber seine Darstellungen sind für ihn nur Hilfs- 
floittel. Er macht Geometrie mit nur im Räume vorge- 
stellten Linien ebenso gut wie mit der Elreide auf der 
Tafel; auch muß man sich hüten, Zufälligkeiten, welche 
oft ebenso unwichtig sind wie die Farbe der Kreide, all- 
zuviel Bedeutung beizulegen. 

Der reine Analytiker hat diese Klippe nicht zu furch- 
ten. £r hat die mathematische Wissenschaft aller fremden 
Elemente entkleidet und er kann auf die Frage ant- 
worten: was ist eigentlich dieses Kontinuum, mit dem 
die Matibematiker arbeiten? Vi^e von ihnen, welche 
über ihre Kunst nachdenken, haben bereits geantwortet, 
z. B. Herr Tannery in seiner „Introduction k la Üidorie 
des fonctions d'une variable." 

Gehen wir von der Stufenleiter der ganzen Zahlen 
aus; zwischen zwei aufeinanderfolgende Stufen schieben 
wir eine oder mehrere Zwischenstufen ein, dann zwischen 
diese neuen Stufen wieder andere und so fort ohne 
Ende. Wir haben so eine unbegrenzte Anzahl von 
Gliedern; das sind die Zahlen, welche man als Brüche 
oder als rationale, bezw. kommensurable Zahlen be- 
zeichnet. Aber dies ist nicht alles; zwischen diese 
Glieder, welche doch schon in unendlicher Anzahl vor- 
handen sind, muß man noch wieder andere einschalten, 
welche man als irrationale oder inkonunensurable Zahlen 
bezeichnet. 

Bevor wir weiter gehen, machen wir erst eine Be- 
merkung. Das so aufgefaßte Kontinuum ist nur eine 
Ansammlung von Individuen, die in eine gewisse Ord- 
nung gebracht sind; allerdings ist ihre Anzahl unendlich 
groß, aber sie sind doch voneinander getrennt. 
Das ist nicht die gewöhnliche Vorst^lung, bei der man 
zwischen den Elementen des ELontinuums eine Art inniger 
Verbindung voraussetzt, welche daraus ein Ganzes macht 



Das Kontmunxn. XQ 

imd wo der Punkt nicht früher als die Linie existiert, 
aber wohl die Linie früher als der Punkt. Von der be- 
rühmten Formulierung ,,das Kontinuum ist die Einheit 
in der Vielheit" bleibt nur die Vielheit übrig, die Ein- 
heit ist verschwunden. Die Analytiker haben deshalb 
nicht weniger Recht, ihr Kontinuum so zu definieren, 
wie sie es tun, denn nur mit dem so definierten Kon- 
tinuum arbeiten sie, wenn sie die höchste Strenge ihrer 
Beweise erreichen wollen. Aber das ist genug, um vor- 
läufig einzusehen, daß das eigentliche mathematische 
Kontinuum etwas ganz anderes ist als das Kontinuum 
der Physiker oder dasjenige der Metaphysiker. 

Man wird vielleicht sagen, daß sich die Mathematiker, 
welche sich mit dieser Definition b^;nügen, durch Worte 
betrügen lassen, daß man in einer knappen Form aus- 
drücken müßte, was jede dieser dazwischen li^enden 
Stufen bedeute, daß man erklären müßte, wie man sie 
einzuschalten hat, und beweisen müßte, daß es möglich 
ist dieses auszuführen. Aber das würde unbillig sein; 
die einzige Eigenschaft dieser Stufen, welche bei ihren 
Überlegungen*) benutzt wird, ist diejenige, daß jede sich 
vor oder hinter einer anderen befindet; diese Eigenschaft 
allein darf deshalb bei Definition der Stufe benutzt 
werden. 

Also braucht man sich nicht über die Art und Weise 
zu beunruhigen, wie man diese Zwischenglieder einzu- 
schalten hat; andererseits wird niemand daran zweifeln, 
daß diese Operation möglich ist, es sei denn, er vergäße, 
daß dieses letztere Wort in der Sprache der Mathematik 
einfach so viel bedeutet als „frei von Widersprüchen". 

Unsere Definition ist gleichwohl noch nicht vollständig. 



*) Hier sind diejenigen Überlegungen eingeschlossen, welche 
in den gewöhnlichen Festsetzungen implicite enthalten sind, die 
zur Definition der Addition dienen und auf die wir später zurück- 
komxnen. 

2* 



20 If 2. Mathematische Giöße und Erfahrung. 

und nach dieser allzulangen Abschweifung komme ich 
jetzt darauf zurück. 

Definition der inkommensurablen Zahlen. — Die 
Mathematiker der Berliner Schule haben mit Vorliebe 
den Gedanken vertreten, daß man diese kontinuirliche 
Stufenleiter der gebrochenen und irrationalen Zahlen 
aufbauen könne, ohne sich anderer Bausteine zu be- 
dienen als ganzer Zahlen. Bei dieser Anschauungsweise 
würde das mathematische Kontinuum nur eine Schöpfung 
des Verstandes sein, mit der die Erfahrung nichts zu 
tun hat.^ 

Der Begriff der rationalen Zahl schien ihnen keine 
Schwierigkeit zu bereiten, sie haben sich hauptsächlich 
bemüht, die inkommensurable Zahl definieren zu wollen. 
Aber ehe ich eine entsprechende Definition gebe, muß ich 
eine Bemerkung einflechten, um dem Erstaunen zuvor- 
zukommen, das sie unfehlbar bei solchen Lesern hervor- 
rufen würde, welche mit den Gewohnheiten der Mathe- 
matiker wenig vertraut sind. 

Die Mathematiker studieren nicht Objekte, sondern 
Beziehungen zwischen den Objekten; es kommt ihnen 
deshalb nicht darauf an, diese Objekte durch andere zu 
ersetzen, wenn dabei nur die Beziehungen ungeändert 
bleiben. Der Gegenstand ist für sie gleichgültig, die 
Form allein hat ihr Interesse. Wenn man dieses nicht 
im Auge hätte, würde es unverständlich bleiben, wie 
man mit dem Namen einer inkommensurablen Zahl 
ein bloßes Symbol bezeichnet, d. h. etwas, das gänzlich 
verschieden von der Idee ist, welche man sich von 
einer Größe macht, die doch meßbar und greifbar sein 
sollte. 

Die gemeinte Definition kann etwa in folgender Weise 
gefaßt werden*): 

Man kann auf unendlich viele Weise die kommen- 
surablen Zahlen derart in zwei Klassen einteilen, daß 



Inkommensurable Zahlen. 2 1 

irgend eine Zahl der ersten Klasse größer ist als irgend 
eine Zahl der zweiten Klasse. 

£s kann eintreten, daß unter den Zahlen der ersten 
Klasse eine vorkommt, welche kleiner ist als alle ande- 
ren; wenn man z. B. in die erste Ellasse alle Zahlen 
einreiht, die größer als 2 sind, und 2 selbst und in die 
zweite Klasse alle Zahlen, die kleiner als 2 sind, so ist 
es klar, daß 2 die kleinste Zahl unter allen in der ersten 
Klasse ist. Die Zahl 2 wird dann als Symbol dieser 
Einteilungsart gewählt werden können. 

Im Gegensatze hierzu kann es vorkommen, daß unter 
den Zahlen der zweiten Klasse eine auftritt, die größer 
ist als alle anderen; das ist z. B. der Fall, wenn die 
erste Klasse alle Zahlen umfaßt, die größer als 2 sind, 
und die zweite alle Zahlen, die kleiner als 2 sind, und 
2 selbst. Auch hier kann die Zahl 2 als Symbol dieser 
Einteilungsart gelten. 

Aber es kann ebenso gut vorkommen, daß man weder 
in der ersten Klasse eine Zahl kleiner als alle anderen, 
noch in der zweiten eine Zahl größer als alle anderen 
finden kann. Nehmen wir z. B. an, daß man in die 
erste Klasse alle kommensurablen Zahlen stellt, deren 
Quadrat größer als 2 ist, und in die zweite alle, deren 
Quadrat kleiner als 2 ist. Man weiß, daß es keine Zahl 
gibt, deren Quadrat genau gleich 2 ist. Es gibt dann 
offenbar in der ersten Klasse keine Zahl kleiner als alle 
anderen, denn wie nahe das Quadrat einer Zahl auch 
der 2 komme, man wird immer eine kommensurable 
Zahl finden können, deren Quadrat der Zahl 2 noch 
näher kommt. 

Bei dieser Betrachtungsweise ist die inkommensurable 
Zahl 

nichts anderes als das Symbol dieser besonderen Ein« 



22 ly 2. Mathematische Gröfle nnd Erfahrung. 

teilung der kommensurablen Zahlen; und jeder Eintei- 
lungsart entspricht so eine kommensurable Zahl, welche 
ihr als Symbol dient, oder es entspricht ihr keine kom- 
mensurable ZahL 

Aber wenn man sich hiermit begnügen wollte, so 
würde man zu sehr den Ursprung dieser Symbole ver- 
gessen; es bleibt unaufgeklärt, wie man dahin gekommen 
ist, ihnen eine Art konkreter Existenz zuzusprechen; und 
beginnt andererseits die Schwierigkeit nicht ebenso schon 
bei den gebrochenen Zahlen selbst? Würden wir den 
B^^£f dieser Zahlen haben ^), wenn wir nicht im voraus 
einen Gegenstand kennen würden, den wir uns als bis 
ins Unendliche teilbar, d. h. als ein Kontinuum vor- 
stellen? 

Das physikalische Kontinuum. — Man kommt 
so dazu, sich zu fragen, ob der Begriff des mathemati- 
schen Kontinuums nicht einfach der Erfahrung ent- 
nommen ist. Wenn dem so wäre, so würden die rohen 
Angaben der Erfahrung, die eben unsere Empfindungen 
sind, der Messung zugänglich sein. Wir könnten ver- 
sucht sein zu glauben, daß es wirklich so ist, denn Tnaii 
hat in neuerer Zeit versucht, sie zu messen, und sogar 
ein Gesetz formuliert, daß unter dem Namen des Fechner- 
schen Gresetzes bekannt ist und nach welchem die Emp- 
findung proportional dem Logarithmus des Reizes 
sein soll.^ 

Aber wenn man die Experimente genauer prüft, 
durch welche man dieses Gesetz zu begründen suchte, 
wird man zu einer ganz entgegengesetzten Folgerung ge- 
führt. Man hat z. B. beobachtet, daß ein Gewicht A 
von zehn Gramm und ein Gewicht B von 1 1 Gramm 
identische Empfindungen hervorriefen, daß das Gewicht 
B ebensowenig von einem 12 Gramm schweren Ge- 
wichte C unterschieden werden konnte, daß man aber 
leicht das Gewicht A vom Gewichte C auseinanderhielt 



Physikalisches und mathematisdies Konünuum. 23 

Die groben Erfahrungsresultate können also durch folgende 
Beziehungen ausgedrückt werden: 

A^B, B^ C, A<iC, 

und diese können als Formulierung des physikalischen 
Kontinuums betrachtet werden. 

Das ist aber absolut unverträglich mit dem Prinzipe 
des Widerspruch», und die Notwendigkeit, diesen Mifi- 
klang zu beseitigen, hat uns dazu geführt, das mathe- 
matische Kontinuum zu erfinden. Man wird also zu 
dem Schlüsse genötigt, daß dieser Begriff in allen seinen 
Teilen durch den Verstand geschaffen ist, aber daß die 
Erfahrung uns dazu Veranlassung g^eben hat. 

Wir können nicht glauben, daß zwei Größen, welche 
einer und derselben dritten gleich sind, nicht unterein- 
ander gleich sein sollen, und dadurch werden wir dazu 
gebracht vorauszusetzen, daß A sowohl von B als von 
C verschieden sei, daß aber die Unvollkommenheit unserer 
Sinne uns nicht erlaubte, sie auseinanderzuhalten. 

Die Schöpfung des mathematischen Konti- 
nuums. — Erstes Stadium. — Um uns über die Tat- 
sachen Rechenschaft zu geben, konnten wir uns bish^ 
damit begnügen, zwischen A und B eine kleine Anzahl 
von Gliedern einzuschalten, deren jedes für sich blieb. 
Was geschieht nun, wenn wir irgend ein Werkzeug zu 
Hilfe nehmen, um der Schwäche unserer Sinne nachzu- 
helfen, wenn wir uns z. B. eines Mikroskopes bedienen? 
Glieder, welche wir nicht voneinander unterscheid«! 
konnten, wie soeben A und B, erscheinen uns jetzt voll- 
kommen getrennt, aber zwischen A und B, die jetzt von- 
einander getrennt sind, läßt sich ein neues Glied D ein- 
schalten, das wir weder von A noch von B unterscheiden 
können. Trotz der Anwendung der vollkommensten 
Methoden werden die groben Resultate unserer Erfahrung 
immer den Charakter des physikalischen Kontinuums an 



2A I» 2.. Mathematische Größe und £r£ahnmg. 

sich tragen mit dem Widerspruche, der davon unzer- 
trennlich ist. Wir werden dem nur entgehen, indem 
wir ohne Aufhören neue Glieder zwischen die schon 
unterschiedenen hineinschieben, und diese Operation muß 
bis ins Unendliche fortgesetzt werden. Wir würden nur 
begreifen können, daß man dabei irgendwo aufhören 
müsse, wenn wir uns ein Werkzeug ausdenken, das hin- 
reichend mächtig wäre, um das physikaHsche Kontinuum 
in diskrete Elemente zu zerlegen, wie das Teleskop die 
Milchstraße in einzelne Sterne auflöst. Aber das können 
wir uns nicht vorstellen; in der Tat, nur durch Ver- 
mittlung unserer Sinne bedienen wir uns unserer Werk- 
zeuge. Mit dem Auge beobachten wir das durch das 
Mikroskop vergrößerte Bild, und folglich muß dieses 
Bild immer den Charakter der Gesichtsempfindung be- 
halten und folglich auch denjenigen des physikalischen 
Kontinuums. 

Nichts unterscheidet eine direkt beobachtete Länge 
von der Hälfte dieser Länge, wenn letztere durch das 
Mikroskop verdoppelt wird. Das Ganze ist dem Teile 
homogen; dadurch entsteht ein neuer Widerspruch oder, 
besser gesagt, es würde ein solcher entstehen, wenn die 
Anzahl der Glieder als endlich vorausgesetzt wäre; es 
ist in der Tat klar, daß der Teil, welcher doch weniger 
Glieder enthält als das Ganze, dem Ganzen nicht ähn- 
lich sein kann. 

Der Widerspruch hört auf, sobald die Anzahl der 
Glieder als unbegrenzt angesehen wird; nichts verhindert 
uns, z. B. die Gesamtheit der ganzen Zahlen als ähnlich 
der Gesamtheit der geraden Zahlen anzusehen, welche 
doch nur einen Teil der ersteren bilden, und wirklich 
gehört zu jeder ganzen Zahl eine gerade Zahl, welche 
von der ersteren das Doppelte beträgt 

Aber nicht bloß, um diesem Widerspruche zu ent- 
gehen, welcher in der Erfahrungstatsache enthalten ist. 



Kontinua verschiedener Ordnung. 25 

wird der Verstand dazu geführt, den Begriff eines Kon- 
tinuums zu schaffen, welches durch eine unendliche An- 
zahl von Gliedern gebildet wird. 

Es vollzieht sich dabei alles wie in der Folge der 
ganzen Zahlen. Wir haben die Fähigkeit zu begreifen, 
daß eine Einheit einer gegebenen Menge von Einzel- 
heiten hinzugefügt werden kann; dank der Erfahrung 
haben wir Gelegenheit, diese Fähigkeiten zu üben und 
uns dieselbe zum Bewußtsein zu bringen: aber von die- 
sem Moment ab fühlen wir, daß unsere Macht keine 
Grenze hat und daß wir endlos weiter zählen könnten, 
obgleich wir niemals eine unbegrenzte Anzahl von Dingen 
zu zählen hatten. 

Ebenso empfinden wir, sobald wir dazu geführt sind, 
Mittelglieder zwischen die unmittelbar aufeinanderfolgen- 
den Glieder einer Reihe einzuschalten, daß diese Opera- 
tion über jede Grenze hinaus fortgesetzt werden kann 
und daß es sozusagen keinen triftigen Grund dafür gibt 
aufzuhören. 

Man erlaube mir, um mich kürzer zu fassen, als 
mathematisches Kontinuum erster Ordnung jede Gesamt- 
heit von Gliedern zu bezeichnen, die nach demselben 
Gesetze gebildet werden, wie die Stufenleiter der kom- 
mensurablen Zahlen. Wenn wir in der Folge nach dem 
Bildungsgesetze der inkommensurablen Zahlen neue Stufen 
einschalten, so werden wir das erhalten, was wir ein 
Kontinuum der zweiten Ordnung nennen wollen. 

Zweites Stadium. — Wir haben bis jetzt nur den 
ersten Schritt getan; wir haben den Ursprung des Kon- 
tinuums erster Ordnung erklärt; aber wir müssen jetzt 
sehen, warum das noch nicht genügt und warum es not- 
wendig ist, die inkommensurable Zahl zu ersinnen. 

Wenn man sich eine Linie vorstellen will, so wäre 
es nur möglich mit den Merkmalen des physikalischen 
Kontinuums, das heißt, man kann sie sich nur in einer 



26 I) 2. Mathematische Größe und Erfahrung. 

gewissen Breite vorstellen. Zwei Linien würden uns als- 
dann in der Gestalt von zwei engen Streifen erscheinen, 
und wenn man sich mit dieser groben Vorstellung be- 
gnügt, so ist es klar, daß diese beiden Linien, wenn 
sie sich schneiden, einen Teil gemeinsam haben.'') 

Aber der reine Mathematiker geht einen Schritt weiter : 
ohne ganz auf die Hilfsmittel seiner Sinne zu verzichten, 
will er den Begriff der Linie ohne Breite erlangen und 
denjenigen des Punktes ohne Ausdehnung. Er kann 
dazu nur kommen, indem er die Linie als die Grenze 
betrachtet, welcher sich ein immer schmaler werdender 
Streifen unbegrenzt nähert, und den Punkt als die Grenze, 
welcher sich ein immer kleiner werdendes Flächenstück 
beliebig nähert. Dann werden unsere beiden Streifen, 
so schmal sie auch sein mögen, immer ein Flächenstück 
gemeinsam haben, welches desto kleiner sein wird, je 
weniger breit die Streifen sind, und deren Grenze das 
sein wird, was der reine Mathematiker einen Punkt nennt. 

Von diesem Standpunkte aus sagt man, daß zwei 
Linien, welche sich schneiden, einen Punkt gemeinsam 
haben, und in diesem Sinne erscheint diese Wahrheit 
einleuchtend. 

Aber sie würde einen Widerspruch enthalten, wenn 
man die Linien als Kontinua erster Ordnung betrachten 
würde, d. h. wenn auf den vom Mathematiker gezogenen 
Linien sich nur Punkte befinden sollten, welche rationale 
Zahlen zu Koordinaten haben. Der Widerspruch wird 
offenbar, sobald man zum Beispiel die Existenz von 
Geraden und Kreisen zuläßt. 

In der Tat ist folgendes klar: wenn nur die Punkte 
mit kommensurablen Koordinaten als wirklich betrachtet 
würden, so würden die Diagonale eines Quadrates und 
der diesem Quadrate eingeschriebene Kreis sich nicht 
schneiden, denn die Koordinaten des Schnittpunktes be- 
rechnen sich als inkommensurable Zahlen.®) 



Punkt und Linie. 



27 



Das würde nicht genügen, denn man würde auf diese 
Weise nur gewisse inkommensurable Zahlen und keines- 
wegs alle diese Zahlen erhalten. 

Stellen wir uns eine gerade Linie vor, welche in 
zwei Halbstrahlen geteilt ist. Jeder dieser Halbstrahlen 
wird unserer Einbildungskraft als ein Streifen von einer 
gewissen Breite erscheinen; diese Streifen würden über- 
einander greifen, weil es zwischen ihnen keinen Zwischen- 
raum geben darf. Der gemeinsame Teil wird uns wie 
ein Punkt erscheinen, welcher immer bestehen bleibt, 
wenn wir unsere Streifen in der Vorstellung dünner und 
dünner werden lassen, und so werden wir es als eine 
anschauungsmäßige Wahrheit zulassen, daß die gemein- 
same Grenze zweier Halbstrahlen, in welche eine Gerade 
geteilt wird, ein Punkt ist; hier werden wir an die oben 
erörterte Vorstellung (S. 2 1 f ) erinnert, nach welcher eine 
inkommensurable Zahl als die gemeinsame Grenze zweier 
Klassen von rationalen Zahlen betrachtet wurde. 

Auf solche Weise entsteht das Kontinuum zweiter 
Ordnung, welches mit dem eigentlichen mathematischen 
Kontinuum identisch ist. 

Zusammenfassung. — Wir haben also folgendes 
erkannt: Der Verstand hat die Fähigkeit, Symbole zu 
schaffen, und dadurch konstruiert er das mathematische 
Kontinuum, welches nichts anderes ist als ein beson- 
deres System von Sjmibolen. Seine Macht wird nur be- 
grenzt durch die Notwendigkeit, Widersprüche zu ver- 
meiden; aber der Verstand macht von dieser Fähigkeit 
nur Gebrauch, wenn die Erfahrung ihm dazu Veran- 
lassung gibt. 

In unserem Falle liegt diese Veranlassung in der 
Vorstellung des physikalischen Kontinuums, wie sie aus 
den groben Erfahrungen der Sinne abgeleitet wird. Aber 
diese Vorstellung führt zu einer Reihe von Widersprüchen, 
die man schrittweise beseitigen muß. Dadurch werden 



28 I) 2« Mathematisclie Größe und Erfahmog. 

"wir genötigt, ein System von Symbolen zu ersinnen, das 
immer verwickelter wird. Dasjenige, mit welchem wir 
uns zufrieden geben, ist nicht nur frei von inneren Wider- 
sprüchen (das galt schon für alle einzelnen Abschnitte 
des von uns zurückgelegten Weges), sondern es steht 
auch nicht im Widerspruche mit den verschiedenen 
Sätzen, die wir als anschauungsmäßige bezeichnen und 
welche aus mehr oder weniger durchgearbeiteten, er- 
fahrungsmäßigen Vorstellungen abgeleitet werden. 

Die meßbare Größe. — Die Größen, welche wir 
bis jetzt studiert haben, sind nicht meßbar; wir können 
wohl sagen, ob die eine dieser Größen größer ist als 
eine bestimmte andere, aber nicht, ob sie zwei- oder 
dreimal so groß ist. 

Ich habe mich in der Tat bis jetzt nur mit der Ord- 
nung beschäftigt, in welcher unsere Glieder aufeinander 
folgen. Aber für die meisten Anwendungen ist das 
nicht genügend. Wir müssen lernen, die Intervalle zu 
vergleichen, welche die aufeinanderfolgenden Glieder 
irgend zweier Paare von Gliedern voneinander trennen. 
Nur unter dieser Bedingung wird das Kontinuum eine 
meßbare Größe und kann man auf dasselbe die Opera- 
tionen der Arithmetik anwenden. 

Das kann nur mit Hilfe einer neuen und besonderen 
Übereinkunft geschehen. Man wird also dahin über- 
einkommen, daß in einem gewissen bestimmten Falle 
das Intervall zwischen den Gliedern A und B gleich ist 
dem Intervalle, welches C von D trennt. Beim Beginn 
unserer Arbeit sind wir z. B. von der Stufenleiter der 
ganzen Zahlen ausgegangen, und wir haben vorausge- 
setzt, daß man zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stufen 
n Zwischenstufen einschalte; wenn dem so ist, so sollen 
die neuen Stufen durch Übereinkunft als äquidistant 
betrachtet werden. 

Auf diese Weise kann man die Addition zweier 



Meßbare Größen. 



29 



Größen definieren; denn wenn das Intervall AB nach 
der Definition gleich dem Intervalle CD ist, so ist nach 
der Definition auch das Intervall AD gleich der Summe 
der Intervalle A B und A C, 



AB CD 

Voraus. AB = CD, Behaup. AD ^ AB + AC 
Bew. AD^AB + BC+CD 
= AB + (BC+AB) 
^AB+AC. 

Diese Definition ist in sehr weitem Umfange, jedoch 
nicht ganz willkürlich. Sie ist gewissen Bedingungen 
unterworfen, z. B. den Gesetzen der Kommutativität und 
der Associativität der Addition (Vgl. oben S. 7 f.). Aber 
wenn nur die gewählte Definition diesen Regeln genügt, 
so steht die Wahl sonst frei, imd es ist überflüssig, sie 
näher zu präcisieren. 

Verschiedene Bemerkungen. — Wir können uns 
mehrere wichtige Fragen vorlegen: 

I. Ist die schaffende Kraft des Verstandes mit der 
Erschaflung des mathematischen Kontinuums erschöpft? 

Nein: die Arbeiten von P. du Bois-Reymond zeigen 
es in schlagender Weise.^) 

Man weiß, daß die Mathematiker unendlich kleine 
Größen verschiedener Ordnung unterscheiden und daß 
diejenigen zweiter Ordnung unendlich klein sind, nicht 
nur in absolutem Sinne, sondern sogar in Bezug auf 
diejenigen erster Ordnung. Es ist nicht schwer, sich 
unendlich kleine Größen gebrochener oder sogar irratio- 
naler Ordnung auszudenken, und wir finden hier die 
Stufenleiter des mathematischen Kontinuums wieder, mit 
welcher wir uns auf den vorhergehenden Seiten be- 
schäftigt haben. 



30 I> 2* Mathemitische Größe und ErüaliniDg. 

Noch mehr: es existieren unendlich kleine Größen, 
welche unendlich klein im Verhältnis zu denjenigen 
erster Ordnung, dagegen unendlich groß im Verhältnis 
zu denjenigen der Ordnung l -|- a sind, und das gilt, so 
klein auch s sein mag. Da haben wir also neue Glieder 
in unsere Reihe eingeschaltet, und wenn man mir er- 
lauben will, zu der schon eben angedeuteten Ausdrucks- 
weise zurückzukehren, welche sehr bequem, wenn auch 
nicht durch den Gebrauch geheiligt ist, so könnte ich 
sagen, daß man auf diese Weise ein Kontinuum dritter 
Ordnung geschaffen hat. 

Es würde leicht sein weiter zu gehen, aber es würde 
ein leeres Spiel des Verstandes werden; man würde sich 
Symbole ausdenken ohne jede Möglichkeit der Anwen- 
dung, und niemand wird sich darum kümmern. Das 
Kontinuum dritter Ordnung, zu dem die Betrachtung 
der verschiedenen Ordnungen unendlich kleiner Größen 
fährt, bietet selbst zu wenig Vorteile, imi sich das Bürger- 
recht zu erwerben, und die Mathematiker betrachten es 
nur als eine Merkwürdigkeit. Der Verstand bedient sich 
seiner schöpferischen Kraft nur, wenn die Erfahrung ihn 
dazu nötigt. 

2. Hat man sich einmal den B^rifif des mathemati- 
schen Kontinuums verschafift, ist man dann gegen die- 
jenigen Widersprüche gesichert, welche zur Konstruktion 
des Kontinuums Veranlassung gaben? 

Nein; ich will es durch ein Beispiel erläutern: 

Man muß schon sehr weit in der Mathematik vorge- 
schritten sein, um es nicht far selbstverständlich zu 
halten, daß jede Kurve eine Tangente hat: und in der 
Tat, wenn man sich diese Kurve und eine gerade Linie 
als zwei schmale Streifen vorstellt, so wird man sie 
immer in eine solche Lage bringen können, daß sie ein 
Flächenstück gemeinsam haben, ohne sich zu schneiden. 
Man stellt sich weiter vor, daß die Breite dieser beiden 



Kurven ohne Tangenten. 31 

Streifen unbegrenzt abnimmt, so wird dieses gemeinsame 
Stück immer erhalten bleiben, und beim Verfolgen des 
Grenzüberganges wird man sagen können, daß die beiden 
Linien einen Punkt gemeinsam haben, ohne sich zu 
schneiden, d. h. daß sie sich berühren. 

Der Mathematiker, welcher (bewußt oder unbewußt) 
auf diese Weise seine Schlüsse machen wollte, würde 
nichts anderes tun, als was wir oben (vgl. S. 26) getan 
haben, um zu beweisen, daß zwei Linien, welche sich 
schneiden, einen Punkt gemeinsam haben, und seine 
Anschauung könnte als ebenso berechtigt erscheinen. 

Sie würde ihn jedoch in diesem Falle täuschen. Man 
kann beweisen, daß es Kurven gibt, welche keine Tan- 
gente haben, wenn eine solche Kurve als ein analytisches 
Kontinuum zweiter Ordnung definiert wird.^^ 

Ohne Zweifel hätte irgend ein Kunstgriff, ähnlich den- 
jenigen, welche wir oben studiert haben, genügt, um 
diesen Widerspruch aufzuheben; aber da letzterer nur 
ganz ausnahmsweise vorkommt, so hat man sich damit 
weiter keine Mühe gegeben. Anstatt zu versuchen, die 
Anschauung mit der Analysis in Obereinstimmung zu 
bringen, hat man sich damit begnügt, die eine der beiden 
zu opfern, und da die Analysis unfehlbar bleiben muß, 
so hat man natürlich der Anschauung Unrecht gegeben. 

Das physikalische Kontinuum von mehreren 
Dimensionen. — Ich habe weiter oben das physi- 
kalische Kontinuum durchgenommen, so wie es aus den 
unmittelbaren Beobachtungen unserer Sinne hervorgeht, 
oder wenn man will, aus den groben Resultaten der 
Versuche von Fechner (vgl. S. 2 2 f.); ich habe gezeigt, 
daß diese Erfahrungen in den widersprechenden Formeln 
zusammengefaßt sind: 

A^B, B^ C, A<C. 

Wir wollen jetzt sehen, wie diese Vorstellung sich 



%2 h 2- 3fadieiitalische GröSe und Ei^liraog. 

yfeaUgemanem laßt und wie darans der B^;riff des 
Kanttnaimis Ton mefareren Dimeiisioiien hervoigehen 

Betraditeii wir irgend zwei GesamÜieiten von Emp- 
findungen« Entweder wir können sie voneinander unter- 
sdieiden, oder wir können es nicht, ebenso wie sich in 
den Untersuchungen Fechners ein Crewicht von lo Gramm 
von ein^n Gewichte von 12 Gramm unterscheiden ließ, 
aber nicht von einem Gewichte von 11 GranmL Ich 
brauche nichts weiter, um das Kontinuum von mehreren 
Dimensionen zu konstruieren« 

Wir wollen eine dieser Gesamtheiten der Empfindun- 
gen Element nennen. Dasselbe wird dem mathematischen 
Punkt ungefähr analog sein; aber doch wird es nicht 
ganz dasselbe sein. Wir können nicht sagen, daß unser 
'Elemeat ohne Ausdehnung sei, weil wir es nicht von 
benachbarten Elementen unterscheiden können und weil 
CS auch von einer Art undurchsichtiger Schicht umgeben 
ist. Wenn man mir diesen astronomischen Vergleich 
gestatten will, so würden sich unsere „Elemente" wie 
Nebelfiecke verhalten, während die mathematischen Punkte 
sich wie Sterne verhalten. 

Wenn wir an dieser Vorstellung festhalten, so wird 
ein System von Elementen ein Kontinuum bilden, wenn 
man von irgend einem Elemente zu irgend einem ande- 
ren durch eine Reihe von aufeinanderfolgenden Elementen 
hindurch übergehen kann, unter denen keines sich vom 
vorhergehenden unterscheiden läßt. Diese lineare Reihe 
verhält sich zur Linie des Mathematikers wie ein ein- 
zelnes Element sich zum Punkte verhält. 

Ehe wir weiter gehen, muß ich erörtern, was ein 
Querschnitt ist. Fassen wir ein Kontinuum C ins 
Auge und nehmen ihm gewisse seiner Elemente, welche 
wir für einen Augenblick als nicht zu diesem Kontinuum 
iBUgehörig betrachten. Die so entnommene Gesamtheit 



Mehrere DimeDsioneo. 



33 



der Elemente wird man einen Querschnitt nennen. Ver- 
mittelst dieses Querschnittes läßt es sich bewerkstelligen» 
daß C in mehrere getrennte Kontinua zerlegt wird, und 
zwar dann, wenn die Gesamtheit der zurückbleibenden 
Elemente aufhört ein einziges Kontinuum zu bilden. 

Alsdann sind auf C zwei Elemente angebbar, A und 
B, welche man als zu den beiden getrennten Kontinuis 
gehörig betrachten müßte; und zwar wird man letzteres 
dann tun, wenn es unmöglich ist, eine lineare Reihe 
aufeinander folgender Elemente von C zu finden, wobei 
keines der Elemente vom vorhergehenden zu unter- 
scheiden ist und das erste Element mit A, das letzte 
mit B zusammenfallt, ohne daß eines unter den 
Elementen dieser Reihe von einem Elemente 
des Querschnittes nicht unterschieden werden 
kann. 

Es kann im Gegenteil möglich sein, daß der ge- 
machte Querschnitt ungenügend ist, um das Kontinuum 
C zu zerlegen. Um die physikalischen Kontinua einzu- 
teilen, werden wir genau prüfen, welches diejenigen Quer- 
schnitte sind, die man notwendig braucht, um die Zer- 
legung durchzuführen. 

Wenn man ein physikalisches Kontinuum C durch 
^inen Querschnitt zerlegen kann, welcher sich auf eine 
endliche Anzahl von gegeneinander abgegrenzten Ele- 
menten reduziert und welcher folglich weder ein Kon- 
tinuum noch mehrere Kontinua bildet, so werden wir C 
^in Kontinuum von einer Dimension nennen. ^^) 

Wenn im Gegenteil C nur durch Querschnitte zer- 
legt werden könnte, welche selbst Kontinua sind, so 
werden wir sagen, daß C mehrere Dimensionen hat. 
Wenn es genügt, Querschnitte zu haben, welche Kon- 
tinua von einer Dimension sind, so werden wir sagen, 
daß C zwei Dimensionen hat; wenn zweidimensionale 

Poincar6, Wissenschaft und Hypothese. 3 



34 



Mathematische Größe imd Erfahrung. 



Querschnitte genügen, so werden wir sagen, daß C dr^i 
Dimensionen hat, und so weiter. 

So läßt sich der Begriff des physikalischen Kon- 
tinuums von mehreren Dimensionen definieren, dank der 
einfachen Tatsache, daß zwei Gesamtheiten von Emp- 
findungen entweder voneinander unterscbeidbar oder 
nicht voneinander unterscheidbar sind. 

Pas mathematisfche Kontinuuni von mehreren 
Dimensionen. — Der Begriff des mathematischen Kon- 
tinuums von n Dimensionen ist daraus ganz natürlich 
durch einen Prozeß hervorgegangen, ganz ähnlich dem- 
jenigen, den wir am Anfang dieses Kapitels behandelt 
haben. Ein Punkt eines derartigen Kontinuums erscheint 
uns, wie man weiß, als definiert durch ein System von n 
verschiedenen Größen, welche man seine Koordinaten 
nennt. 

Es ist nicht immer notwendig, daß diese Größen 
meßbar sind, und es gibt z. B. einen Zweig der Mathe- 
matik, in welchem man von der Messung dieser Größen 
Abstand nimmt und wo man sich ausschließlich damit 
beschäftigt, zu erfahren, ob z. B. auf einer Kurve 
A — B — C der Punkt B zwischen den Punkten A und 
C liegt, und nicht damit, zu erfahren, ob der Bogen 
AB gleich dem Bogen BC oder ob er etwa zweimal 
so groß ist. Diesen Zweig der Geometrie nennt man 
Analysis situs.^*) 

Das ist ein Lehrgebäude für sich, welches die Auf- 
merksamkeit der größesten Mathematiker auf sich ge- 
lenkt hat und bei welchem man eine Reihe bemerkens- 
werter Lehrsä,tze auseinander hervorgehen sieht. Diese 
Lehrsätze sind von denjenigen der gewöhnlichen Geome- 
trie dadurch ausgezeichnet, daß sie rein qualitativ sind 
und daß sie wahr bleiben, auch wenn die Figuren 
durch einen ungeschickten Zeichner kopiert würden, 
welcher dabei ihre Proportionen in plumper Weise ver- 



Analysis situs. 2 c 

ändert und die geraden Linien durch mehr oder minder 
krmnme Züge ersetzt. 

Dadurch, daß man das Maß in das von uns soeben 
definierte Kontinuum einführen wollte, ist dieses Kon- 
tinuum zum Räume geworden und ist die Geometrie 
geboren. Aber das nähere Studium dieser Verhältnisse 
behalte ich mir für den zweiten Teil vor. 



Zweiter Teil. 
Der Raum. 

Drittes Kapitel. 

Die nicht-Euklidische Geometrie. 

Jede Schlußfolgerung stützt sich auf Voraussetzungen ; 
diese Voraussetzungen selbst sind entweder an sich evi- 
dent und bedürfen keines Beweises oder sie können nur 
dadurch gesichert werden, daß man sich auf andere 
Sätze stützt, und weil man so nicht ins Unendliche fort- 
fahren kann, so beruht jede deduktive Wissenschaft und 
besonders die Geometrie auf einer gewissen Anzahl von 
unbeweisbaren Axiomen. Alle Lehrbücher der Geometrie 
beginnen daher mit der Aufzählung dieser Axiome. 
Aber man muß einen Unterschied zwischen letzteren 
machen: einige, wie z. B.: „Zwei Größen, die einer und 
derselben dritten gleich sind, sind untereinander gleich", 
sind nicht Behauptungen der Geometrie, sondern analy- 
tische Sätze. Ich betrachte sie als analytische Urteile 
a priori und beschäftige mich nicht weiter mit ihnen.^^ 

Aber ich muß mich auf andere Axiome berufen, 
welche der Geometrie eigentümlich sind. Die meisten 
Lehrbücher geben drei solche an: 

1. Durch zwei Punkte kann nur eine Gerade gehen; 

2. Die gerade Linie ist der kürzeste Weg von einem 
Punkte zum anderen; 

3. Durch einen Punkt kann man nur eine Gerade 
gehen lassen, welche zu einer gegebenen Geraden pa- 
rallel ist. 



Nicht-Euklidische Geometrie. 



37 



Obgleich man sich im allgemeinen nicht die Mühe 
gibt, das zweite Axiom zu beweisen, würde es doch 
möglich sein, es aus den beiden anderen und aus den 
viel zahlreicheren Axiomen abzuleiten, welche man im- 
plicite zuläßt, ohne sie auszusprechen, wie ich weiterhin 
darlegen werde. 

Man hat lange vergeblich versucht, das dritte Axiom 
ebenfalls zu beweisen, welches unter dem Namen des 
Euklidischen Postulates bekannt ist. Was man in 
dieser unerfüllbaren Hoffnung an Kräften verschwendet 
hat, ist wirklich unvorstellbar. Endlich stellten im An- 
fange des Jahrhunderts und ungefähr zu der gleichen 
Zeit zwei Gelehrte, ein Russe und ein Ungar, Loba- 
tschewsky und Bolyai unwiderlegbar fest, daß dieser Be- 
weis unmöglich sei; sie haben uns so ziemlich von den 
Erfindern, welche unsere elementare Geometrie ohne das 
Euklidische Postulat aufstellen wollten, befreit; seitdem 
erhält die Acad6mie des Sciences nur noch ein oder 
zwei solche Beweise im Jahr.^*) 

Die Frage war noch nicht erschöpft; aber sie machte 
bald einen großen Schritt vorwärts durch die Publikation 
der berühmten Abhandlung von Riemann, betitelt: Über 
die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde 
liegen. Diese Schrift hat die meisten neueren Arbeiten 
beeinflußt, von welchen ich weiterhin sprechen werde, und 
unter denen man diejenigen von Beltrami und von Helm- 
holtz erwähnen muß.^^) 

Die Geometrie von Lobatschewsky. — Wenn es 
möglich wäre, das Euklidische Postulat auf andere Axiome 
zurückzuführen, so würde man offenbar durch Verneinung 
des Postulates, bei Zulassung der anderen Axiome auf 
widerstreitende Folgerungen stoßen; es würde also un.- 
möglich sein, auf solche Voraussetzungen eine zusammen- 
hängende Geometrie zu stützen. 



3 8 n, 3* Nicht-Eaklidische Geometrie. 

Genau das hat Lobatschewsky durchgeführt. Er setzt 
zu Anfang voraus: 

„Man kann durch einen Punkt mehrere Paral- 
lelen zu einer gegebenen Geraden ziehen." 

Und er behält andererseits alle anderen Axiome 
Euklids bei. Aus diesen Hypothesen leitet er eine 
Reihe von Lehrsätzen ab, zwischen denen keinerlei 
Widerspruch besteht, und er konstruiert eine Geometrie, 
deren unfehlbare Logik in nichts derjenigen der Eukli- 
dischen Geometrie nachsteht. 

Die Lehrsätze sind, wohl verstanden, sehr verschieden 
von denjenigen, an welche wir gewöhnt sind, und sie 
machen anfangs etwas stutzig. 

„So ist die Summe der Winkel eines Dreiecks 
immer kleiner wie zwei Rechte, und die Differenz 
zwischen dieser Summe und zwei Rechten ist dem 
Flächeninhalte des Dreiecks proportional." 

„Es ist unmöglich, zu einer gegebenen Figur eine 
ähnliche Figur in größeren oder kleineren Dimensionen 
zu zeichnen." 

„Wenn man einen Kreis in n gleiche Teile teilt und 
wenn man Tangenten in den Teilpunkten zieht, so 
werden diese n Tangenten ein Polygon bilden, wenn 
der Halbmesser des Kreises klein genug ist, aber wenn 
der Halbmesser hinreichend groß ist, so werden sie sich 
gegenseitig nicht schneiden." 

Es ist unnütz, diese Beispiele zu vermehren; die 
Sätze Lobatschewskys haben keine Beziehungen zu den- 
jenigen von Euklid, aber sie sind nicht weniger streng 
logisch untereinander verbunden. 

Die Geometrie von Riemann. — Wir wollen uns 
eine eigenartige Welt vorstellen, welche mit Wesen be- 
völkert ist, die keine Dicke (oder Höhe) haben, und wir 
wollen femer voraussetzen, daß diese „gänzlich flachen" 
Lebewesen alle in derselben Ebene sich befinden und 



Lobatschewsky und Riemann. in 

nicht aus ihr heraus können. Wir nehmen außerdeni 
an, daß diese Welt weit genug von den anderen Welteü 
entfernt sei, so daß sie deren Einflüsse entzogen ist. 
Wenn wir einmal dabei sind, Hjrpothesen aufzustellen, 
so kostet es uns weiter keine Mühe, diese Wesen mit 
Vernunft auszustatten und sie für fähig zu halten, Geome- 
trie zu treiben. In diesem Falle \^erden sie dem Räume 
gewiß nur zwei Dimensionen zuerkennen.^') 

Aber wir wollen jetzt voraussetzen, daß diese einge* 
bildeten Lebewesen, indem sie zwar ohne Dicke (reip. 
Höhe) bleiben, eine kugelförmig gewölbte Gestalt habeÄ 
und nicht eine flache Gestalt, und daß sie alle auf der-^ 
selben Kugel wären, ohne die Macht zu haben, sich da* 
von zu entfernen. Welche Geometrie würden sie kon* 
struieren? Es ist klar, daß sie vor allem dem Räume 
nur zwei Dimensionen zusprechen würden; was würde 
nun für sie die Rolle der geraden Linie spielen? Oflfen-^ 
bar der kürzeste Weg zwischen einem Punkte und dem 
anderen auf der Kugel, d. h. ein Bogen eines größesten 
Kreises; mit einem Worte: ihre Geometrie würde die 
Geometrie der Kugel sein (Sphärische Geometrie). 

Was sie den Raum nennen würden, wird diese Kugel 
sein, von welcher sie nicht fort können und auf welcher 
sich alle Ereignisse abspielen, von denen sie Kenntniä 
haben können. Ihr Raum wird also ohne Grenzen 
sein, weil man auf einer Kugel stets vorwärts schreiten 
kann, ohne jemals aufgehalten zu werden, und dennoch 
wird er endlich sein ; man wird niemals ans Ende kommen, 
aber man wird bei stetigem Fortschreiten in gleichet 
Richtung zum Ausgangspunkte zurückkehren. 

In gleichem Sinne ist die Geometrie von Riemann 
identisch mit der sphärischen Geometrie, wenn man 
letztere auf drei Dimensionen ausdehnt. Um sie zu 
konstruieren, mußte der deutsche Mathematiker nicht nut 
das Euklidische Postulat über Bord werfen, sondern auch 



^O ^t 3* Nicht-Euklidische Geometrie. 

das erste Axiom: durch zwei Punkte kann man 
^ur eine Gerade gehen lassen. 

Auf einer Kugel kann man durch zwei gegebene 
Punkte im allgemeinen nur einen größten Kreis legen 
(der wie wir soeben gesehen haben, für unsere einge- 
bildeten Lebewesen die Rolle der geraden Linie spielen 
würde); aber es gibt eine Ausnahme: Wenn die beiden 
gegebenen Punkte einander diametral gegenüber liegen, 
kann man durch sie eine unendliche Anzahl von größten 
Kreisen hindurch legen. Ebenso wird man in der 
Riemannschen Geometrie (wenigstens bei einer der für 
sie möglichen Formen) durch zwei Punkte im allgemeinen 
nur eine gerade Linie legen können; aber es gibt Aus-» 
nahmefalle, wo durch zwei Punkte unendlich viele gerade 
Linien hindurchgehen.^^ 

Es besteht eine Art Gegensatz zwischen der Riemann- 
schen und der Lobatschewskyschen Geometrie. So ist 
die Surome der Winkel eines Dreiecks 

gleich zwei Rechten in der Euklidischen Geometrie, 
kleiner als zwei Rechte bei Lobatschewsky, 
größer als zwei Rechte bei Riemann. 

Die Zahl der Linien, welche man parallel zu einer 
gegebenen Linie durch einen gegebenen Punkt ziehen 
kann, ist: 

gleich eins in der Euklidischen Geometrie, 

gleich Null bei Riemann, 

unendlich groß bei Lobatschewsky.^^ 

Wir wollen noch hervorheben, daß der Riemannsche 
Raum endlich, jedoch unbegrenzt ist, wenn man diese 
Worte in dem oben festgesetzten Sinne versteht. 

Die Flächen konstanten Krümmungsmaßes. — 
Ein Einwurf bliebe indessen möglich. Die Lehrsätze 
von Lobatschewsky und von Riemann enthalten keinen 
Widerspruch; aber wie zahlreich auch die Folgerungen 
sein mögen, welche diese beiden Mathematiker aus ihren 



Flächen konstanter Krümmung. aj 

Hypothesen gezogen haben, sie haben stehen bleiben 
müssen, bevor sie alle erschöpft hatten, denn die An- 
zahl dieser Folgerungen würde unendlich sein; wer sagt 
uns aber, daß sie nicht doch auf irgend einen Wider- 
stand gestoßen wären, wenn sie ihre Ausführungen weiter 
verfolgt hätten? 

Diese Schwierigkeit existiert für die Riemannsche 
Geometrie nicht, vorausgesetzt, daß man sich auf zwei 
Dimensionen beschränkt; die Riemannsche Geometrie 
von zwei Dimensionen unterscheidet sich in der Tat, 
wie wir schon gesehen haben, nicht von der sphärischen 
Geometrie, welche nur ein Zweig der gewöhnlichen 
Geometrie ist und welche dadurch außerhalb jeder Dis- 
kussion steht. 

Beltrami hat ebenso gezeigt, daß die Lobatschewsky- 
sche Geometrie von zwei Dimensionen nichts anderes 
ist als ein Zweig der gewöhnlichen Geometrie und da- 
durch ebenfalls jeden Einwand entkräftet, den man gegen 
dieselbe machen könnte. 

Ich erwähne, wie er dazu gekommen ist. Fassen 
wir auf einer Oberfläche irgend eine Figur ins Auge. 
Wir wollen uns einbilden, diese Figur wftre auf eine 
biegsame und unausdehnbare Leinwand gezeichnet, welche 
so über diese Oberfläche gespannt ist, daß die verschie- 
denen Linien ihre Gestalt, aber nicht ihre Länge ändern 
können, wenn die Leinwand verschoben und verbogen 
wird. Im allgemeinen kann diese biegsame und unaus*» 
dehnbare Figur nicht von ihrem Platze verschoben werden, 
ohne die Oberfläche zu verlassen; aber es gibt gewisse 
besondere Oberflächen, bei welchen eine solche Be- 
wegung möglich wird: das sind die Oberflächen kon- 
stanten Krümmungsmaßes, 

Wenn wir den Vergleich aufnehmen, welchen wir 
weiter oben machten, wenn wir uns Wesen ohne Dicke 
(bezw. Höhe) einbilden, welche auf einer dieser Ober-^ 



A2 n, 3* Niclit-£uklidiscli6 Geometrie. 

flächen leben, so würden dieselben die Bewegung einei: 
Figur, d^en Linien eine konstante Länge bewahren, 
für möglich halten. Eine ähnliche Bewegung würde für 
Wesen ohne Dicke (resp. Höhe), welche auf einer Ober*- 
fläche mit variabler Krümmung (d. h. einer Fläche, deren 
Krümmung nicht an jeder Stelle denselben Wert hat) 
leben, unmöglich sein. 

Diese Oberflächen mit konstanter Krünmiung lassen 
sich in zwei Arten einteilen: 

Die einen sind von positiver Krümmung und 
können ihre Gestalt so verändern, daß sie sich auf eine 
Kugel abwickeln lassen (ohne daß dabei die Längen der 
auf der Fläche gezeichneten Linien geändert würden). 
Die Geometrie dieser Oberflächen reduziert sich also auf 
die sphärische Geometrie, welche mit derjenigen Riemanns 
identisch ist. 

Die anderen sind von negativer Krümmung. 
Beltrami hat gezeigt, daß die Geometrie dieser Ober- 
flächen keine andere wie diejenige Lobatschewskys ist. 
Die zwei-dimensionalen Geometrien von Riemann und 
von Lobatschewsky lassen sich also wiederum zur Eukli- 
dischen Geometrie in Beziehung setzen. 

Veranschaulichung der nicht-Euklidischen Geo- 
metrien. — So erledigt dich der obige Einwurf, inso- 
fern er die Geometrie von zwei Dimensionen betrifft. 

Es wäre leicht, die Entwicklung Beltramis auf die 
Geometrien von drei Dimensionen auszudehnen. Wer 
sich durch den Raum von vier Dimensionen nicht ab- 
schrecken läßt, würde darin keine Schwierigkeit sehen, 
aber das wird nur für wenige gelten. Ich ziehe es vor, 
in anderer Weise vorzugehen. 

Wir wollen eine gewisse Ebene betrachten, welche 
ich als Fundamental-Ebene bezeichnen will, und wir 
wollen eine Art von Wörterbuch herstellen, indem wir 
mit einer doppelten Reihe von Gliedern, welche in zwei 



Mittel zva Veranschanlicliang. ^^ 

Kolonnen aufgeschrieben sind, in derselben Art wie in 
den gewöhnlichen Wörterbüchern die Worte zweier 
Sprachen, die denselben Sinn haben, einander korres*- 
pondieren lassen :^^) 

Raum Teil des Raumes oberhalb der 

Fundamentalebene. 
Ebene — — Kugel, welche die Fundamental- 
ebene rechtwinklig schneidet. 
Gerade — — — — Kreis, welcher die Fundamental- 
ebene rechtwinklig schneidet. 

Kugel Kugel. 

Kreis — — Kreis. 

Winkel Winkel. 

Gegenseitige Entfernung 

zweier Punkte. — Logarithmus des Doppel-Verhalt* 

nisses, welches diese beiden 
Punkte mit zwei anderen Punk- 
ten bilden, wenn letztere als 
Schnittpunkte der Fundamen- 
talebene mit einem Kreise de- 
finiert werden, der durch diese 
beiden Punkte hindurchgeht 
und die Fundamentalebene 
rechtwinklig schneidet. 

etc. — — — etc. 

Wir nehmen jetzt die Lehrsätze von Lobatschewsky 
und übersetzen sie mit Hilfe dieses Wörterbuches, wie 
wir einen deutschen Text mit Hilfe eines deutsch-französi- 
schen Wörterbuches übersetzen würden. Wir werden 
so Lehrsätze der gewöhnlichen Geometrie er- 
halten. 

Nehmen wir z. B. folgenden Satz von Lobatschewsky : 
„die Summe der Winkel eines Dreiecks ist kleiner wie 
zwei Rechte"; seine Übersetzung lautet folgendermaßen: 
„Wenn ein krummliniges Dreieck Kreisbögen zu Seiten 



^^ n, 3. Nicht-Euklidische Geometrie. 

hat, deren Verlängerungen die Fundamentalebene recht- 
winklig schneiden würden, so ist die Summe der Winkel 
dieses rechtwinkligen Dreiecks kleiner als zwei Rechte." 
Auf diese Weise wird man niemals, soweit man auch 
die Folgerungen der Hypothesen von Lobatschewsky treibt, 
auf einen Widerspruch stoßen. In der Tat, wenn zwei 
Lehrsätze von Lobatschewsky einander widersprechen 
würden, so würde dasselbe der Fall sein mit den Über- 
setzungen dieser beiden Lehrsätze, welche mit Hilfe 
unseres Wörterbuches gemacht sind, aber diese Über- 
setzungen sind Lehrsätze der gewöhnlichen Geometrie, 
und niemand zweifelt daran, daß die gewöhnliche Geo- 
metrie von Widersprüchen frei ist. Woher kommt uns 
diese Gewißheit und ist sie gerechtfertigt? Darin liegt 
eine Frage, welche ich hier nicht zu behandeln weiß, 
welche aber sehr interessant ist, und die ich nicht für 
unlösbar halte. Es bleibt also nichts von dem Einwurfe 
Übrig, den ich weiter oben formuliert habe. 

Das ist nicht alles. Die Geometrie von Loba- 
tschewsky, welche einer konkreten Veranschaulichung fähig 
ist, hört auf, ein leeres Spiel des Verstandes zu sein, und 
kann Anwendungen erhalten; ich habe nicht Zeit, hier 
von diesen Anwendungen zu sprechen, noch von dem 
Vorteil, den Klein und ich daraus für die Integration 
linearer Differentialgleichungen gezogen haben.^ 

Diese Veranschaulichung ist nicht die einzig mög- 
liche, und man könnte mehrere Wörterbücher herstellen, 
analog dem obigen, welche alle erlauben würden, durch 
eine einfache „Übersetzung" die Lehrsätze Lobatschewskys 
in solche der gewöhnlichen Geometrie zu verwandeln. ^^) 

Die impliziten Axiome. — Sind die Axiome, welche 
in den Lehrbüchern ausdrücklich aufgezählt werden, die 
einzige Grundlage der Geometrie? Man kann vom 
Gegenteil versichert sein, wenn man sieht, daß sie nach- 
einander aufgegeben werden können, und daß dennoch 



Implizite Axiome. ac 

einige Lehrsätze bestehen bleiben , die den Theorien 
Euklids f Lobatschewskys und Riemanns gemeinsam sind. 
Diese Lehrsätze müssen auf Voraussetzungen beruhen, 
welche die Mathematiker zu Hilfe nehmen, ohne sie aus- 
drücklich auszusprechen. £s ist interessant zu versuchen, 
sie von den klassischen Beweisen abzulösen. 

Stuart-Mill hat behauptet, daß jede Definition ein 
Axiom enthält, denn wenn man eine Definition aus- 
spricht, so behauptet man implizite die Existenz des de- 
finierten Objektes. Aber das ist zu weit gegangen; es 
ist selten, daß man in der Mathematik eine Definition 
gibt, ohne den Beweis von der Existenz des definierten 
Objektes darauf folgen zu lassen, und wenn man dies 
unterläßt, so geschieht es in der Regel nur, weil der 
Leser leicht selbst die Lücke ausfüllen kann; man muß 
auch nicht vergessen, daß das Wort „Existenz," wenn 
es sich um ein mathematisches Objekt handelt, nicht 
denselben Sinn hat, als wenn ein materieller Gegenstand 
in Frage kommt. Ein mathematisches Objekt existiert, 
sobald nur seine Definition weder mit sich selbst noch 
mit den vorher schon bewiesenen Sätzen in Widerspruch 
steht. 

Aber wenn auch die Bemerkung Stuart-Mills sich 
nicht auf alle Definitionen anwenden läßt, so ist sie 
doch um so mehr für einige unter ihnen richtig. Man 
definiert manchmal die Ebene in folgender Weise: 

Die Ebene ist eine solche Oberfläche, daß die ge- 
rade Linie, welche irgend zwei ihrer Punkte verbindet, 
ganz in dieser Oberfläche liegt. 

Diese Definition verbirgt offenbar in sich ein neues 
Axiom; man könnte sie allerdings abändern, und das 
würde vorteilhaft sein, wenn man nur gleichzeitig das 
betreffende Axiom explizite ausspricht. 

Andere Definitionen können zu nicht weniger wichtigen 
Überlegungen Veranlassung geben.*^ 



^5 ^h 3* Nicht'Euklidische Greometrie. 

So ist es z. B. mit der Definition der Gleichheit 
zweier Figuren: zwei Figuren sind gleich, wenn man sie 
aufeinander legen kann; um sie aufeinand^ zu legen, 
muß man die eine von ihnen so weit verschieben, bis 
sie mit der anderen zusammenfallt; aber wie soll man 
diese Verschiebung ausführen? Wenn wir so fragen, 
wird man uns zweifellos antworten, daß man es tun 
muß, ohne die Figur zu deformieren, d. h. so, wie man 
einen festen Körper im Räume bewegt. Der circulus 
vitiosus wird dadurch evident. 

In Wirklichkeit definiert diese Definition gar nichts; 
sie hätte gar keinen Sinn für ein Wesen, das eine Welt 
bewohnt, in der es nichts anderes als Flüssigkeiten gibt. 
Wenn sie uns klar erscheint, so liegt das daran, daß 
wir durch Gewohnheit mit den Eigenschaften der natür- 
lichen Körper vertraut sind, welche sich nicht wesentlich 
von den Eigenschaften solcher idealen Körper unter- 
scheiden, deren sämtliche Dimensionen unveränderlich 
sind. 

Diese Definition ist nicht nur unvollständig, sondern 
sie enthält auch ein nicht ausgesprochenes Axiom. 

Die Möglichkeit der Bewegung einer unveränderlichen 
Figur ist an sich keine evidente Wahrheit, oder sie ist es 
wenigstens nur in demselben Sinne wie das Euklidische 
Postulat und nicht in dem Sinne, wie es von einem 
analytischen Urteile a priori gelten würde. 

Studiert man andererseits die Definitionen und Be- 
weise der Geometrie, so wird klar, daß man nicht nur 
die Möglichkeit dieser Bewegung, sondern auch einige 
ihrer Eigenschaften zulassen muß, ohne sie zu beweisen. 

Dieses geht vor allem aus der Definition der geraden 
Linie hervor. Man hat viele mangelhafte Definitionen 
gegeben, aber die wahre ist diejenige, welche l)ei allen 
Beweisen, in denen die gerade Linie vorkommt, still- 
schweigend vorausgesetzt wird: 



Eine vierte Geometrie. 



47 



„Ea kann eintreten, daß die Bewegung einer unver* 
änderlichen Figur dergestalt ist, daß alle Punkte einer 
Linie, welche zu dieser Figur gehören, unbeweglich 
bleiben, während sJie Punkte, welche außerhalb dieser 
Linie liegen, sich bewegen. Eine solche Linie wird 
9UIA eine gerade Linie nennen,'' Wir haben absicht- 
lich in dieser Angabe die Definition von dem Axiom, 
welches! sie enthält, getrennt.^^ 

Viele Beweise, wie diejenigen für die verschiedenen 
Kongruenz-Sätze beim Dreieck oder für die Möglichkeit, 
eine Senkrechte von einem Punkte auf eine Gerade zu 
fällen, beruhen auf Sätzen, deren besondere Erwähnung 
man sich erspart, weil sie nämlich dazu nötigen vor- 
auszusetzen, daß es möglich ist, eine Figur im Räume 
zu verschieben.**) 

Die vierte Geometrie. — Unter diesen impliziten 
Axiomen ist eines, welches einige Aufmerksamkeit zu 
verdienen scheint, weil man unter Fortlassung desselben 
eine vierte Geometrie konstruieren kann, die ebenso in 
sich zusammenhängend ist wie diejenige von Euklid, 
von Lobatschewsky und von Riemann. 

Um zu beweisen, daß man in einem Punkte A stets 
eine Senkrechte auf einer Geraden AB errichten kann, 
betrachtet man eine Gerade -^ C als um den Punkt A 
beweglich und anfanglich mit der festen Geraden AB 
zusammenfallend; man läßt sie sich um den Punkt A so 
lange drehen, bis sie in die Verlängerung von AB fallt. 

Man setzt hierbei zwei Behauptungen voraus: zuerst, 
daß eine solche Umdrehung möglich ist, und dann, daß 
sie fortgesetzt werden kann, bis jede der beiden Geraden 
in die Verlängerung der anderen fällt. 

Wenn man den ersten Punkt zuläßt und den zweiten 
verwirft, so wird man zu einer Reihe von Lehrsätzen 
geführt, welche noch fremdartiger sind wie diejenigen 



aS n, 3. Nicht-Euklidische Greometrie. 

von Lobatschewsky und Riemann, aber ebenso frei von 
Widersprüchen.**) 

Ich werde nur einen dieser Lehrsätze anfuhren und 
ich wähle nicht einmal den seltsamsten: eine reelle 
Gerade kann senkrecht zu sich selbst sein. 

Der Lehrsatz von Lie. — Die Anzahl der Axiome, 
welche implizite in die klassischen Beweise eingeführt 
sind, ist größer, als es nötig wäre, und es würde interes- 
sant sein, sie auf ein Minimum zurückzufuhren. Man 
muß sich zuerst fragen, ob diese Reduktion möglich ist, 
und ob die Anzahl der notwendigen Axiome und die- 
jenige der ersonnenen Geometrien nicht unendlich ist 

Ein Lehrsatz von Sophus Lie beherrscht diese ganze 
Diskussion.^ Man kann ihn folgendermaßen aussprechen : 

„Setzen wir voraus, daß man die folgenden Vord^- 
sätze zuläßt: 

ik Der Raum hat n Dimensionen; 

2. Die Bew^^ung einer unveränderlichen Figur ist 
möglich; 

3. Man braucht / Bedingungen, um die Lage dieser 
Figur im Räume zu bestimmen. 

Die Anzahl der mit diesen Vordersätzen ver- 
träglichen Geometrien ist begrenzt" 

Ich kann sogar hinzufügen, daß, wenn n g^eben 
ist man für / eine obere Grenze angeben kann. 

Woon man also die Möglichkeit der Bewegung zu- 
gibt, so braucht man nur eine endliche (sogar ziemlich 
beschränkte) Anzahl von dreidimensionalen Geometrieii 
auszudenken. 

Die Geom e tri e n von Riemann. — Dieses RteäokatJt 
wid^spricht sc^ieinbar dem Riemannschen, daat die$ar 
G^^irte konstruiert eine unendliche Anzahl wm vier- 
schiedenen Geometrien, und diejenige, welcher man 
gewöhnlich seinen Namen gibt, ist nur ein besonde- 

FalL 



Natur der Axiome. ^g 

Alles hängt, wie er sagt, von der Art ab, in 
welcher man die Länge einer Kurve definiert. Es gibt 
eine unendliche Anzahl von Möglichkeiten, diese Länge 
zu definieren, und jede von ihnen kann der Ausgangs- 
punkt einer neuen Geometrie werden. 

Das stimmt vollkommen, aber die meisten dieser 
Definitionen sind unverträgUch mit der Bewegung einer 
unveränderlichen Figur, welche man in dem Lehrsatze 
von Lie als möglich voraussetzt. Diese Riemannschen 
Cjeometrien, so interessant sie unter verschiedenen Gre- 
sichtspunkten sind, können demnach niemals anders als 
rein analytisch sein und lassen sich nicht zu Beweisen 
verwenden, welche denjenigen Euklids analog sind.^^) 

Von der Natur der Axiome. — Die meisten Mathe- 
matiker betrachten die Lobatschewskysche Theorie nur als 
eine einfache logische Merkwürdigkeit; einige von ihnen 
sind allerdings weiter gegangen. Ist es gewiß, daß unsere 
Geometrie die rechte ist, denn es sind doch mehrere 
Geometrien möglich? Die Erfahrung lehrt uns ohne 
Zweifel, daß die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich 
zwei Rechten ist; aber das ist nur der Fall, wenn wir 
mit zu kleinen Dreiecken operieren; nach Lobatschewsky 
ist der Unterschied von zwei Rechten der Oberfläche 
des Dreiecks proportional: kann diese Differenz nicht 
wahrnehmbar werden, wenn wir mit größeren Dreiecken 
operieren und wenn unsere Messungen genauer werden? 
Die Euklidische Geometrie würde für uns damit nur 
«ine vorläufig richtige Geometrie sein. 

Um über diese Meinung zu disputieren, müssen wir 
uns vor allem fragen: Welches ist die Natur der geome- 
trischen Axiome? 

Sind es synthetische Urteile a priori, wie Kant sie 
nennt? 

Sie drängen sich uns mit einer solchen Macht auf, 
•daß wir die gegensätzliche Behauptung weder begreifen, 

Poiiicar6, Wissenschaft uad Hypothese. \ 



^O n, 3. Nicht-Euklidische Geometrie. 

noch auf ihr als Grundlage ein theoretisches Gebäude 
errichten können. Es würde keine nicht- Euklidische 
Geometrie mehr geben. 

Man nehme, um sich davon zu überzeugen, ein wirk- 
liches synthetisches Urteil a priori, z. B. dasjenige, dessen 
hervorragende Wichtigkeit wir im ersten Kapitel aner- 
kannt haben: 

Wenn ein Lehrsatz für die Zahl i wahr ist, 
und wenn man bewiesen hat, daß er für n -\- i 
wahr ist, vorausgesetzt, daß er für« gilt, so wird 
er für alle ganzen, positiven Zahlen gelten. 

Man versuche diesen Schluß beiseite zu lassen und 
eine falsche Arithmetik zu konstruieren, analog der nicht- 
Euklidischen Geometrie — das wird man nie durch- 
fahren können; man würde sogar versucht sein, diese 
Urteile für analytisch zu halten. 

Wir wollen andererseits die Vorstellung von Lebe- 
wesen ohne Dicke (resp. Höhe) wieder aufnehmen (vgl. 
S. 4 1 f) ; wir können wohl kaum annehmen, daß sich diese 
Wesen, wenn sie einen Verstand gleich dem unsrigen 
hätten, die Euklidische Geometrie aneignen würden, 
welche allen ihren Erfsüirungen widerspräche. 

Sollen wir nun daraus schließen, daß die geometri- 
schen Axiome erfahrungsmäßige Wahrheiten sind? Man 
experimentiert doch nicht mit idealen geraden Linien 
oder Kreisen; man kann dazu nur wirkliche G^^nstände 
brauchen. Worauf b^;ründet sich also die Erfahrung, 
welche als Fundament in der Geometrie dienen soll? 
Die Antwort ist leicht 

Wir haben weiter oben gesehen (vgl. S. 46), daß 
man bei allen Schlüssen so N-erfahrt, als ob die geome- 
trischen Figuren sich ebenso \*erhielten wie feste Körper. 
Was die Geometrie von der Erfahrung entlehnt, sind 
die Eigenschaften dieser Körper. 

Die Eigenschaften des Lichtes und seine geradlinige 



Die Axiome als Definitioneii. 



51 



Fortpflanzung haben ebenfalls Veranlassung zu einigen 
Sätzen der Geometrie gegeben, besonders zu denjenigen 
der projektiven Geometrie, und zwar derart, daß man 
von diesem Gesichtspunkte aus versucht sein könnte zu 
behaupten, daß die metrische Geometrie das Studium 
der festen Körper ist und daß die projektive Geometrie 
sich mit dem Studium des Lichtes beschäftigt.^®) 

Aber es besteht eine Schwierigkeit, welche unüber- 
windlich ist. Wenn die Geometrie eine Experimental- 
Wissenschaft wäre, so würde sie aufhören, eine exakte 
Wissenschaft zu sein, sie würde also einer beständigen 
Revision zu unterwerfen sein. Noch mehr, sie würde 
von jetzt ab dem Irrtimi verfallen sein, weil wir wissen, 
daß es keine streng unveränderlichen Körper gibt. 

Die geometrischen Axiome sind also weder 
synthetische Urteile a priori noch experimentelle 
Tatsachen. 

Es sind auf Übereinkommen beruhende Fest- 
setzungen; unter allen möglichen Festsetzungen wird 
unsere Wahl von experimentellen Tatsachen geleitet; 
aber sie bleibt frei und ist nur durch die Notwendig- 
keit begrenzt, jeden Widerspruch zu vermeiden. In 
dieser Weise können auch die Postulate streng richtig 
bleiben, selbst wenn die erfahrungsmäßigen Gesetze, 
welche ihre Annahme bewirkt haben, nur annähernd 
richtig sein sollten. 

Mit anderen Worten: die geometrischen Axiome 
(ich spreche nicht von den arithmetischen) sind nur 
verkleidete Definitionen. 

Was soll man dann aber von der folgenden Frage 
denken: Ist die Euklidische Geometrie richtig? 

Die Frage hat keinen Sinn. 

Ebenso könnte man fragen, ob das metrische System 
richtig ist und die älteren Maß-Systeme falsch sind^ ob 
die Cartesiusschen Koordinaten richtig sind und die 



£2 ^> 4* R^uni und Geometrie. 

Folar-Koordinaten falsch. Eine Geometrie kann nicht 
richtiger sein wie eine andere; sie kann nur bequemer 
sein. 

Und die Euklidische Geometrie ist die bequemste 
und wird es immer bleiben: 

1. weil sie die einfachste ist, und das ist sie nicht 
nur infolge der Gewohnheiten unseres Verstandes oder 
infolge irgend welcher direkten Anschauung, sondern sie 
ist die einfachste in sich, gleichwie ein Polynom ersten 
Grades einfacher ist als ein Polynom zweiten Grades. 

2. weil sie sich hinreichend gut den Eigenschaften 
der natürlichen, festen Körper anpaßt, dieser Körper, 
welche uns durch unsere Glieder und unsere Augen zum 
Bewußtsein kommen und aus denen wir unsere Meß- 
instrumente herstellen.^ 



Viertes Kapitel. 
Der Raum und die Geometrie. 

B^;innen wir mit einem kleinen Paradoxon! 

Wesen, deren Verstand und Sinne wie die unsrigen 
gebildet wären, welche aber noch keineriei Erziehung 
genossen haben, würden von der Außenwelt, wenn diese 
passend gewählt wird, solche Eindrücke empfangen, daß 
sie dazu geführt werden, eine andere Geometrie als die 
Euklidische zu konstruieren und die Erscheinungen dieser 
Außenwelt in einon nicht-Euklidischen Räume oder gar 
in einem Räume von vier Dimensionen zu lokalisieren. 

Für uns, deren Erziehung durch unsere tatsächliche 
Welt bewerkstelligt ist, würde es keine Schwierigkeit 
haben, in diese neue Welt die Phänomene unseres Euklidi- 
schen Raumes zu übertragen, wenn wir plötzlich dahin- 
ein vNsetzt würden. (I>enn die Eigenschaften der nicht- 



Der geometrische Raum. e^ 

Euklidischen und der mehrdimensionalen Geometrie sind 
uns durch die im vorhergehenden erwähnten mathe- 
matischen Spekulationen hinreichend bekannt). 

Mancher, der seine Existenz dieser Sache widmen 
wollte, könnte vielleicht dahin gelangen, sich die vierte 
Dimension vorzustellen.^) 

Der geometrische Raum und der Vorstellungs* 
Raum. — Man sagt oft, daß die Bilder der äußeren 
Gegenstände im Räume lokalisiert sind, und sogar, daß 
solche Bilder sich nur unter dieser Bedingung bilden 
können. Man sagt auch, daß dieser Raum, welcher so- 
mit als ein zu unseren Gefühlen und Vorstellungen voll- 
kommen passender Rahmen dient, identisch ist mit dem 
Räume der Geometrie, dessen sämtliche Eigenschaften 
er besitzt. 

Mancher tüchtige Denker wird diese Auffassung teilen^ 
und ihm muß der obige Ausspruch ganz außergewöhn- 
lich scheinen. Sehen wir indessen nach, ob er nicht 
irgend einer Täuschung unterliegt, welche eine gründliche 
Analyse verscheuchen könnte. 

Welches sind vor allem, kurz gefaßt, die Eigen-« 
schalten des Raumes? Ich meine die Eigenschaften des- 
jenigen Raumes, welcher den Gegenstand der Geometrie 
ausmacht, und den ich den geometrischen Raum, 
nennen will. Einige seiner hauptsächlichsten Eigen- 
schaften sind die folgenden: 

1. Er ist ein Kontinuum; 

2. Er ist unendlich; 

3. Er hat drei Dimensionen; 

4. Er ist homogen, d. h. alle seine Punkte sind unter- 
einander identisch. 

5. Er ist isotrop, d. h., alle die Geraden, welche 
durch denselben Punkt gehen, sind untereinander 
identisch.*^) 

Vergleichen wir ihn nun mit dem Rahmen unserer 



CA n, 4. Raum nnd Greometrie. 

Vorstellungen und unserer Empfindungen, welche ich den 
Vorstellungs-Raum nennen will. 

Der Gesichts -Raum. — Wir wollen vorerst eine 
reine Gesichts-Empfindung betrachten, die durch ein Bild 
hervorgerufen wird, welches sich auf dem Grunde der 
Netzhaut bildet. 

Eine summarische Analyse zeigt uns dieses Bild als 
ein Kontinuum, welches zwei Dimensionen besitzt; das 
unterscheidet bereits den geometrischen Raum von dem- 
jenigen Räume, welchen wir als reinen Gesichts- 
Raum bezeichnen.'^ 

Femer ist dieses Bild in einem begrenzten Rahmen 
eingeschlossen. 

Endlich besteht noch ein anderer, nicht minder 
wichtiger Unterschied: Dieser reine Gesichts-Raum 
ist nicht homogen. Sehen wir von den Bildern ab, 
die auf der Netzhaut entstehen können, so spielen nicht 
alle Punkte der letzteren dieselbe RoUe. Der gelbe 
Fleck kann unter keiner Bedingung als identisch mit 
einem Punkte des Randes der Netzhaut betrachtet werden. 
In der Tat, dasselbe Objekt ruft nicht nur an dieser 
Stelle weit lebhaftere Eindrücke hervor, sondern es 
kann überhaupt in jedem begrenzten Rahmen der 
Punkt, welcher die Mitte des Rahmens einnimmt, niemals 
mit einem Punkte gleichwertig erscheinen, der nahe am 
Rande liegt 

Eine gründlichere Analyse würde uns ohne Zweifel 
zeigen, daß diese Kontinuität des Gesichts-Raumes und 
seine zwei Dimensionen nur auf Täuschung beruhen, sie 
würde diesen Raum also noch mehr vom geometrischen 
Räume unterscheiden lassen, aber wir wollen über diese 
Bemerkung hinw^gehen. 

Das Sehen erlaubt uns indessen, die Entfernungen 
abzuschätzen und folglich eine dritte Dimension wahrzu- 
ndmien. Aber jeder weiß, daß diese Wahrnehmung der 



Der Gesichts-Raum. 



55 



dritten Dimension sich auf die Empfindung einer An-^ 
strengung bei der zu machenden Accomodation des 
Auges reduziert und auf die Empfindung der konver- 
genten Richtung, welche beide Augen annehmen müssen, 
um einen bestimmten Gegenstand deutlich wahrzunehmen« 

Das sind Muskelempfindungen, und diese sind gänz-r 
lieh von den Gesichtsempfindungen verschieden, welche 
uns die Vorstellung der beiden ersten Dimensionen ge- 
geben haben. Die dritte Dimension wird uns also nicht 
so erscheinen, als ob sie dieselbe Rolle wie die beiden 
anderen spiele. Was man den vollständigen Ge- 
sichts-Raum nennen kann, wird also nicht ein isotroper 
Raum sein. 

Er hat zwar genau drei Dimensionen; das will heißen: 
die Elemente (vgl. S. ^2) unserer Gesichts-Empfindung 
(wenigstens diejenigen, welche zur Ausbildung der Raum- 
vorstellung beitragen) werden vollständig definiert sein, 
wenn man drei von ihnen kennt; oder, um die mathe- 
matische Sprachweise anzuwenden: die Gesichtsemp- 
findungen sind Funktionen von drei Variabein. 

Wir wollen die Sache noch etwas näher prüfen. Die 
dritte Dimension wird uns auf zwei verschiedene Arten 
offenbart: durch die Anstrengung beim Accomodieren 
und durch die Konvergenz der Augen. 

Ohne Zweifel stimmen diese beiden Indikationen 
immer überein; es gibt unter ihnen eine konstante Be- 
ziehung, oder mathematisch ausgedrückt: die beiden 
Variabein, welche diese beiden Muskelempfindungen 
messen, erscheinen uns nicht als unabhängige, oder noch 
besser: wir können, um eine Berufung auf schon ziemlich 
raffinierte mathematische Begriffe zu vermeiden, zur Sprache 
des vorhergehenden Kapitels zurückkehren und dieselbe 
Tatsache folgendermaßen aussprechen: Wenn zwei Kon- 
vergenz-Empfindungen A und jB ununterscheidbar sind, 
/so werden die beiden Accomodations-Empfindungen -4' 



c5 n, 4. Raum und Geometrie. 

und JB\ welche sie bezw. begleiten, gleichfalls ununter- 
scheidbar sein. 

Wir stehen hier sozusagen vor einer experimentellen 
Tatsache; nichts verhindert uns, a priori das Gegenteil 
vorauszusetzen, und wenn das Gegenteil da ist, wenn 
diese beiden Muskelempfindungen sich unabhängig von- 
einander verändern, so haben wir mit einer unabhängigen 
Variabein mehr zu rechnen, und der „vollständige Gesichts- 
raum" wird uns als ein physikalisches Kontinuum von 
vier Dimensionen erscheinen. 

Das ist sogar, wie ich hinzufügen will, eine Tatsache 
der äußeren Erfahrung. Nichts verhindert uns voraus- 
zusetzen, daß ein Wesen, welches einen Verstand hat, 
der ebenso ausgebildet ist wie der unsrige, und welches 
dieselben Sinnesorgane wie wir hat, in eine Welt gestellt 
werde, wo das Licht nur dann zu ihm gelangt, nachdem 
es brechende Medien komplizierter Form durchdrun- 
gen hat. 

Die beiden Indikationen, welche uns dazu dienen, 
die Entfernungen abzuschätzen, würden aufhören, durch 
eine konstante Beziehung verbunden zu sein. Ein Wesen, 
welches in einer solchen Welt die Erziehung seiner Sinne 
bewerkstelligt, würde ohne Zweifel dem vollständigen 
Gesichts-Raume vier Dimensionen beilegen.**) 

Der Tast-Raum und der Bewegungs-Raum. — 
Der Tast-Raum ist noch komplizierter als der Gesichts- 
Raum und unterscheidet sich noch mehr vom geometri- 
schen Räume. Es ist überflüssig, für das Tasten die- 
jenige Erörterung zu wiederholen, welche ich für das 
Sehen durchgeführt habe.**) 

Abgesehen von den Wahrnehmungen, die uns durch 
das Gesicht und durch den Tastsinn vermittelt werden, 
gibt es noch andere Empfindungen, welche ebenso oder 
noch mehr zur Entstehung der Raum -Vorstellung bei- 
tragen. Dieselben sind allgemein bekannt, sie begleiten 



Der Tast-Raum. 



57 



alle unsere Bewegungen, und man nennt sie gewöhnlich 
Muskel-Empfindungen. 

Den entsprechenden Rahmen kann man als Be- 
wegungs-Raum bezeichnen. 

Jeder Muskel gibt zu einer besonderen Empfindung 
Veranlassung, welche fähig ist zu wachsen oder abzu- 
nehmen, so daß die Gesamtheit unserer Muskel-Emp- 
findungen von so vielen Veränderlichen abhängt, wie die 
Zahl unserer Muskeln angibt. Unter diesem Gesichts- 
punkte würde die Anzahl der Dimensionen des 
Bewegungsraumes gleich der Anzahl unserer 
Muskeln sein. 

Eüerauf wird man sicher folgendes erwidern: Wenn 
die Muskel-Empfindungen zur Bildung unserer Raum- 
Vorstellung beitragen, so beruht dies darauf, daß wir 
das Gefühl der Richtung einer jeden Bewegung be- 
sitzen und daß dieses einen integrierenden Bestandteil 
der Empfindung bildet. Wenn dem so wäre, wenn eine 
Muskel-Empfindung nur in Begleitung dieses geometri- 
schen Richtungsgefühles entstehen könnte, so würde in 
der Tat der geometrische Raum eine unserer Gefühls- 
welt auferlegte Form sein. 

Aber davon bemerke ich durchaus nichts, wenn ich 
meine eigenen Empfindungen analysiere. 

Ich sehe nur, daß die Empfindungen, welche Be- 
wegungen gleicher Richtung entsprechen, in meinem 
Geiste durch eine einfache Ideen-Association ver- 
knüpft sind. Auf diese Association läßt sich das zurück- 
führen, was wir das „Richtungsgefühl" nennen. Bei 
einer einzelnen Empfindung kann man also von diesem 
Gefühle nicht sprechen. 

Diese Association ist außerordentlich mannigfaltig, 
denn die Kontraktion eines und desselben Muskels kann, 
je nach der Stellung, Bewegungen von ganz verschiedener 
Richtung entsprechen. 



eS n, 4. Raum und Geometrie. 

Sie ist übrigens offenbar erworben; sie ist wie alle 
Ideen- Associationen das Resultat einer Gewohnheit; 
diese Gewohnheit ihrerseits resultiert aus sehr zahlreichen 
Erfahrungen; wenn die Erziehung unserer Sinne sich 
in anderer Umgebung vollzogen hätte, wo wir anderen 
Eindrücken unterworfen wären, so würden sich ohne 
Zweifel ganz entgegengesetzte Gewohnheiten ausgebildet 
haben, und unsere Muskel -Empfindungen würden sich 
nach anderen Gesetzen associiert haben. 

Charakter des Vorstellungs-Raumes. — Der Vor- 
stellungs-Raum ist hiemach in seiner dreifachen Form 
als Gesichts-, Tast- und Bewegungs-Raum wesentlich 
vom geometrischen Räume verschieden. 

Er ist weder homogen noch isotrop; man kann nicht 
einmal behaupten, daß er drei Dimensionen habe. 

Man sagt oft, daß wir die Objekte unserer äußeren 
Wahrnehmung in den geometrischen Raum „projizieren", 
daß wir sie dort „lokalisieren". 

Hat dies eine Bedeutung, und welch eine Bedeutung? 

Soll dies heißen, daß wir uns die äußeren Objekte 
im geometrischen Räume vorstellen? 

Unsere Vorstellungen sind nur die Reproduktion 
unserer Empfindungen; sie können also nur in demselben 
Rahmen wie diese geordnet werden, d. h. im Vorstellungs- 
Raume. 

Es ist uns ebenso unmöglich, uns die äußere Körper- 
welt im geometrischen Räume vorzustellen, wie es einem 
Maler unmöglich ist, die Objekte mit ihren drei Dimen- 
sionen auf eine ebene Leinwand zu malen. Der Vor- 
stellungsraum ist nur ein Bild des geometrischen Raumes, 
und zwar ein durch eine Art von Perspektive deformiertes 
Bild, und wir können uns die Objekte nur vorstellen, 
indem wir sie den Gesetzen dieser Perspektive anpassen. 

Wir stellen uns also die äußere Körperwelt nicht 
im geometrischen Räume vor, sondern wir machen 



Zustands- und Orts-VerändemDgen. gg 

unsere Erwägungen über diese Körper, als wenn sie 
sich im geometrischen Räume befanden. 

Was soll es aber bedeuten, wenn man nun sagt, daß 
wir ein bestimmtes Objekt an einem bestimmten Punkte 
des Raumes „lokalisieren?" 

Das bedeutet einfach, daß wir uns die Be- 
wegungen vorstellen, welche man ausführen muß, 
um zu diesem Objekte zu gelangen; man sage nicht, 
daß man diese Bewegungen selbst in den Raum projizieren 
muß, um sie sich vorzustellen, und daß folglich der 
Raum-Begrifif präexistieren muß. 

Wenn ich sage, daß wir uns diese Bewegungen vor- 
stellen, so meine ich damit nur, daß wir uns die Muskel- 
Empfindungen vorstellen, welche sie begleiten und welche 
keinerlei geometrischen Charakter haben, welche folglich 
auf keinen Fall die Präexistenz des Raum-BegriflFes im- 
plizieren. 

Zustands- und Orts- Veränderungen. — Man wird 
jedoch fragen: wie konnte die Idee des geometrischen 
Raumes entstehen, wenn sie sich nicht von selbst unserem 
Verstände aufzwingt und wenn auch keine unserer Emp- 
findungen sie uns zu liefern vermag? 

Wir wollen das jetzt genau prüfen; es wird uns 
einige Zeit kosten, aber ich kann schon jetzt den Inhalt 
der versuchten Erklärung in einigen Worten zusammen- 
fassen: 

Keine unserer Empfindungen würde für sich 
allein uns zur Idee des Raumes führen können; 
wir sind zu derselben nur durch das Studium 
der Gesetze gekommen, nach welchen diese Emp- 
findungen aufeinander folgen. 

Zuerst sehen wir, daß unsere Eindrücke der Verände- 
rung unterworfen sind; aber nach kurzer Zeit werden 
wir dazu gefuhrt, zwischen diesen von uns konstatierten 
Veränderungen zu unterscheiden. 



6o n» 4- I^anm und Geometrie. 

Bald sagen wir, daß die Objekte, welche unsere Ein- 
drücke verursachen, ihren Zustand verändert haben, bald, 
daß sie ihre Stellung verändert haben, daß sie im Räume 
nur verschoben sind. 

Möge ein Objekt nur seinen Zustand oder nur seine 
Stellung verändern, für uns macht sich das immer in 
gleicher Weise geltend, nämlich durch eine Änderung 
in einer gewissen Gesamtheit von Eindrücken. 

Wie konnten wir denn dazu gefuhrt werden, sie zu 
unterscheiden? Wenn es sich nur um eine Ortsverände- 
rung gehandelt hat, so können wir die ursprüngliche 
Gesamtheit von Eindrücken wieder herstellen, indem wir 
Bewegungen ausführen, welche uns gegenüber dem be- 
wegten Objekte in die ursprüngliche relative Stellung 
zurückbringen. Wir korrigieren so die Veränderung, 
welche sich vollzogen hatte, und wir stellen den Anfangs- 
Zustand durch eine umgekehrte Veränderung wieder her. 

Wenn es sich z. B. um das Sehen handelt, und wenn 
ein Objekt sich vor unserem Auge verschiebt, so können 
wir ihm „mit dem Auge folgen" und durch angemessene 
Bewegungen des Augapfels sein Bild stets an derselben 
Stelle der Netzhaut festhalten. 

Diese Bewegungen kommen uns zum Bewußtsein, 
weil sie willkürlich sind und weil sie von Muskel-Emp- 
findungen begleitet werden, aber damit ist durchaus nicht ge- 
sagt, daß wir sie uns im geometrischen Räume vorstellen. 

Die Orts-Veränderung ist also dadurch charakterisiert 
und unterscheidet sich dadurch von der Zustandsände- 
rung, daß sie sich immer durch das erwähnte Mittel 
korrigieren läßt. 

Es kann demnach eintreten, daß man von einer Ge- 
samtheit A von Vorstellungen zu einer Gesamtheit ^ auf 
zwei verschiedene Weisen gelangt: i. unwillkürlich und 
ohne Muskel-Empfindungen zu haben, (das tritt ein, wenn 
das Objekt sich bewegt); 2. willkürlich und mit Muskel- 



Kompensation von Bewegungen. 5l 

Empfindungen, (das tritt ein, wenn das Objekt unbeweglich 
bleibt, wir aber unsere Stellung so verändern, daß das Objekt 
ini Verhältnisse zu uns eine relative Bewegung ausführt). 

Wenn dem so ist, so bedeutet der Übergang von 
einer Gesamtheit A zu einer Gesamtheit jB von Emp- 
findungen nur eine Ortsveränderung. 

Es folgt daraus, daß Gesichts- und Tast-Sinne uns 
ohne die Hilfe des „Muskel-Sinnes'' den Raum-Begrifif 
nicht geben können. 

Und zwar könnte dieser BegriflF nicht aus einer ein- 
zelnen Empfindung, auch nicht aus einer Folge von Emp- 
findungen abgeleitet werden, ja sogar ein unbeweg- 
liches Wesen könnte niemals zu ihm gelangen, denn 
es könnte durch seine Bewegungen nicht die Wirkungen 
der Ortsveränderung äußerer Objekte korrigieren und 
hätte also keinerlei Grund, sie von den Zustands-Ände- 
rungen zu unterscheiden. Ebensowenig könnte es diesen 
BegrijQf erlangen, wenn seine Bewegungen nicht willkürlich 
wären oder wenn sie nicht von irgend welchen Emp- 
findungen begleitet würden. 

Bedingungen der Kompensation. — Wie ist eine 
solche Kompensation möglich, wenn sie bewirken soll, 
daß zwei Veränderungen, die übrigens unabhängig von- 
einander sind, sich gegenseitig korrigieren? 

Ein Verstand, der schon Geometrie gelernt hat, 
würde in folgender Weise schließen: 

Damit die Kompensation stattfindet, müssen offenbar 
die verschiedenen Teile des äußeren Objektes einerseits, 
die verschiedenen Organe unserer Sinne andererseits sich 
nach der doppelten Veränderung in derselben relativen 
Stellung befinden. Überdies müssen die verschiedenen 
Teile des äußeren Objektes dabei dieselbe relative Stel- 
lung gegeneinander bewahrt haben, und das Gleiche 
muß für die verschiedenen Teile unseres Körpers in 
ihrem gegenseitigen Verhältnisse Geltung haben. 



52 n, 4* Raum und Greometrie. 

Mit anderen Worten: bei der ersten Bewegung muß 
sich das äußere Objekt so verschieben, wie ein unver- 
änderlicher Körper, und das Gleiche muß für die Ge- 
samtheit unseres Körpers bei der zweiten Bewegung 
gelten, welche die erste korrigiert. 

Unter diesen Bedingungen kann sich die Kompen- 
sation vollziehen. 

Aber wir haben noch keine Geometrie ge- 
lernt, denn für uns soll der Raum-B^^ff noch nicht 
ausgebildet sein; wir können also die erwähnten Schlüsse 
nicht machen, und wir können deshalb nicht a priori 
voraussehen, ob die Kompensation möglich ist. Jedoch 
die Erfahrung lehrt uns, daß sie hin und wieder eintritt, 
und von dieser Erfahrungstatsache gehen wir aus, um 
die Zustandsänderungen von den Ortsveränderungen zu 
unterscheiden. 

Die festen Körper und die Geometrie. — Unter 
den Objekten, welche uns umgeben, gibt es einige, die 
häufig solche Ortsveränderungen erleiden, daß sie durch 
eine entsprechende Bew^^ng unseres Körpers korri- 
giert werden können; dies sind die festen Körper. 

Die anderen Objekte, deren Gestalt veränderiich ist, 
miterli^;en nur ausnahmsweise derartigen Verschiebungen 
(Ortsverändenmgen ohne Veränderung der Form.) Wenn 
ein Körper sich verschiebt und sich zugleich deformiert, 
so können wir durch geeignete Bew^^ungen unsere Sinnes- 
organe nicht mehr in dieselbe relative Lage in Bezug 
auf diesen Körper zurückfuhren. Wir können folglich 
die ursprüngliche GesamÜieit von Eindrücken nicht mehr 
iriederherstell«[u 

Wir lernen erst später und infolge neuer Erfahrungen 
die Körper von veränderlicher Gestalt in kleinere Ele- 
mente zerlegen, so daß jedes von ümen sich so ziemlich 
nach denselben Gesetzen verschiebt wie die festen Körper. 
Wir unterscheiden also die ^ J>efbrmation** von den ande- 



Feste Körper. 5^ 

ren Zustandsänderungen; bei diesen Deformationen er- 
leidet jedes Element eine einfache Ortsveränderung, 
welche korrigiert werden kann, aber die Veränderung, 
welche die Gesamtheit der Elemente erleidet, geht tiefer 
und kann nicht mehr durch eine entsprechende Bewegung 
korrigiert werden. 

Eine solche Vorstellung ist schon sehr kompliziert 
und hat nur relativ spät sich geltend machen können; 
sie hätte überhaupt nicht entstehen können, wenn uns 
nicht die Beobachtung der festen Körper gelehrt hätte, 
die Ortsveränderungen von den übrigen Veränderungen 
zu unterscheiden. 

Wenn es also keine festen Körper in der 
Natur geben würde, so hätten wir keine Geo- 
metrie. 

Eine andere Bemerkung verdient ebenfalls einen 
Augenblick unsere Aufmerksamkeit. Nehmen wir an, ein 
fester Körper habe zuerst die Stellung a und gehe von 
dort in die Stellung ß über; in seiner ersten Stellung 
wird er uns eine Gesamtheit A von Eindrücken verur- 
sachen und in seiner zweiten Stellung eine Gesamtheit 
jB von Eindrücken. Es werde außerdem ein zweiter 
fester Körper betrachtet, dessen Eigenschaften von denen 
des ersten gänzlich verschieden sind; er sei z. B. von 
verschiedener Farbe. Nehmen wir an, daß er ebenfalls 
von der Stellung a, wo er auf uns die Gesamtheit A' 
von Eindrücken ausübt, in die Stellung ß übergehe, wo 
er uns die Gesamtheit B' von Eindrücken verursacht. 

Im allgemeinen wird weder die Gesamtheit A mit 
der Gesamtheit A% noch die Gesamtheit JB mit der Ge- 
samtheit B' etwas Gemeinsames haben. Der Übergang 
von der Gesamtheit A zu der Gesamtheit JB und der 
Übergang von der Gesamtheit A' zu der Gesamtheit B' 
besteht also in zwei Veränderungen, welche an sich im 
allgemeinen nichts Gemeinsames haben. 



^A Uf 4" Hain snd. Gcaiiirtpc 

Und dtiaoch sefaca wir diese beiden Venndenxi^en 
esne wie S^ andere als Vcaddebnugen an, luocii mdir, 
wir betracfeten »e als die gleiche Verachiebcmg. ¥rie 
mt daA mögüch? 

Das grschidit exn^udi dadnidi, daß sie eine wie die 
andere durch die gleiche entsprechende Bemi^mi ^ 
unseres Körpers kotnigiert werden können. 

Die „entsprechende Bewegung^ ist es also^ weldie 
das einzige Bindeglied xwis<±en zwei £rs<iieinnngen 
bildet, welche einander zn nähern uns sonst nie einge* 
üaUen wäre. 

Andererseits kann nnser Körper ^ne Menge von ver- 
schiedenen Bew^;migen ansfohien, dank der Anzahl 
seiner Giiedemngen imd MnskeLa; aber es sind nicht 
alle fahigy eine Veränderung der äußeren Objekte zu 
„korrigieren**; nur diejenigen sind daza fähig, bei denen 
nnser ganzer Körper oder wenigstens alle unsere Sinnes- 
organe, welche in Betracht kommen, sich ab ein Ganzes 
verschieben, d. h. ihren Ort verändern, ohne daß ihre 
relativen Stellungen sich ändern, sich also verhalten wie 
ein fester Körper. 

Fassen wir zusammen: 

1. Wir werden dazu gefuhrt, vor allem zwei Kate- 
gorien von Erscheinungen zu unterscheiden. 

Die einen, welche unwillkürlich und nicht von Muskel- 
Empfindungen begleitet sind, werden von uns den äuße- 
ren Objekten zugeteilt; das sind die äußeren Verände- 
rungen. 

Die anderen, denen entgegengesetzte Charaktere zu- 
kommen, schreiben wir den Orts Veränderungen unseres 
eigenen Körpers zu ; das sind die inneren Veränderungen. 

2. Wir bemerken, daß gewisse Veränderungen aus 
jeder dieser Kategorien durch eine entsprechende Ver- 
änderung der anderen Kategorie korrigiert werden 
können. 



Homogenität des Raumes. ge; 

3. Wir unterscheiden unter den äußeren Verände- 
rungen diejenigen, denen eine entsprechende Verände- 
rung in der anderen Kategorie gegenübersteht; diese 
nennen wir Bewegungen. Und ebenso unterscheiden wir 
unter den inneren Veränderungen diejenigen, denen eine 
entsprechende Veränderung in der ersten Kategorie 
gegenübersteht. 

Dank dieses gegenseitigen Verhältnisses ist eine be- 
sondere Klasse von Erscheinungen definiert, welche wir 
Orts-Veränderungen nennen. Die Gesetze dieser Er- 
scheinungen bilden den Gegenstand der Geo- 
metrie. 

Das Gesetz der Homogenität — Das erste dieser 
Gesetze ist das der Homogenität. 

Setzen wir voraus, daß wir durch eine äußere Ver- 
änderung cc von der Gesamtheit A der Empfindungen 
zu der Gesamtheit B gelangen, femer, daß diese Ver- 
änderung cc durch eine entsprechende willkürliche Be- 
wegung ß korrigiert wird, und daß wir auf diese Art zur 
Gesamtheit A zurückgeführt wären. 

Setzen wir weiter voraus, daß eine andere äußere 
Veränderung a' uns nochmals von der Gesamtheit A zu 
der Gesamtheit B kommen läßt. 

Die Erfahrung lehrt uns dann, daß diese Verände- 
rung a' ebenso wie a fähig ist, durch eine entsprechende 
willkürliche Bewegung ß' korrigiert zu werden, und daß 
diese Bewegung ß' zu denselben Muskel -Empfindungen 
gehört wie die Bewegung ß, welche a korrigierte. 

Dieser Tatsache trägt man gewöhnlich Rechnung, 
wenn man sagt, daß der Raum homogen und iso- 
trop ist. 

Man kann auch sagen, daß eine einmal hervorge- 
brachte Bewegung zum zweitenmal, zum drittenmal 
und so weiter sich wiederholen kann, ohne daß ihre 
Eigenschaften sich verändern. 

Poincar^, Wissenschaft und Hjrpothese. 5 



^g n« 4> Raum und Greometrie. 

Im ersten Kapitel, in welchem wir die Natur der 
mathematischen Schlußweise studiert haben, sahen wir 
die Wichtigkeit, welche man der Möglichkeit zuerteilt, 
eine und dieselbe Operation unendlich oft zu wieder- 
holen. 

Aus dieser Wiederholung entnimmt die mathematische 
Schlußweise ihre Stärke; dank dem Gesetze der Homo- 
genität hat sie sich die geometrischen Tatsachen unter- 
worfen. 

Um vollständig zu sein, müßte man den Gesetzen 
der Homogenität eine Menge anderer analoger Gesetze 
anfügen, auf deren Einzelheiten ich nicht eingehen will; 
dieselben werden von den Mathematikern in einem Worte 
zusammengefaßt, wenn sie davon sprechen, daß die Be- 
wegungen „eine Gruppe" bilden (d. h. daß zwei 
aufeinanderfolgende Bewegungen immer durch eine ein- 
zige Bewegung ersetzt werden können). 

Die nicht-Euklidische Welt — Wenn der geome- 
trische Raum ein Rahmen wäre, in den jede unserer 
Vorstellungen für sich allein betrachtet hineingepaßt 
werden kann, so wäre es unmöglich, sich ein Bild ohne 
diesen Rahmen vorzustellen, und wir könnten an unserer 
Geometrie nichts ändern. 

Aber dem ist nicht so; die Geometrie ist nur die 
Zusammenfassung der Gesetze, nach welchen diese Bilder 
aufeinander folgen. Nichts hindert uns daran, eine 
Reihe von Vorstellungen auszudenken, welche in allem 
unseren gewöhnlichen Vorstellungen vollkommen ähnlich 
sind, aber welche nach Gesetzen aufeinanderfolgen, die 
von den uns vertrauten Gesetzen verschieden sind. 

Man begreift demnach, daß Wesen, deren Erziehung 
sich in einer Umgebung vollzieht, in der diese Gesetze 
völlig umgestürzt sind, eine von der unserigen sehr ver- 
schiedene Geometrie haben können. 

Wir wollen uns z. B. eine in eine große Kugel ein- 



Die mcht-Enklidische Welt. 



67 



schlossene Welt denken, welche folgenden Gesetzen unter- 
worfen ist: 

Die Temperatur ist darin nicht gleichmäßig; sie ist 
im Mittelpunkte am höchsten und vermindert sich in 
dem Maße, als man sich von ihm entfernt, um auf den 
absoluten Nullpunkt herabzusinken, wenn man die Kugel 
erreicht, in der diese Welt eingeschlossen ist. 

Ich bestinmie das Gesetz, nach welchem diese Tempe- 
ratur sich verändern soll, noch genauer. Sei R der 
Halbmesser der begrenzenden Kugel, sei r die Ent- 
fernung des betrachteten Punktes vom Mittelpunkte dieser 
Kugel, dann soll die absolute Temperatur proportional 
zu R^ — r^ sein. 

Ich setze weiter voraus, daß in dieser Welt alle 
Körper denselben Ausdehnungs-Koeffizienten haben, so 
daß die Länge irgend eines Lineals seiner absoluten 
Temperatur proportional sei. 

Endlich setze ich voraus, daß ein Objekt, welches 
von einem Punkte nach einem anderen mit verschiedener 
Temperatur übertragen wird, sich sofort ins Wärme- 
Gleichgewicht mit seiner neuen Umgebung setzt. 

Nichts ist in dieser Hypothese widerspruchsvoll oder 
undenkbar. 

Ein bewegliches Objekt wird also immer kleiner in 
dem Maße, wie es sich der begrenzenden Kugel nähert. 

Beachten wir vor allem, daß diese Welt ihren Ein- 
wohnern unbegrenzt erscheinen wird, wenn sie auch vom 
Gesichtspunkte unserer gewöhnlichen Geometrie aus als 
begrenzt gilt. 

Wenn diese Einwohner sich in der Tat der be- 
grenzenden Kugel nähern wollen, kühlen sie ab und 
werden immer kleiner. Die Schritte, welche sie machen, 
sind also auch inmier kleiner, so daß sie niemals die be- 
grenzende Kugel erreichen können. 

Wenn für uns die Geometrie nur das Studium der 



68 ^> 4* B^um und Greometrie. 

Gesetze ist, nach welchen die festen, unveränderlichen 
Körper sich bewegen, so wird sie för diese hypothetischen 
Wesen das Studium der Gesetze sein, nach denen sich 
die (för jene Einwohner scheinbar festen) Körper be- 
wegen, welche durch die soeben besprochenen 
Temperatur-Differenzen deformiert werden. 

Ohne Zweifel erfahren in unserer Welt die natür- 
lichen festen Körper gleicherweise Schwankungen an 
Gestalt und Volumen, welche durch Erwärmung oder 
Abkühlung entstehen. Wir vernachlässigen diese Schwan- 
kungen, während wir die Gnmdlagen der Geometrie fest- 
legen; denn, abgesehen von dem Umstände, daß sie 
sehr gering sind, so sind sie vor allem unregelmäßig 
und erscheinen uns folglich als zufallig. 

In dieser hjrpothetischen Welt würde dem nicht so 
sein, und solche Veränderungen würden nach regel- 
mäßigen und sehr einfachen Gesetzen erfolgen. 

Andererseits würden die verschiedenen festen Bestand- 
teile, aus denen sich die Körper dieser Einwohner zu- 
saiomensetzen, denselben Schwankungen in Gestalt und 
Volumen unterworfen sein. 

Ich werde noch eine andere Hypothese aufstellen; 
ich setze voraus, daß das -Licht verschieden brechende 
Medien durchdringt, und zwar so, daß der Brechungs- 
Index zu R^ — r^ umgekehrt proportional sei. Es ist 
leicht zu ersehen, daß die Licht-Strahlen unter diesen 
Bedingungen nicht geradlinig, sondern kreisförmig sein 
werden.**) 

Um das, was vorausgeht, zu rechtfertigen, muß ich 
beweisen, daß gewisse Ortsveränderungen, welche die 
äußeren Objekte erlitten haben, durch entsprechende Be- 
wegungen der fühlenden Wesen, welche diese einge- 
bildete Welt bewohnen, korrigiert werden können, und 
zwar so, daß sich die ursprüngliche Gesamtheit von Ein- 



Nicht-Euklidische Bewegungen. 69 

drücken, denen diese fühlenden Wesen unterworfen sind, 
wiederherstellt. 

Setzen wir in der Tat voraus, daß ein Objekt sich 
von der Stelle bewegt, indem es sich deformiert, aber 
nicht wie ein unveränderlicher Körper, sondern wie ein 
Körper, der ungleichmäßige Dilatationen genau nach den 
eben angenommenen Temperaturgesetzen erleidet. Man 
möge mir erlauben, eine solche Bewegung — um die 
Sprache abzukürzen — nicht-Euklidische Orts-Ver- 
änderung zu nennen.*^ 

Wenn ein fühlendes Wesen sich in der Nachbarschaft 
befindet, so werden seine Eindrücke durch das Fort- 
rücken des Objektes verändert, aber es kann sie wieder 
herstellen, wenn es sich selbst in passender Weise be- 
wegt. Schließlich müssen nur das Objekt und das 
fahlende Wesen, beide zusammen (d. h. als ein einziger 
Körper betrachtet), eine dieser besonderen Orts -Ver- 
änderungen erlitten haben, welche ich soeben die nicht- 
Euklidischen genannt habe. Das ist möglich, wenn man 
voraussetzt, daß die Glieder dieser Wesen sich nach 
demselben Gesetze ausdehnen wie die anderen Körper 
der von ihnen bewohnten Welt. 

Wenngleich sich unter dem Gesichtspunkte unserer 
gewöhnlichen Geometrie die Körper bei dieser Orts- 
veränderung deformiert haben und wenngleich sich ihre 
verschiedenen Teile nicht mehr in derselben relativen 
Stellung wiederfinden, so werden wir doch sehen, daß 
die Eindrücke des fühlenden Wesens wieder dieselben 
geworden sind. 

In der Tat, wenn die gegenseitigen Entfernungen 
der verschiedenen Teile verändert werden konnten, so 
sind nichtsdestoweniger die ursprünglich sich berührenden 
Teile auch nachher wieder in Berührung. Die Eindrücke 
des Tast-Sinnes haben sich nicht geändert. 

Wenn man andererseits der oben in Bezug auf 



yo n, 4. Raum und Geometrie. 

Öle Brechung und die Elrümmung der Lichtstrahlen ge* 
machten Hypothese Rechnung trägt, so werden auch die 
Gesichts-Eindrücke dieselben geblieben sein. 

Diese hypothetischen Wesen werden also wie wir dazu 
geführt, die Erscheinungen, deren Zeugen sie sind, ein- 
zuteilen und unter ihnen die „Orts- Veränderungen" zu 
unterscheiden, welche durch eine willkürliche ent- 
sprechende Bewegung korrigiert werden können. 

Wenn sie eine Geometrie begründen, so wird diese 
nicht wie die unserige das Studium der Bewegungen 
unserer festen Körper sein; es wird vielmehr das Studium 
derjenigen Orts- Veränderungen sein, welche sie so von 
den übrigen unterschieden haben und welche keine 
anderen als die „nicht-Euklidischen Orts- Veränderungen" 
sind, es wird die nicht-Euklidische Geometrie 
sein. 

So werden uns ähnliche Wesen, deren Erziehung in 
einer solchen Welt bewerkstelligt wäre, nicht dieselbe 
Geometrie wie wir haben. 

Die vierdimensionale Welt. — Eine vierdimen- 
sionale Welt kann man sich ebenso gut vorstellen, wie 
eine nicht-Euklidische Welt. 

Der Gesichts-Sinn, selbst mit einem Auge, verbunden 
mit Muskel-Empfindungen, die sich auf die Bewegungen 
des Augapfels beziehen, würde genügen, um den drei- 
dimensionalen Raum kennen zu lernen. 

Die Bilder der äußeren Objekte malen sich auf der 
Netzhaut, welche ein zweidimensionales Gemälde dar- 
stellt; das sind die Perspektiven. 

Da aber die Objekte beweglich sind und dasselbe 
für unser Auge gilt, so sehen wir nacheinander ver- 
schiedene Perspektiven eines und desselben Körpers, 
von mehreren verschiedenen Gesichtspunkten aus aufge- 
nommen. 

Wir konstatieren zugleich, daß der Übergang von 



Die vierdimensionale Welt. 



71 



einer Perspektive zur anderen oft von Muskel-Emp- 
findungen begleitet ist. 

Wenn der Übergang der Perspektive A zur Perspek- 
tive B und derjenige der Perspektive A' zur Perspek- 
tive B' von denselben Muskel-Empfindungen begleitet 
ist, so machen sie uns den Eindruck gleichartiger Ope- 
rationen, die wir zueinander in Beziehung setzen können. 

Wenn wir darauf die Gesetze studieren, nach welchen 
sich diese Operationen zusammensetzen, so bemerken 
wir, daß sie eine Gruppe bilden, welche dieselbe Struktur 
hat wie die Gruppe der Bew^^ungen von festen Körpern. 

Wir haben nun gesehen (vgl. S. 66), daß wir gerade 
aus den Eigenschaften dieser Gruppe den Begrifi" des 
geometrischen und des dreidimensionalen Raumes abge- 
leitet haben. 

Wir verstehen somit, wie der Begriff" eines drei- 
dimensionalen Raumes aus dem Schauspiel dieser Per- 
spektiven entstehen konnte, wenngleich jede von ihnen 
nur zwei Dimensionen hat; denn sie folgen aufein- 
ander nach gewissen Gesetzen. 

Also gut; so wie man auf einer Leinwand die Per- 
spektive einer dreidimensionalen Figur zeichnen kann, 
so kann man auch die Perspektive einer vierdimen- 
sionalen Figur auf eine drei- (oder zwei-) dimensionale 
Leinwand zeichnen. Bas ist für den Mathematiker nur 
leichtes Spiel. 

Man kann sogar von derselben Figur verschiedene 
Perspektiven von verschiedenen Gesichtspunkten aus ent- 
werfen.®"^ 

Wir können ims diese Perspektiven leicht vorstellen, 
weil sie nur drei Dimensionen haben. 

Wir wollen uns denken, die verschiedenen Perspek- 
tiven eines und desselben Objektes folgten aufeinander 
und der Übergang von einer zur anderen wäre von 
Muskel-Empfindungen begleitet. 



n2 Ily 4, 5. Raum und Geometrie. 

Man wirdy wohlverstanden, zwei dieser Übergänge 
als zwei Operationen gleicher Natnr betrachten, wenn sie 
mit den gleichen Muskel-Empfindungen verbunden sind. 

Nichts hindert dann daran, sich zu denken, daß 
diese Operationen sich nach einem Gesetze, wie wir es 
haben wollen, zusammensetzen, z. B. derart, daß sie eine 
Gruppe bilden, welche dieselbe Struktur hat wie die- 
jenige der Bewegungen eines vierdimensionalen festen 
Körpers. 

Da gibt es nichts, was man sich nicht vorstellen 
könnte, und dennoch sind diese Empfindungen genau 
dieselben, denen ein mit einer zweidimensionalen Netz- 
haut versehenes Wesen unterworfen wäre, welches sich 
im vierdimensionalen Räume bewegen könnte. 

In diesem Sinne ist es erlaubt zu sagen, daß man 
sich die vierte Dimension vorstellen könne. 

Schlußfolgerungen. — Man sieht, daß die Erfahrung 
eine unumgänglich notwendige Rolle in der Genesis der 
Geometrie spielt; aber es würde ein Irrtum sein, daraus 
zu schließen, daß die Geometrie — wenn auch nur teil- 
weise — eine Erfahrungswissenschaft sei. 

Wenn sie erfahrungsmäßig wäre, so würde sie nur 
annähernd richtig und provisorisch sein. Und von welch' 
grober Annäherung! 

Die Geometrie würde nur das Studimn der Be- 
wegungen von festen Körpern sein; aber sie beschäftigt 
sich in Wirklichkeit nicht mit natürlichen Körpern, sie 
hat gewisse ideale, durchaus unveränderliche Körper zum 
Gegenstand, welche nur ein vereinfachtes und wenig 
genaues Bild der natürlichen Körper geben. 

Der Begriff dieser idealen Körper ist aus allen Teilen 
unseres Verstandes hervorgegangen, und die Erfahrung 
ist nur eine Gelegenheit, welche uns antreibt, sie daraus 
hervorgehen zu lassen. 

Das Objekt der Geometrie ist das Studium einer be- 



Erfahniiig und Geometrie. 73 

sonderen „Gruppe"; aber der allgemeine GruppenrBe- 
griflf präexistiert in unserem Verstände, zum mindesten 
die Möglichkeit zur Bildung desselben; er drängt sich 
uns auf, nicht als eine Form unseres Empfindungs-Ver- 
mögens, sondern als eine Form unserer Erkenntnis. 

Unter den mögUchen Gruppen muß man nur die- 
jenige auswählen, welche sozusagen das Normalmaß sein 
wird, auf das wir die Erscheinungen der Natur beziehen. 

Die Erfahrung leitet uns in dieser Wahl, zwingt sie 
uns aber nicht auf; sie läßt uns nicht erkennen, welche 
Geometrie die richtigste ist, wohl aber, welche die be- 
quemste ist. 

Man wird bemerken, daß ich die phantastischen 
Welten, welche ich oben erdachte, beschreiben konnte, 
ohne aufzuhören, die Sprache der gewöhnlichen 
Geometrie anzuwenden. 

Und wirklich, wir brauchten diese nicht zu wechseln, 
wenn wir in jene Welten versetzt würden. 

Wesen, welche dort ihre Erziehung durchmachen, 
würden es ohne Zweifel bequemer finden, sich eine von 
der unserigen verschiedene Geometrie zu schaffen, welche 
sich ihren Eindrücken besser anpaßte. Was uns betrifft, 
so ist es gewiß, daß wir angesichts derselben Ein- 
drücke es bequemer finden würden, unsere Gewohnheiten 
nicht zu ändern« 



Fünftes Kapitel, 

Die Erfahrung und die Geometrie. 

I. In den vorhergehenden Zeilen habe ich bereits 
verschiedene Male zu beweisen versucht, daß die Prin- 
zipien der Geometrie keine Erfahrungs-Tatsachen sind, 



»JA n, 5. Erfiüming und Greometrie. 

und daß insbesondere das Eoklldische Postulat nicht 
durch Erfahrung bewiesen werden kann. 

So entscheidend mir auch die bereits dargelegten 
Gründe erscheinen mögen, so glaube ich doch hierbei 
besonders verweilen zu müssen, weil in vielen Köpfen 
eine hierauf bezügliche falsche Idee tief eingewurzelt ist. 

2. Man stelle sich einen materiellen Kreis her, messe 
dessen Halbmesser und Umfang und versuche zu sehen, 
ob das Verhältnis dieser beiden Längen gleich tc ist; 
was hat man damit getan? Man wird ein Experiment 
gemacht haben über die Eigenschaften der Materie, aus 
welcher man diesen Kreis gefertigt hat, und derjenigen 
Materie, aus welcher man das zum Messen benutzte 
Metermaß gefertigt hat. 

3. Die Geometrie und die Astronomie. — Man 

hat die Frage noch auf andere Weise gestellt. Wenn 
die Lobatschewskysche Geometrie wahr ist, so ist die 
Parallaxe eines sehr entfernten Sternes endlich; wenn die 
Riemannsche Geometrie wahr ist, so wird sie negativ 
sein. Damit haben wir Resultate, welche der Erfahrung 
zugänglich sind, und man hoffte, daß die astronomischen 
Beobachtungen erlauben würden, zwischen den drei Geo- 
metrien zu entscheiden.^ 

Aber was man in der Astronomie die gerade Linie 
nennt, ist einfach die Bahn des Lichtstrahles. Wenn 
man also, was allerdings unmöglich ist, negative Parallaxen 
entdecken könnte oder beweisen könnte, daß alle Paral- 
laxen oberhalb einer gewissen Grenze liegen, so hätte 
man die Wahl zwischen zwei Schlußfolgerungen: wir 
könnten der Euklidischen Geometrie entsagen oder die 
Gesetze der Optik abändern und zulassen, daß das 
Licht sich nicht genau in gerader Linie fortpflanzt. 

Es ist unnütz hinzuzufügen, daß jedermann diese 
letztere Lösung als die vorteilhaftere ansehen würde. 



Greometrie und Astronomie. 



75 



Die Euklidische Geometrie hat also von neuen Er- 
fahrungen nichts zu fürchten. 

4. Kann man behaupten, daß gewisse Erscheinungen, 
welche im Euklidischen Räume möglich sind, im nicht- 
Euklidischen Räume unmöglich wären, und zwar so, daß 
die Erfahrung, indem sie diese Erscheinungen bestätigt, 
der nicht-Euklidischen Hjrpothese direkt widersprechen 
würde? Meiner Meinung nach kann eine derartige Frage 
nicht aufgestellt werden. Ich würde sie für gleich- 
bedeutend mit der folgenden halten, deren Abgeschmackt- 
heit allen in die Augen springt: „Gibt es Längen, welche 
man in Metern und Centimetem angeben kann, aber 
welche man nicht in Klafter, Fuß und Zoll abmessen 
kann, imd könnte das Experiment, durch welches man 
die Existenz dieser Längen bestätigt, zugleich der Hypo- 
these widersprechen, daß es in sechs Fuß eingeteilte 
Klafter gibt?" 

Prüfen wir die Frage näher. Ich setze voraus, daß 
die gerade Linie im Euklidischen Räume zwei beliebige 
Eigenschaften besitzt, welche ich A und B nennen werde; 
wir nehmen an, daß diese gerade Linie im nicht-Eukli- 
dischen Räume noch die Eigenschaft A, aber nicht mehr 
die Eigenschaft B besitzt; schließlich setze ich voraus, 
daß die gerade Linie sowohl im Euklidischen, wie im 
nicht-Euklidischen Räume die einzige Linie sei, welche 
die Eigenschaft A besitzt. 

Wenn dem so wäre, so würde die Erfahrung geeignet 
sein, zwischen der Euklidischen Hypothese und der 
Lobatschewskyschen zu entscheiden. Man würde fest- 
stellen, daß ein bestimmtes konkretes und dem Experi- 
mente zugängliches Objekt, wie z. B. ein Bündel von 
Lichtstrahlen, die Eigenschaft A besitzt; man würde 
daraus schließen, daß es geradlinig ist, und man würde 
daraufhin untersuchen, ob es die Eigenschaft B besitzt 
oder nicht. 






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zetLgt ist, 



Postulat nnd Erfiüining. •jj 

nennen, welches im Euklidischen Systeme erklärt werden 
kann, aber nicht im Lobatschewskyschen System. 

Da ich genau weiß, daß man dieser Aufforderung 
niemals nachkommen wird, so kann ich hieraus schließen: 

Keine Erfahrung wird jemals mit dem Euklidischen 
Postulate im Widerspruch sein; ebenso aber anderer- 
seits: keine Erfahrung wird jemals im Widerspruch mit 
dem Lobatschewskyschen Postulate sein. 

5. Aber es genügt nicht, daß die Euklidische (oder 
nicht -Euklidische) Geometrie niemals durch die Erfah- 
rung direkt widerlegt werden kann. Könnte es nicht 
eintreten, daß die Geometrie sich mit der Erfahrung 
nur in Übereinstimmung bringen läßt, wenn man das 
Prinzip des zureichenden Grundes oder das Prinzip der 
Relativität des Raumes verletzt? 

Ich will dies näher ausfuhren: Betrachten wir irgend 
ein materielles System; wir werden einerseits den „Zu- 
stand" der verschiedenen Körper dieses Systems ins 
Auge fassen müssen (z. B. ihre Temperatur, ihr elektri- 
sches Potential u. s. w.), und andererseits ihre Stellung 
im Räume; und unter den Angaben, welche zur Defini- 
tion dieser Stellung dienen, werden wir noch die gegen- 
seitigen Entfernungen dieser Körper (die ihre relativen 
Stellungen bestimmen) von den Bedingungen unterscheiden, 
welche den absoluten Ort des Systems und seine absolute 
Orientierung im Räume festlegen. 

Die Gesetze der Erscheinungen, welche sich in diesem 
Systeme abspielen, werden von dem Zustande dieser 
Körper und von ihren gegenseitigen Entfernungen ab- 
hängen; aber wegen der Relativität und wegen der 
Passivität des Raumes werden sie nicht vom absoluten 
Orte und von der absoluten Orientierung des Systems 
abhängen. 

Mit anderen Worten: der Zustand der Körper und 
ihre gegenseitigen Entfernungen in irgend einem Zeit- 



yg n, 5. ErfiLhrung und Greometrie. 

punkte hängen allein vom Zustande dieser selben Körper 
und von ihren gegenseitigen Entfernungen zur Anfangs- 
zeit ab, aber sie hängen niemals vom absoluten anfang- 
lichen Orte des Systems ab oder von seiner absoluten 
anfanglichen Orientierung. Um die Ausdrucksweise ab- 
zukürzen, werde ich dies als das Gesetz der Rela- 
tivität bezeichnen. 

Bis jetzt habe ich wie ein Euklidischer Mathematiker 
gesprochen. Wie ich schon gesagt habe, gestattet jede 
beliebige Erfahrungstatsache eine Interpretation in der 
Euklidischen Hypothese; aber sie gestattet eine solche 
gleichfalls in der nicht-Euklidischen Hypothese. Nehmen 
wir also an, wir hätten eine Reihe von Experimenten 
gemacht; wir hätten sie in der Euklidischen Hjrpothese 
interpretiert und wir hätten erkannt, daß diese so inter- 
pretierten Experimente unser „Gesetz der Relativität" 
nicht verletzen. 

Jetzt interpretieren wir sie in der nicht-Euklidischen 
Hypothese: das ist immer möglich; nur werden die nicht- 
Euklidischen Entfernungen unserer verschiedenen Körper 
bei dieser neuen Interpretation im allgemeinen nicht die- 
selben sein wie die Euklidischen Entfernungen bei der 
früheren Interpretation. 

Werden nun unsere Experimente, wenn sie auf diese 
neue Weise interpretiert werden, auch noch im Einklang 
mit unserem „Gesetze der Relativität" stehen? Und 
wenn eine solche Übereinstimmung nicht stattfindet, würde 
man dann nicht auch das Recht haben zu sagen, daß 
die Erfahrung die Falschheit der nicht-Euklidischen Geo- 
metrie bewiesen hat? 

Man erkennt leicht, daß diese Befürchtung ohne Grund 
ist; in der Tat, um daü Gesetz der Relativität in aller 
Strenge anwenden zu können, muß man es auf das 
ganze Universiun anwenden. Denn wenn man nur einen 
Teil dieses Universums betrachtet, und wenn der absolute 



Gresetz der Relativität. 



79 



Ort dieses Teiles sich zu verändern beginnt, so werden 
sich die Entfernungen von den übrigen Körpern des 
Universums gleichfalls ändern; ihr Einfluß auf den gerade 
betrachteten Teü des Universums würde sich folglich 
vermehren oder vermindern, und das könnte die Gesetze 
der beobachteten Erscheinungen beeinflussen. 

Aber wenn unser System das ganze Universum um- 
faßte, so ist die Erfahrung nicht im stände, uns über seinen 
absoluten Ort und seine absolute Orientierung zu unter- 
richten. Alles was unsere Instrumente, wenn sie auch 
noch so vollkommen sind, uns lehren können, ist der 
Zustand der verschiedenen Teile des Universums und 
die gegenseitigen Entfernungen dieser Teile. 

Man könnte also unser Gesetz der Relativität so 
aussprechen: 

Die Ablesungen, welche wir in einem beliebigen Zeit- 
punkte an unseren Instrumenten machen können, werden 
einzig von den Ablesungen abhängen, welche wir an 
denselben Instrumenten in der Anfangszeit machen 
können. 

Eine solche Aussage ist unabhängig von jeder Inter- 
pretation der Erfahrungstatsachen. Wenn das Gesetz in 
der Euklidischen Interpretation wahr ist, so wird es auch 
in der nicht-Euklidischen Interpretation wahr sein. 

Man gestatte mir inbezug hierauf eine kleine Ab- 
schweifung. Ich habe weiter oben von den Angaben 
gesprochen, welche die Stellung der verschiedenen Körper 
des Systems definieren; ich hätte gleicherweise von den- 
jenigen sprechen sollen, welche ihre Geschwindigkeiten 
definieren; ich hätte dann einzeln die Geschwindigkeiten 
angeben sollen, mit welcher die gegenseitigen Entfernungen 
der verschiedenen Körper sich verändern; und anderer- 
seits hätte ich die Greschwindigkeiten der Translation 
und der Rotation des Systems unterscheiden sollen, d. h.. 



•1 



3o ^t 5* Erfahrung und Geometrie. 

die Geschwindigkeiten, mit welchen ihr absoluter Ort 
und ihre absolute Orientierung sich ändern. 

Damit der Verstand ganz befriedigt wird, hätte man 
das Gesetz der Relativität folgendermaßen ausdrücken 
müssen: 

Der Zustand der Körper und ihre gegenseitigen Ent- 
fernungen in irgend einem Zeitpunkte, sowie die Ge- 
schwindigkeiten, mit denen diese Entfernungen sich in 
demselben Zeitpunkte ändern, hängen allein von dem 
Zustande dieser Körper und von ihren gegenseitigen Ent- 
fernungen in der Anfangszeit ab, ebenso von den Ge- 
schwindigkeiten, mit welchen diese Entfernungen in der 
Anfangszeit sich verändern, aber sie hängen weder von 
demselben absoluten anfanglichen Orte des Systems, noch 
von seiner absoluten Orientierung ab, noch von den 
Geschwindigkeiten, mit welchen sich dieser absolute Ort 
und diese absolute Orientierung zur Anfangszeit ändern. 

Unglücklicherweise steht das so ausgesprochene Gesetz 
mit den Erfahrungen nicht im Einklang, wenigstens nicht, 
wenn man die letzteren in der gewöhnlichen Weise 
interpretiert. 

Man nehme an, daß ein Mensch auf einen Planeten 
versetzt sei, dessen Himmel beständig mit einer dicken 
Wolkenschicht bedeckt wäre, und zwar derart, daß man 
niemals die anderen Gestirne bemerken könnte; auf 
diesem Planeten würde man leben, als ob derselbe im 
Räume isoliert wäre. Dieser Mensch könnte indessen 
bemerken, daß sich der Planet dreht, entweder indem 
er die Abplattung nachmißt (was man gewöhnlich mit 
Hilfe astronomischer Beobachtungen bewerkstelligt, was. 
man aber auch mit rein geodätischen Hilfsmitteln aus- 
führen kann), oder, indem er das Experiment des 
Foucaultschen Pendels wiederholt. Die absolute Rotation 
dieses Planeten würde also völlig klar gestellt werden. 

Das ist eine Tatsache, welche bei den Philo- 



Empirismus in der Geometrie. 3l 

sophen Anstoß erregt, welche aber der Physiker aner- 
kennen muß. 

Man weiß, daß Newton aus dieser Tatsache die 
Existenz des absoluten Raumes geschlossen hat; ich 
kann diese Anschauungsweise durchaus nicht teilen, im 
dritten Teile werde ich erklären, warum •^. Für jetzt 
möchte ich nicht anfangen diese Schwierigkeit zu er- 
örtern. 

Ich habe mich bei der Formulierung des Gesetzes 
der Relativität begnügen müssen, alle Arten von Ge- 
schwindigkeiten unter die Angaben einzuschließen, welche 
den Zustand der Körper definieren. 

Wie dem auch sei, diese Schwierigkeit ist dieselbe 
für die Euklidische und für die Lobatschewskysche Geo- 
metrie; ich brauche mich also deshalb nicht weiter zu 
beunruhigen und ich habe nur beiläufig davon sprechen 
wollen. 

Wie man sich auch drehen und wenden möge, es 
bleibt unmöglich, mit dem Empirismus in der Geometrie 
einen vernünftigen Sinn zu verbinden. 

6. Die Erfahrungstatsachen lassen uns nur die 
gegenseitigen Beziehungen der Körper erkennen; keine 
von ihnen bezieht sich (oder kann sich auch nur be- 
ziehen) auf die Beziehungen der Körper zum Räume 
oder auf die wechselseitigen Beziehungen der verschie- 
denen Raumteile. 

„Ja", werden Sie darauf antworten, „ein einziges 
Experiment ist ungenügend, weil es nur eine einzige 
Gleichung mit mehreren Unbekannten gibt; aber wenn 
ich hinreichend viele Experimente gemacht habe, so 
werde ich auch eine hinreichende Anzahl von Glei- 
chungen haben, um alle meine Unbekannten zu be- 
rechnen." 

Die Höhe des Topmastes zu kennen, ist nicht ge- 
nügend, um das Alter des Kapitäns zu berechnen. Wenn 

PoincarS, Wissenschaft und Hypothese. 6 



32 I^> 5* £r£ahniiig und Geometrie. 

Sie alle Hoizstücke des Schifies gemessen haben, sa 
haben Sie viele Gleichungen, aber das Alter des Kapitäns 
kernen Sie deshalb doch nicht. Alle Ihre Messungen 
beziehen sich auf Ihre Holzstücke und können Ihnen 
deshalb nur Dinge offenbaren, die mit diesen Holzstückea 
zusammenhängaa. Ebenso haben Ihre Experimente, so 
zakhlreich sie auch sein mög^ä, nur mit den wechsdr- 
seitigen Beziehungen der Körper zu tun und werden 
uns deshalb nichts über die wechselseitigen Beziehungen 
der verschiedenen Raumteile offenbaren. 

7. Sie werden behaupten, daß die Experimente sich 
doch mindestens auf die geometrischen Eigenschafken 
der Körper beziehen, wenn sie überhaupt mit Körpern 
zu tun haben. 

Aber was verstehei Sie denn unter geometrischen 
Eigenschafken der Körper? Ich nehme an, es handelt 
sich um Beziehungen der Körper zum Räume; diese 
Eigenschaften sind also für Experimente unzugänglich, 
welche nur mit gegenseitigen Beziehungen der Körper 
zu tun haben. Das allein würde genügen, um zu be- 
weisen, daß von diesen Eigenschafi;en keine Rede sein kann. 

Fangen wir immerhin damit an, uns über den Sinn 
dieser Worte zu verständigen: geometrische Eigenschaften 
der Körper. Wenn ich behaupte, daß ein Körper sich 
aus mehreren Teilen zusammensetzt, so setze ich voraus, 
daß ich damit keine geometrische Eigenschaft aussage; 
und das wird wahr bleiben, auch wenn ich jetzt den 
kleinsten Teilen, die ich ins Auge fasse, den unrichtigen 
Namen Punkte beilege. 

Wenn ich sage, daß ein bestimmter Teil eines be- 
stimmten Körpers in Berührung mit einem bestimmten 
Teile eines bestimmten anderen Körpers ist, so spreche 
ich eine Behauptung aus, welche die gegenseitigen Be- 
ziehungen dieser beiden Körper zueinander und nicht 
ihre Beziehungen zum Räume betrifft. 



Tn^eite von Experimenten. 39 

Ich nehzDe an, Sie werden mir darin beistimmen, 
daß das keine geometrischen Eigenschaften sind; ich 
bla wenigstens sicher, Sie werden mir zugeben, daß diese 
Eigenschaften von jeder Bekanntschaft mit der metrischen 
Geometrie unabhängig sind. 

Dies Yoransgesetzt, denke ich mir einen festen Körper, 
gebildet von dünnen Eisenstaben OA, OB, OC, OD, 
OE, OF, O G, OH, welchen allen der eine Endpunkt O 
gemeinsam ist. Wir haben andererseits einen zweiten 
festen Körper, z. B. ein Holzstück, das man mit drei 
kleinen Tintenflecken zeichnen möge, welche ich a, ß, y 
nennen wül. Ich nehme femer an, man habe sich über- 
zeugt, daß man ccy ß, y mit A, G, O in Berührux^ bringen 
kann (ich will damit sagen: a mit A, zu gleicher Zeit 
ß mit G und y mit O), femer, daß man nach und nach 
aßy mit BGO, CGO, DGO, EGO, FGO in Beruh- 
mng bringen kann, dann mit AHO, BHO, CHO, DHO, 
EHO, FHO; endlich ay nacheinander mit AB, BC, 
CD, DE, EF, FA 

Damit haben wir Feststellungen, welche man ohne 
irgend eine vorhergehende Vorstellung von der Form 
oder von den metrischen Eigenschaften des Raumes 
machen kann. Sie haben durchaus nichts mit den 
„geometrischen Eigenschaften der Körper'' zu tun. Diese 
Feststellungen sind nicht möglich, wenn die Körper, mit 
welchen man experimentiert hat, sich gemäß einer Gruppe 
(vgl. S. 66) bewegen, mit derselben Straktur wie die 
Lobatschewskysche Gruppe (ich will sagen, wenn sie sich 
nach demselben Gesetze bewegen, wie die festen Körper 
in der Lobatschewskyschen Geometrie). Sie genügen 
aber, um zu zeigen, daß diese Körper sich gemäß der 
Euklidischen Gruppe bewegen, oder wenigstens, daß sie 
sich nicht gemäß der Lobatschewskyschen Grappe bewegen. 

Es ist leicht zu sehen, daß sie mit der Euklidischen 
Gruppe vertraglich sind. 



gj, n, 5. Er&hrung und Geometrie. 

Denn man könnte diese Feststellungen machen, wenn 
der Körper aßy ein fester, unveränderlicher Körper 
unserer gewöhnlichen Geometrie wäre, welche die Gestalt 
eines geradlinigen Dreiecks hat und wenn die Punkte 
ABCDEFGH die Scheitelpunkte eines Polyeders wären, 
das von zwei hexagonalen regelmäßigen Pjrramiden unserer 
gewöhnlichen Geometrie gebildet ist, welche zur gemein- 
samen Basis das Sechseck ABCDEF und als Spitzen 
die eine den Punkt G und die andere den Punkt H 
haben. 

Setzen wir nun voraus, man beobachte an Stelle der 
vorhergehenden Feststellungen, daß man, wie soeben, 
ajSy nacheinander zur Deckung bringen kann mit AGOj 
BGO, CGO, DGO, EGO, FGO, AHO, BHO, CHO, 
DHOj EHOj FHO, dann, daß man aß (aber nicht 
mehr ay) nacheinander auf AB, B C, CD, DE, EF und 
FA legen kann.*®) 

Das sind Feststellungen, welche man machen könnte, 
wenn die nicht-Euklidische Geometrie wahr wäre, wenn 
die Körper aßy, OABCDEFGH feste unveränderUche 
Körper wären, und wenn der erste ein geradliniges 
Dreieck und der zweite eine doppelte, hexagonale, 
regelmäßige P)rramide von passenden Dimensionen wäre. 

Diese neuen Feststellungen sind also nicht möglich, 
wenn die Körper sich gemäß der Euklidischen Gruppe 
bewegen; aber sie werden möglich sein, wenn man vor- 
aussetzt, daß die Körper sich gemäß der Lobatschewky- 
schen Gruppe bewegen. Sie würden genügen (wenn 
man sie ausführte), um zu beweisen, daß die fraglichen 
Körper sich nicht gemäß der Euklidischen Gruppe be- 
wegen. 

Somit habe ich, ohne irgend eine Hypothese über 
die Gestalt, über die Natur des Raumes, über die Be- 
ziehungen der Körper zum Räume zu machen, ohne 
den Körpern irgend eine geometrische Eigenschaft bei- 



Unmöglichkeit der Entscheidnng. 85 

zulegen, Feststellungen gemacht, welche mir erlaubt 
haben darzulegen, in dem einen Falle, daß die zum 
Experiment benutzten Körper sich einer Gruppe gemäß 
bewegen, deren Struktur die Euklidische ist, und im 
anderen Falle, daß sie sich einer Gruppe gemäß bewegen, 
deren Struktur die Lobatschewskysche ist. 

Man sage nicht, daß die erste Gesamtheit von Fest- 
stellungen eine Erfahrung darstellen würde, welche be- 
weist, daß der Raum ein Euklidischer ist und daß die 
zweite Gesamtheit eine Erfahrung darstellen würde, 
welche beweist, daß der Raum ein nicht-Euklidischer ist. 

Man könnte sich in der Tat Körper vorstellen (ich 
sage vorstellen), welche sich derart bewegen, daß sie 
die zweite Reihe der Feststellungen ermöglichten. Der 
Beweis dafür ist, daß der erste beste Mechaniker solche 
Körper konstruieren kann, wenn er sich die Mühe geben 
und die Kosten daran wenden wollte. Trotzdem werden 
Sie daraus nicht schlußfolgern, daß der Raum ein nicht- 
Euklidischer ist. 

Und da die gewöhnlichen festen Körper nicht 
aufhören würden zu existieren, wenn der Mechaniker 
die sonderbaren Körper, von denen ich soeben sprach, 
konstruiert hätte, so müßte man sogar schließen, daß 
der Raum zugleich Euklidisch und nicht-Euklidisch ist. 

Setzen wir z. B. voraus, daß wir eine große Kugel 
vom Halbmesser R hätten und daß die Temperatur vom 
Mittelpunkte nach der Oberfläche dieser Kugel zu nach 
dem Gesetze sinken würde, von dem ich sprach, als ich 
die nicht-Euklidische Welt beschrieb (vgl. S. 67). 

Wir könnten so Körper vor uns haben, deren Dila- 
tation zu vernachlässigen ist und welche sich wie ge- 
wöhnliche feste Körper verhalten, und andererseits sehr 
stark ausdehnbare Körper, welche sich wie nicht-Eukli- 
dische feste Körper verhalten. Wir könnten z. B. zwei 
Doppelpyramiden OAB CDÜFGH und 0' A B' C D' E' 



86 ^ 5- Exfiüimiig nnd Greometrie. 

F G' H* und zwei Dreiecke a^y und a'ß'y' haben. Die 
erste Doppelpjrramide möge geradlinig und die zw^te 
krummlinig sein; das Dreieck aßy sei aus unansdehn- 
barem Materiale hergestellt und das andere Dreieck ans 
sehr stark ausdehnbarem Materiale. 

Man köimte dann die ersten Feststdlungen mit der 
Doppelpjramide OA . . . If und dem Dreiecke aßy 
machen und die zweite Klasse von FeststeUungen mit 
der Doppelpjramide O' A' . . . IT und dem Dreiecke 
aß'y\ Und dann wurde das Experiment beweisen 
erstens, daß die Euklidische Geometrie richtig ist, zwei- 
tens, dafi sie falsdi ist 

Die Experimente beziehen sich folglich nicht 
auf den Raum, sondern auf die Körper. 

Anhang. 

8. Um vollständig zu sein, müßte ich noch eine 
delikate Frage besprechen, welche lange Entwickelungen 
erfordern würde; ich werde mich darauf beschränken, 
hier zusammenfassend wiederzugeben, was ich in der 
Revue de M^taphysique et de Morale und in der Zett- 
schrift The Monist*) dargel^ habe. Was verstehen wir 
darunter, wenn wir sagen, daß der Raum drei Dimen- 
sionen hat? 

Wir haben die Wichtigkeit derjenigen ,4nneren Ver- 
änderungen'' kennen gelernt, welche uns durch unsere 
Muskelempfindungen zum Bewußtsein kommen (vgl. S. 57 f.). 
Sie können dazu dienen, die verschiedenen Haltungen 
unseres Körpers zu charakterisieren. Nehmen wir irgend 
eine willkürlich gewählte Körperhaltung A zum Ausgangs- 
punkte. Wenn wir von dieser Anfangshaltung zu irgi^id 



^ On the foimdatioii of Greometry, The Monist, edited by 
P. Carns, vol. 9, Chicago 1898. 



Zahl der Dimensionen. 3? 

einer anderen Haltung B übeigehen, so erleiden wir 
eine Reihe S von Muskelempfindungen und diese Reihe 
•S* wird B definieren. Bemerken wir indessen, daß wir 
oft zwei Reihen S und *S" ansehen, als ob sie eine und 
tiieselbe Haltung B definieren (weil die Anfangshaltung 
A und die Endhaltung B dieselben bleiben können, 
wahrend die Zwischenhaltungen und die begleitenden 
Empfindungen verschieden sind). Wie können wir diese 
beiden Reihen als äquivalent nachweisen? Weü sie 
daxu dienen können, eine und dieselbe äußere Ver- 
änderung zu kompensieren, oder allgemeiner, weil eine 
dieser Reihen durch die andere ersetzt werden kann, 
wenn es sich um die Kompensation einer äußeren Ver- 
änderung handelt 

Unter diesen Reihen haben wir diejenigen hervor- 
gehoben, welche für sich allein eine äußere Veränderung 
kompensieren und welche wir „Ortsveränderungen" (vgl. 
S. 60) genannt haben. Da wir zwei Ortsveränderungi^i, 
welche einander zu benachbart sind, nicht unterscheiden 
können, so besitzt die Gesamtheit dieser Ortsverände- 
rungen die Charaktere eines physikalischen Kontinuums; 
die Erfahrung lehrt uns*^), daß es die Charaktere eines 
sechsdimensionalen physikalischen Kontinuums sind; aber 
wir wissen noch nicht, wieviele Dimensionen der Raum 
tielbst hat, wir müssen zuerst eine andere Frage lösen. 

Was ist ein Punkt im Räume? Jedermann glaubt 
es zu wiss^i, aber das beruht auf einer Täuschung. Was 
wir sehen, wenn wir versuchen, uns einen Punkt im 
Räume vorzustellen, ist ein schwarzer Fleck auf weißem 
Papier oder ein Kreidefleck auf einer schwarzen Tafel, 
es ist immer ein Gegenstand. Die Frage muß also 
folgendermaßen verstanden werden: 

Was will ich damit ausdrücken, wenn ich sage, 
daß der Gegenstand B sich an demselben Punkte be- 
findet, in welchem soeben der Gegenstand A war? Und 



38 n> 5* Erfahrung und Geometrie. 

weiter, welches Kriterium wird es mir ermöglichen, die» 
zu erkennen? 

Ich will sagen, daß mein erster Finger, der soeben 
den Gegenstand A berührte, jetzt den Gegenstand B 
berührt, obgleich ich mich nicht von der Stelle 
rühre (was mir meine Muskelempfindung anzeigt). Ich 
könnte mich anderer Kriterien bedienen, z. B. eines 
anderen Fingers oder des Gesichtssinnes. Aber das erste 
Kriterium ist genügend; wenn dieses mit „Ja*' antwortet^ 
so weiß ich, daß alle anderen Kriterien dieselbe Antwort 
geben werden. Ich weiß es aus Erfahrung, ich kann 
es nicht a priori wissen. Darum sage ich auch, daß 
das Berühren nicht aus der Entfernung möglich ist, und 
das ist eine andere Art, die gleiche experimentelle Tat- 
sache auszusprechen. Wenn ich aber im Gegensatz dazu 
sage, daß das Sehen aus der Entfernung möglich ist, so 
will das heißen, daß das durch den Gesichtssinn ge- 
lieferte Kriterium bejahen kann, während die anderen 
Kriterien verneinen. 

Kurz, mein erster Finger wird für jede Haltung 
meines Körpers einen Punkt bestimmen, und das ist es^ 
und nur das allein, was einen Punkt im Räume definiert. 

Mit jeder Haltung korrespondiert also ein Punkt; 
aber es kommt öfters vor, daß der gleiche Punkt mit 
verschiedenen Haltungen korrespondiert (in solchem Falle 
sagen wir, daß unser Finger sich nicht bewegt hat, wohl 
aber der übrige Teil des Körpers). Wir unterscheiden 
also unter den Haltungsveränderungen solche, bei denen 
der Finger sich nicht bewegt. Wie sind wir dazu ge- 
kommen? Weil wir oft bemerken, daß in diesen Ver- 
änderungen der Gegenstand, welcher mit dem Finger in 
Berührung kommt, diese Berührung nicht aufgibt. 

Wir wollen also in ein und dieselbe Abteilung alle 
Haltungen einreihen, welche sich auseinander mittelst 
einer der Veränderungen ableiten, die wir so gekennzeichnet 



Was ist ein Punkt? 8o 

haben. Mit allen Haltungen derselben Abteilung wird 
derselbe Punkt im Räume korrespondieren. So wird 
also mit jeder Abteilung ein Punkt korrespondieren und 
mit jedem Punkte eine Abteilung. Aber man kann sagen : 
die Erfahrung bezieht sich nicht auf den Punkt, sondern 
auf diese Abteilung von Veränderungen, oder besser ge- 
sagt, auf die entsprechende Abteilung von Muskel- 
empfindungen. 

Dann werden wir, wenn wir vom dreidimensionalen 
Räume sprechen, einfach meinen, daß die Gesamtheit 
dieser Abteilungen uns wie die Charaktere eines physi- 
kalischen, dreidimensionalen Kontinuums erscheint. 

Wenn ich mich, anstatt die Punkte im Räume mit 
Hilfe des ersten Fingers zu definieren, z. B. eines anderen 
Fingers bedient hätte, würden dann die Resultate die 
gleichen sein? Das ist keineswegs a priori sicher, aber 
die Erfahrung zeigt uns, wie wir gesehen haben, daß 
alle Kriterien übereinstinmien; darum können wir mit 
„Ja" antworten. 

Wenn wir zu dem zurückkehren, was wir Ortsver- 
änderungen nannten, deren Gesamtheit, wie wir schon 
bemerkten (S. 66), eine Gruppe bildet, so werden wir 
dazu geführt, von den übrigen diejenigen zu unterscheiden, 
bei denen ein Finger sich nicht bewegt; nach dem Vor- 
hergegangenen charakterisieren also diese Ortsverände- 
rungen einen Punkt im Räume und ihre Gesamtheit wird 
eine Untergruppe unserer Gruppe sein. Auf diese Weise 
wird also jeder Untergruppe ein Punkt im Räume ent- 
sprechen.*^ 

Man wird versucht sein zu schlußfolgern, daß es die 
Erfahrung ist, welche uns lehrt, wieviele Dimensionen der 
Raum hat. Aber in Wahrheit haben wiederum unsere 
Erfahrungen nichts mit dem Räume zu tun, sondern mit 
unserem Körper und seinen Beziehungen zu den benach- 



oo ^1 5* Eifülning imd Geometrie. 

harten Gegenständen. Überdies sind sie anfierordent- 
lidi grob. 

In nnBerem Verstände präexistierte die latente Idee 
einer gewissen Anzahl von Gruppen; es sind diejenigen, 
deren Theorie Lie entwickelt hat (vgl. S. 48). Welche 
sollen wir wählen, mn darans eine Art Noimalmaß zn 
fertigen, mit dem wir die natürlichen Erscheinungen 
vergleichen könnten? Und welches ist von dieser ans* 
gewählten Gruppe diejenige Untergruppe, die wir brauchen 
können, um einen Punkt im Räume zu charakterisieren? 
Die Erfahrung leitete uns, als sie uns zeigte, welche 
Wahl sich am besten den Eigenschaften unseres Körpers 
anpassen würde. Aber damit ist ihre Rolle ausgespielt. 



Dritter Teil 
Die Kraft. 

Sechstes Kapitel. 

Die klassische Mechanik. 

Die Engländer lehren die Mechanik wie eine experi- 
mentelle Wissenschaft; auf dem Kontinent stellt man sie 
stets als eine mehr oder weniger deduktive Wissenschaft 
und als eine Wissenschaft a priori dar. Die Engländer 
haben zweifelsohne recht, aber wie konnte man so lange 
in solchen Irrtümern beharren? Warum konnten die 
<3elehrten auf dem Kontinente, welche die Gewohnheiten 
ihrer Vorgänger zu meiden suchten, sich meist nicht voll- 
ständig von diesen Irrtümern befreien? 

Wenn andererseits die Prinzipien der Mechanik keine 
andere Quelle haben als die Erfahrung, sind sie dann 
nicht nur annähernd und provisorisch richtig? Könnten 
uns neue Erfahrungen nicht eines Tages dazu fuhren, 
diese Prinzipien abzuändern oder sie sogar aufzugeben? 

Solche Fragen drängen sich natürlicherweise auf, und 
die Schwierigkeit der Lösung stammt hauptsächlich da- 
her, daß die mechanischen Lehrbücher nicht klar unter- 
scheiden, was Übereinkommen und was H)rpothese ist. 
Das ist nicht alles: 

I. Es gibt keinen absoluten Raum, und wir begreifen 
nur relative Bewegungen; trotzdem spricht man die 
mechanischen Tatsachen öfters so aus, als ob es einen 
absoluten Raum gäbe, auf den man sie beziehen könnte. 



Q2 Hr, 6. Die klassische Mechanik. 

2. Es gibt keine absolute Zeit; wenn man sagt, daß 
zwei Zeiten gleich sind, so wäre das eine Behauptung, 
welche an sich keinen Sinn hat und welche einen solchen 
nur durch Übereinkommen erhalten kann. 

3. Wir haben nicht nur keinerlei direkte Anschauung 
von der Gleichheit zweier Zeiten, sondern wir haben 
nicht einmal diejenige von der Gleichzeitigkeit zweier 
Ereignisse, welche auf verschiedenen Schauplätzen vor 
sich gehen; das habe ich in einem Aufsatze unter dem 
Titel: la Mesure du temps*) dargelegt.**) 

4. Endlich ist unsere Euklidische Geometrie selbst 
nur eine Art von Übereinkommen für unsere Ausdrucks- 
weise; wir könnten die mechanischen Tatsachen aus- 
sprechen, indem wir sie auf einen nicht-Euklidischen 
Raum übertragen; das wäre zwar ein wenig bequemes, 
aber ebenso berechtigtes Werkzeug wie unser gewöhn- 
licher Raum; die Darstellung wird dann viel komplizierter 
werden, aber sie bliebe möglich.**) 

So sind weder der absolute Raum, noch die absolute 
Zeit, noch sogar die Geometrie Voraussetzungen, die für 
die Mechanik absolut notwendig wären; alle diese Dinge 
bestanden nicht vor der Mechanik, So wie logischerweise 
die französische Sprache nicht vor den Wahrheiten be- 
stand, welche man in dieser Sprache ausdrückt. 

Man kann versuchen die fundamentalen Gesetze der 
Mechanik in einer Sprache auszudrücken, welche von 
allen diesen Übereinkommen unabhängig ist; man würde 
sich so ohne Zweifel besser von dem Rechenschaft geben 
können, was diese Gesetze in sich bedeuten; das hat 
Andrade in seinen Le9ons de M6canique physique, 
wenigstens teilweise, versucht klar zu stellen. 

Die Darlegung dieser Gesetze würde, wohlverstanden^ 



*) Revue de M^taphysique et de Morale, t. VI p. i 13 

(janvier 1898). 



Das Prinzip der Trägheit. g^ 

viel schwieriger werden, weil alle diese Übereinkommen 
ausdrücklich ersonnen waren, um diese Darlegung abzu- 
kürzen und zu vereinfachen. 

Was mich betrifft, so werde ich alle diese Schwierig- 
keiten beiseite lassen, ausgenommen diejenige, welche 
sich auf den absoluten Raum bezieht; nicht, daß ich 
diese Schwierigkeiten verkenne, davon bin ich weit ent- 
fernt; aber wir haben sie zur Genüge in den beiden 
ersten Teilen durchgenommen. Vorläufig will ich also 
die absolute Zeit und die Euklidische Geometrie zu- 
lassen. 

Das Prinzip der Trägheit. — Ein Körper, welcher 
keiner Kraft unterworfen ist, kann nur eine geradlinige 
und gleichförmige Bewegung haben. 

Liegt darin eine Wahrheit, welche sich dem Ver- 
stände a priori aufdrängt? Wenn dem so wäre, wie 
konnten die Griechen sie dann verkennen? Wie hätten 
sie glauben können, daß die Bewegung in dem Augen- 
blicke anhält, in dem die Ursache, welche die Be- 
wegung entstehen ließ, aufhört? Oder wie konnten sie 
sogar glauben^ daß jeder Körper, sobald ihm nichts in 
den Weg kommt, eine kreisförmige Bewegung machen 
würde, welche die angeblich vornehmste aller Bewegungen 
sein sollte? 

Wenn man sagt, daß sich die Geschwindigkeit eines 
Körpers nicht ändern kann, wenn kein Grund dazu vor- 
liegt, könnte man dann nicht ebenso gut behaupten, daß 
die Stellung dieses Körpers sich nicht ändern kann oder 
daß die Krümmung seiner Bahn sich nicht ändern kann, 
es sei denn, daß eine äußere Ursache abändernd ein- 
wirkt ? 

Ist also das Prinzip der Trägheit, welches doch keine 
Wahrheit a priori eAthält, eine experimentelle Tatsache? 
Aber hat man jemals mit Körpern experimentiert, welche 
der Wirkung jeder Kraft entzogen waren, und wenn man 



g^ in, 6. Die klassische Mechanik. 

es getan hat, wie konnte man dann wisse&, daß diese 
Körper keiner Ejraft unterworfen waren? Man citiert 
gewöhnlich das Beispiel einer Kngel, welche eine sehr 
lange Zeit hindurch auf einem Marmortische rollt; aber 
wie könn^i wir behaupten, daß sie keiner Kraft unter- 
worfen ist? Vielleicht, weil sie von allen anderen 
Körpern zu weit entfernt ist, um von ihnen merklk±L 
beeinflußt zu werden? Aber sie ist doch von der Erde 
nicht weiter entfernt, als wenn man sie frei in die Luft 
würfe; und jeder weiß, daß sie in diesem Falle dexa 
Einflüsse der Schwerkraft unterworfen ist, welche auf der 
Anziehungskraft der Erde beruht 

Die Lehrer der Mechanik haben die Gewohnheit, 
über das Beispiel der Kugel schnell hinwegzugehen; 
aber sie fügen hinzu, daß das Prinzip der Trägheit in- 
direkt durch seine Folg^ningen bestätigt wird. Dabei 
drücken sie sich nicht richtig aus; sie wollen offenbar 
sagen, daß man verschiedene Folgerungen eines allge- 
meineren Prinzipes, von dem das Prinzip der Trägheit 
nur ein besonderer Fall ist, durch die Erfahrung be- 
stätigen kann. 

Ich schlage vor, dies allgemeine Prinzip in folgender 
Weise auszusprechen: 

DieBeschleunigung einesKörpershängt nur ab 
von dem Orte dieses Körpers und der ihm benach- 
barten Körper und von ihren Geschwindigkeiten. 

Die Math^natiker würden statt dessen sagen ^): Dib 
Bewegungen aller materiellen Moleküle des Universums 
hälfen von Differential-Gleichungen zweiter Ordnung ab. 

Um verständlich zu machen, daß dies wirklich die 
natürliche Verallgemeinerung des Trägheitsgesetzes ist, 
erlaube man mir eine fingierte Annahme. Das Träg- 
heitsgesetz drängt sich uns nicht a priori auf, wie ich 
schon oben erwähnt habe; andere Gesetze würden eben- 
so mit dem Prinzipe des zureichenden Grundes v^träg^ 



YeraUgemeinertes Trä^citsgesetz. gc 

lieh atm. Anstatt Yorattszasetaeo, daß die Geschwindig- 
keit eines Köip^rs sich nicht ändert, wenn derselbe 
keiner Kraft unterworfen ist^ könnte man voraussetzen, 
daß seine Lage, oder auch daß seine Beschleunigung 
sich nicht andern kann. 

Denk^i wir uns für einen Augenblick, daß das eine 
dieser beiden hypothetiscb^k Gesetze mit demjenigen 
der Natur identisch sei und unser Trä^^itsgesetz er- 
setze« Was würde dann dessen naturliche Verallge- 
melnening sein? Eine Minute Überleguxig wird uns die 
Antwort geben. 

Im ersten Falle müßte man annehm^i, daß die Ge- 
schwindigkeit esnes Körpers nur von seiner Lage und 
von der Lage des Nachbarkörpers abhängt; im zweiten 
FaHe, daß die Änderung der Beschleunigung eines 
Körpers nur von der Lage dieses Körpers und seiner 
Nachbarkörper, von ihren Geschwindigkeiten imd von 
ihren Beschleunigungen abhängt. 

Oder, wenn wir es mathematisch ausdrücken: Die 
Differential- Gleichungen der Bewegungen würden im 
eaaiteDL Falle von d^r ersten Ordnung, im zweiten Falle 
von dar dritten Ordnung sein.*^ 

Ändcam wir unsere fingierte Annahme etwas ab. Ich 
setze eine unseren Sonnensyst^Eue analoge Welt voraus, 
in welcher aber, durch besonderen Zufall, die Bahnen 
all^ Planeten ohne Exz^itrizität und ohne Neigung gegen 
die Ekliptik sein sollen. Ich setze weiter voraus, daß 
die Massen dieser Planeten zu schwach wären, um die 
gegenseitigen Störungen der Planeten sichtbar werden zu 
lassen. Die Astronomen, welche einen dieser Planeten 
bewohnea^ würden nicht verfallen zu schlußfolgern, daß 
die Bahn eines Gestirns nur kreisförmig und einer ge- 
wissen, Ebene parallel sein kann; die Stellung eines Ge- 
stirnes in einem gegebenen Augenblicke würde also ge- 
nüg^iy um seine Geschwindigkeit und seine ganze Bahn 



q6 m, 6. Die klassische Mechanik. 

zu bestimmen. Das Trägheitsgesetz, welches sie an- 
nehmen würden, wäre das erste der beiden hjrpothetischen 
Gesetze, von denen ich soeben sprach.*') 

Denken wir nns, daß dieses System eines Tages mit 
großer Schnelligkeit von einem groß -massigen Körper 
durchschnitten würde, der von einem entfernten Stem- 
bilde herkommt. Alle Planetenbahnen vmrden gründlich 
gestört werden. Unsere hjrpothetischen Astronomen 
würden nicht einmal sehr verwundert sein, sie vmrden 
wohl erraten, daß dieses neue Gestirn allein an all dem 
Unheil schuld ist. Sie vmrden sagen: „Die Ordnung 
wird sich von selbst wiederherstellen, wenn der Stören- 
fried wieder fort ist; ohne Zweifel werden die Ent- 
fernungen der Planeten von der Sonne nicht wieder die- 
selben werden, welche sie vor der Katastrophe waren; 
aber wenn der Störenfried nicht mehr da ist, so werden 
die Planetenbahnen wieder kreisförmig sein." 

Nur dann werden diese Astronomen ihres Irrtums 
gewahr werden und die Notwendigkeit erkennen, ihre 
ganze Mechanik zu erneuern, wenn der störende Körper 
sich weit entfernt hätte und wenn dennoch die Planeten- 
bahnen anstatt kreisförmig elliptisch geworden wären. 

Ich habe mich bei dieser Hjrpothese etwas aufge- 
halten, denn es scheint mir, daß man nur gut verstehen 
kann, was unser verallgemeinertes Trägheitsgesetz be- 
deutet, wenn man es einer en^^engesetzten Hjrpothese 
gegenüberstellt 

Nun gut; ist dieses verallgemeinerte Trägheitsgesetz 
durch die Erfahrung bewahrheitet oder kann es in Zu- 
kunft bewahrheitet werden ? Als Newton die „Principia** 
schrieb, betrachtete er diese Wahrheit als gesichert und 
durch Experimente bewiesen. Sie war es auch in seinen 
Augen nicht nur durch die anthropomorphen Vorstellungen, 
von denen wir weiterhin sprechen werden, sondern auch 
durch die Arbeiten Galileis. Sie war überdies gesichert 



Bestätigung durch ErÜEihrung. qy 

durch die Kepplerschen Gesetze; nach diesen Gesetzen 
ist in der Tat die Bahn eines Planeten vollkommen 
durch seine Anfangs-Lage und seine Anfangs-Geschwindig- 
keit bestimmt; gerade das verlangt ja unser verallge- 
meinertes Trägheits-Prinzip. 

Wenn dieses Prinzip nur scheinbar richtig sein soll, 
wenn man zu befürchten hat, dasselbe eines Tages z. B. 
durch eines der analogen Prinzipien ersetzen zu müssen, 
welche ich ihm soeben gegenüberstellte, so müßten wir 
durch einen ganz ungewöhnlichen Zufall getäuscht worden 
sein, durch einen solchen Zufall, wie er unsere hypothe- 
tischen Astronomen unter den oben fingierten Umständen 
irregeführt hatte. 

Eine solche Hypothese ist zu unwahrscheinlich, als 
daß man sich mit ihr aufzuhalten brauchte. Niemand 
wird glauben, daß solche Zufälligkeiten stattfinden können; 
zweifelsohne ist die Wahrscheinlichkeit dafür (bis auf 
die Beobachtungsfehler), daß zwei Exzentrizitäten beide 
zugleich gleich Null seien, nicht kleiner wie die Wahr- 
scheinlichkeit dafür, daß die eine z. B. (bis auf die 
Beobachtungsfehler) genau gleich o,i und die andere 
gleich 0,2 sei. Die Wahrscheinlichkeit eines einfachen 
Ereignisses ist nicht geringer als die Wahrscheinlichkeit 
eines zusammengesetzten Ereignisses ; und dennoch werden 
wir, wenn das einfache Ereignis eintritt, es nicht dem 
Zufall zuschreiben wollen; wir können nicht glauben, daß 
das Naturereignis nur eintrat, um uns zu täuschen. 
Nachdem die Möglichkeit eines derartigen Irrtums für 
uns erledigt ist, können wir also zugeben, daß unser 
Gesetz durch die Erfahrung bestätigt sei, wenigstens so- 
weit es die Astronomie betrifft. 

Aber die Astronomie ist nicht die ganze Physik. 

Sollte man nicht fürchten, daß irgend ein neues 
Experiment eines Tages das Gesetz in irgend einem 
Gebiete der Physik zu nichte macht? Ein experimentelles 

Poincar6, Wissenschaft und Hypothese. 7 



gg m, 6. Die klassische Mechanik. 

Gesetz ist immer der Kontrolle unterworfen; man muß 
immer gewärtig sein, es durch ein anderes, genaueres 
Gesetz ersetzt zu sehen. 

Niemand denkt indessen ernstlich daran, daß das 
Gesetz, von dem wir sprechen, jemals aufgegeben oder 
verbessert werden könnte. Warum? Einfach deshalb^ 
weil man es niemals einer entsprechenden Probe unter- 
werfen kann. 

Um eine wirklich vollständige Probe zu machen, 
müßte man zuerst alle Körper des Universums nach ge- 
wisser Zeit mit ihren Anfangs-Geschwindigkeiten in ihre 
Anfangs-Lagen zurückkehren lassen. Man wird dann 
von diesem Momente ausgehen und sehen, ob sie die 
Bahnen, welche sie bereits einmal verfolgten, wieder 
durchlaufen. 

Aber diese Probe ist unmöglich; man kann sie nur 
teilweise ausführen, und wenn man es auch noch so gut 
machte, so wird es doch immer einige Körper geben^ 
welche nicht zu ihrer Anfangs -Lage zurückkehren; so 
findet jede Abweichung vom Gesetze in leichter Weise 
ihre Erklärung. 

Das genügt noch nicht: in der Astronomie sehen 
wir die Körper, deren Bewegungen wir studieren, und 
wir nehmen meistens an, daß sie nicht der Einwirkung 
anderer, unsichtbarer Körper unterliegen. Unter solchen 
Bedingungen muß unser Gesetz sich bewahrheiten oder 
nicht bewahrheiten. 

Aber in der Physik ist es nicht ebenso: wenn die 
physikalischen Erscheinungen aus Bewegungen hervor- 
gehen, so sind es die Bewegungen der Moleküle, und 
die können wir nicht sehen. Wenn uns nun die Be- 
schleunigung eines der Körper, welche wir sehen, von 
einem anderen Ding abhängig erscheint als von Lagen 
oder Geschwindigkeiten der anderen, sichtbaren Körper 
oder der unsichtbaren Moleküle (deren Existenz wir 



Gesetz der Beschleunigimg. gg 

schon vorhin zugelassen haben), so wird uns nichts daran 
hindern vorauszusetzen, daß dieses andere Ding durch 
die Lage oder die Geschwindigkeit anderer Moleküle 
g^eben wird, deren Anwesenheit wir bis dahin nicht 
geahnt haben. Das Gesetz wäre damit gerettet. 

Man gestatte mir für einen Augenblick, die mathe- 
matische Ausdrucksweise anzuwenden, um denselben Ge- 
danken in anderer Form darzulegen. Ich setze voraus, 
daß wir n Moleküle beobachten und daß nach unseren 
Feststellungen ihre 3« Koordinaten ein System von 3« 
Differential-Gleichungen vierter Ordnung befriedigen (und 
nicht zweiter Ordnung, wie es das Trägheits-Gesetz er- 
fordern würde). Wir wissen, daß ein System von 3» 
Gleichungen vierter Ordnung durch Einführung von 3» 
Hilfs- Variabein auf ein System von 6» Gleichungen 
zweiter Ordnung zurückgeführt werden kann. Wenn wir 
also voraussetzen, daß diese 3« Hilfs- Variabein die 
Koordinaten von n unsichtbaren Molekülen darstellen, 
so ist das Resultat wiederum mit dem Trägheits-Gesetze 
in Übereinstimmung. 

Kurz, dieses Gesetz, das in einigen besonderen Fällen 
erfahrungsmäßig bewiesen ist, kann ohne Furcht auf die 
allgemeinsten Fälle ausgedehnt werden, weil wir wissen, 
daß in diesen allgemeinsten Fällen die Erfahrung dieses 
Gesetz weder bekräftigen noch entkräften kann. 

Das Gesetz der Beschleunigung. — Die Beschleu- 
nigung eines Körpers ist gleich der Kraft, welche auf 
ihn wirkt, dividiert durch seine Masse. 

Kann dieses Gesetz durch die Erfahrung bewiesen 
werden? Dazu müßte man die drei Größen messen, 
welche in dem eben ausgesprochenen Satze vorkommen: 
Beschleunigung, Kraft und Masse. 

Ich nehme an, daß man die Beschleunigung messen 
kann, denn ich sehe von der Schwierigkeit ab, welche 
im Zeitmaße liegt (vgl. S. 93). Aber wie soll man die 



lOO ^> ^* ^^c klassische Mechanik. 

Kraft oder die Masse messen? Wir wissen nicht ein- 
mal, was diese Worte bedeuten. 

Was ist Masse? Es ist, sagt Newton, das Produkt 
des Volumens in die Dichte. — Man sollte besser 
sagen, so meinen Thomson und Tait, daß die Dichtig- 
keit der Quotient der Masse durch das Volumen ist. — 
Was ist Kraft? Es ist, sagt Lagrange, eine Ursache, 
welche die Bewegung eines Körpers hervorbringt oder 
welche sie hervorzubringen bestrebt ist. — Kirchhofif 
wird sagen, es ist das Produkt der Masse in die Be- 
schleunigung*^. Aber warum sagt man dann nicht, 
daß die Masse der Quotient der Kraft durch die Be- 
schleunigung ist? 

Diese Schwierigkeiten sind unentwirrbar. 

Wenn man sagt, daß die Kraft die Ursache einer 
Bewegung sei, so macht man Metaphysik, und diese 
Definition würde, wenn man sich mit ihr begnügte, völlig 
unfruchtbar sein. Wenn eine Definition zu irgend etwas 
nützlich sein soll, muß sie uns lehren, die Kraft zu 
messen; das genügt andererseits; es ist keineswegs 
nötig, daß sie uns lehrt, was die Kraft an sich ist, noch 
ob sie die Ursache oder die Wirkung der Bewegung ist. 

Man muß also zuerst die Gleichheit von zwei Kräften 
definieren. Wann wird man sagen, daß zwei Kräfte 
gleich sind? Das ist der Fall, erwidert man, wenn sie, 
auf dieselbe Masse angewandt, ihr eine gleiche Be- 
schleunigung auferlegen, oder wenn sie, einander direkt 
entgegenwirkend, sich das Gleichgewicht halten. Diese 
Definition ist nur eine Augentäuschung. Man kann eine 
an einen Körper angreifende Kraft nicht loshaken, um 
sie einem anderen Körper anzuhaken, wie man eine 
Lokomotive loshakt, um sie an einem anderen Zuge zu 
befestigen. Es ist also unmöglich zu erfahren, welche 
Beschleunigung eine bestimmte Kraft, die an einem be- 
stimmten Körper angreift, einem bestimmten anderen 



Gleichheit von Kräften. lOi 

Körper erteilen würde, wenn sie an letzterem angriflfe. 
£s ist unmöglich zu wissen, wie sich zwei Kräfte ver- 
halten würden, welche nicht einander direkt entgegen- 
wirken, wenn sie dazu gebracht werden, einander direkt 
entgegenzuwirken. 

Diese Definition versucht man, sozusagen, zu 
materialisieren, wenn man eine Krafl mit einem Dynamo- 
meter mißt oder sie durch Gewichte äquilibriert. Zwei 
Kräfte F und F\ welche ich der Einfachheit wegen als 
vertikal und von unten nach oben gerichtet voraussetze, 
werden bezw. an zwei Körper C und C angebracht; 
ich befestige einen und denselben schweren Körper P 
zuerst an dem Körper C, dann an dem Körper C; 
wenn in beiden Fällen Gleichgewicht stattfindet, so 
schließe ich, daß die beiden Kräfte F und F' einander 
gleich sind, denn sie sind beide gleich dem Gewichte 
des Körpers P» 

Aber bin ich gewiß, daß der Körper P dasselbe 
Gewicht behalten hat, während ich ihn vom ersten Körper 
zum zweiten übertragen habe? Weit gefehlt; ich bin 
vom Gegenteil überzeugt; ich weiß, daß die Inten- 
sität der Schwere sich von einem Punkte zum anderen 
ändert und daß sie z. B. am Pole stärker ist als am 
Äquator. Ohne Zweifel ist der Unterschied sehr gering 
und, ins Praktische übersetzt, möchte ich damit nicht 
rechnen; eine gute Definition soll von mathematischer 
Strenge sein; diese Strenge vermissen wir. Was ich 
vom Gewichte sage, ließe sich offenbar auf die Kraft 
der Feder eines Dynamometers anwenden, welche die 
Temperatur und eine Menge von Nebenumständen ver- 
ändern können. 

Noch nicht genug; man kann nicht sagen, daß das 
Gewicht des Körpers P auf den Körper C übertragen 
würde und direkt die Kraft F äquilibriert. Was an 
den Körper C angreift, das ist die Wirkung A des 



I02 TTT, 6. Die klassische Mechanik. 

Körpers P auf den Körper C\ der Körper P seiner- 
seits ist einesteils seinem Gewichte, andemteils der 
Gegenwirkung R des Körpers C auf P unterworfen. 
Schließlich ist die Kraft F gleich der Kraft A^ weil sie 
ihr das Gleichgewicht hält; die Kraft A ist gleich R 
vermöge des Prinzipes der Gleichheit der Wirkung und 
Gegenwirkung (actio und reactio), endlich ist die Kraft 
R gleich dem Gewichte von P, weil sie ihm das Gleich- 
gewicht hält. Aus diesen drei Gleichungen leiten wir 
als Folgerung die Gleichheit der Kraft F mit dem Ge- 
wichte des Körpers P ab.*^ 

Wir sind demnach genötigt, in die Definition der 
Gleichheit dieser beiden Kräfte das Prinzip der Gleich- 
heit der Wirkung und der Gegenwirkung eingehen zu 
lassen; demzufolge darf dieses Prinzip nicht mehr 
als ein experimentelles Gesetz, sondern als eine 
Definition angesehen werden. 

Um die Gleichheit zweier Kräfte zu erkennen, sind 
wir also jetzt im Besitze zweier Regeln: Gleichheit zweier 
Kräfte, die sich äquilibrieren; Gleichheit von Wirkung 
und Gegenwirkung. Aber wir haben weiter oben ge- 
sehen, daß diese zwei Regeln ungenügend sind; wir 
sind dazu gezwungen, eine dritte Regel zu Eülfe zu 
nehmen und zuzulassen, daß gewisse Kräfte, wie z. B. 
das Gewicht eines Körpers, nach Größe und Richtung 
konstant sind. Diese dritte Regel ist, wie erwähnt, ein 
physikalisches Gesetz; sie ist annähernd richtig; sie ist 
eine schlechte Definition. 

Wir werden also zu der Definition Kirchhoflfs ge- 
führt: Die Kraft ist gleich der Masse, multipliziert 
mit der Beschleunigung. Dieses „Newtonsche Ge- 
setz" hört seinerseits auf, als experimentelles Gesetz be- 
trachtet zu werden; es ist nichts als eine Definition. 
Aber auch diese Definition ist noch ungenügend, weil 
wir nicht wissen, was Masse ist. Sie erlaubt uns ohne 



Kraft und Masse. 



103 



Zweifel das Verhältnis zweier Kräfte zu berechnen, die 
an demselben Körper zu verschiedenen Zeiten angreifen; 
sie lehrt uns nichts über das Verhältnis zweier Kräfte, 
die an zwei verschiedenen Körpern angreifen. 

Um sie zu vervollständigen, müssen wir wieder das 
dritte Newtonsche Gesetz (Gleichheit der Wirkung und 
Gegenwirkung) zu Hilfe nehmen und es nicht als ein 
experimentelles Gesetz ansehen, sondern als eine Defini- 
tion. Zwei Körper A und B wirken aufeinander; die 
Beschleunigung von A, multipliziert in die Masse von A, 
ist gleich der Wirkung von B auf A; ebenso ist das 
Produkt der Beschleunigung von B in seine Masse gleich 
der Gegenwirkung von A auf B. Da nach der Definition 
die Wirkung gleich der Gegenwirkung ist, so verhalten 
sich die Massen von A und B umgekehrt wie die Be- 
schleunigungen dieser beiden Körper. Damit haben wir 
das Verhältnis dieser beiden Massen definiert, und es ist 
Sache des Experimentes zu bestätigen, daß dieses Ver- 
hältnis unveränderlich ist. 

Das wäre möglich, wenn die beiden Körper A und 
B allein gegenwärtig und der Einwirkung der übrigen 
Welt entzogen wären. Dem ist nicht so; die Beschleu- 
nigung von A wird nicht nur durch die Wirkung von B 
hervorgebracht, sondern durch die Wirkung einer Menge 
von anderen Körpern C, D, , , , , Um die vorhergehende 
Regel anzuwenden, muß man die Beschleunigung des 
Körpers A in verschiedene Komponenten zerlegen und 
unterscheiden, welche von diesen Komponenten der Ein- 
wirkung von B zuzuschreiben ist. 

Diese Zerlegung wird stets möglich sein, wenn wir 
zulassen, daß die Wirkung von C auf A einfach zu 
derjenigen von B auf A hinzuzuzählen ist, ohne daß die 
Gegenwart des Körpers C die Wirkung von B auf A 
beeinträchtigt, oder daß die Gegenwart von B die Wir- 
kung von C auf A beeinträchtigt; wenn wir folglich zu- 



I04 ^» ^* ^^ klassische Mechanik. 

lassen, daß irgend welche zwei Körper sich anziehen, daß 
die Richtung ihrer gegenseitigen Einwirkung mit ihrer 
Verbindungslinie zusammenfallt und daß diese Einwirkung 
nur von ihrer Entfernung abhängt; wenn wir, kurz ge- 
sagt, die Hypothese von Zentral-Kräften zulassen. 
Man weiß, daß man sich um die Massen der EUmmels- 
körper zu bestimmen, eines ganz verschiedenen Prinzipes 
bedient. Das Gravitationsgesetz lehrt uns, daß die An- 
ziehung zweier Körper ihren Massen proportional ist; 
wenn r ihre Entfernung ist, m und m ihre Massen, k 
eine Konstante, dann wird ihre Anziehung 

kmm 

T^ 

sein. 

Was man dabei mißt, ist nicht die Masse, das Ver- 
hältnis der Kraft zur Beschleunigung, es ist die an- 
ziehende Masse; es ist nicht die Trägheit des Körpers, 
sondern seine anziehende Kraft. 

Wir haben damit ein indirektes Verfahren, dessen 
Anwendung theoretisch nicht unumgänglich notwendig 
ist. Man könnte z. B. annehmen, daß die Anziehung 
dem Quadrate der Entfernung entgegengesetzt propor- 
tional wäre, ohne dem Produkte der Massen proportional 
zu sein; daß sie also gleich: 

ist, aber ohne daß: 

wäre. 

Wenn dem so ist, so könnte man nichtsdestoweniger 
die Massen dieser Körper durch Beobachtung der rela- 
tiven Bewegungen der Himmels-Körper messen.^) 

Aber haben wir das Recht, die Hjrpothese von Zentral- 
Kräften zuzulassen? Ist diese Hypothese streng exakt? 



Bewegung des Schwerpunktes. 105 

Ist es gewiß, daß sie durch die Erfahrung niemals wider- 
legt wird? Wer wagte das zu bejahen? Und wieder, 
wenn wir diese Hjrpothese aufgeben, so stürzt das so 
mühsam aufgerichtete Gebäude zusammen. 

Wir haben nicht mehr das Recht, von der Komponente 
der Beschleunigung von A, welche der Einwirkung von 
-5 zuzuschreiben ist, zu reden. Wir haben keine Mittel, 
sie von derjenigen zu unterscheiden, welche der Ein- 
wirkung von C oder von einem anderen Körper zuzu- 
schreiben ist. Die Regel für das Messen der Massen 
wird nicht anzuwenden sein. 

Was bleibt dann vom Prinzipe der Gleichheit von 
Wirkung und Gegenwirkung? Wenn die Hjrpothese von 
Zentral-Elräften verworfen wird, so müssen wir dieses 
Prinzip offenbar folgendermaßen aussprechen: Die geo- 
metrische Resultante aller Kräfte, die an den verschie- 
ienen Körpern eines jeder äußeren Einwirkung ent- 
zogenen Systems angreifen, ist gleich Null. Oder in 
anderen Worten: Die Bewegung des Schwerpunktes 
dieses Systems ist geradlinig und gleichförmig. 

Darin scheint eine Möglichkeit zu liegen, die Masse 
zu definieren; die Lage des Massenmittelpunktes (Schwer- 
punktes) hängt augenscheinlich von den den Massen 
beigelegten Werten ab; man muß diese Werte in der 
Art verteilen, daß die Bewegung des Massenmittelpunktes 
geradlinig und gleichförmig ist; das wird stets möglich 
sein, wenn das dritte Gesetz von Newton richtig ist, und 
das wird im allgemeinen nur auf eine Art möglich sein. 

Aber es existiert kein System, das von jeder äußeren 
Einwirkung frei ist; alle Teile des Universums unterliegen 
in mehr oder weniger ausgeprägter Weise der Einwirkung 
aller anderen Teile. Das Gesetz der Bewegung 
des Massenmittelpunktes ist streng genommen 
nur richtig, wenn man es auf das ganze Univer- 
sum anwendet. 



Io6 ^^> ^* ^^ klassische Mechanik. 

Aber dann müßte man, um daraus die Massenwerte 
zu berechnen, die Bew^;ung des Massenmittelpunktes 
des Universums beobachten. Das Absurde in dieser 
Forderung ist offenbar; wir kennen nur relative Be- 
wegungen; die Bewegung des Massenmittelpunktes des 
Universums wird för uns ewig unbekannt bleiben. 

Wir haben also nichts erreicht, und unsere Anstren- 
gungen sind vergeblich gewesen ; wir müssen gezwungener- 
maßen zur folgenden Definition zurückkehren, welche 
nur ein Geständnis unserer Ohnmacht ist: Die Massen 
sind Koeffizienten, welche man zur größeren Be- 
quemlichkeit in die Rechnungen einführt. 

Wir könnten die ganze Mechanik erneuern, wenn 
wir allen Massen andere Werte zuerteilten. Diese neue 
Mechanik würde weder mit der Erfahrung, noch mit 
den allgemeinen Prinzipien der D3mamik in Widerspruch 
sein (Trägheits- Prinzip, Proportionalität der Elräfte zu 
den Massen und Beschleunigungen, Gleichheit der 
Wirkung und der Gegenwirkung, geradlinige und gleich- 
formige Bewegung des Schwerpunktes, Prinzip der 
Flächen). 

Nur würden die Gleichungen dieser neuen Mechanik 
weniger einfach sein. Verstehen wir uns recht: nur 
die ersten Glieder würden weniger einfach sein, d. h. 
diejenigen, welche die Erfahrung uns bereits erkennen 
ließ; vielleicht könnte man die Massen um kleine Quan- 
titäten ändern, ohne daß die vollständigen Gleichungen 
an Einfachheit gewinnen oder verlieren. 

Hertz hat die Frage aufgeworfen ^i), ob die Prinzipien 
der Mechanik streng genoromen richtig sind; er sagt, 
„daß in der Meinung vieler Physiker es als undenkbar 
gilt, daß die späteste Erfahrung jemals etwas an den 
feststehenden Grundsätzen der Mechanik ändern könnte; 
und dennoch, was aus der Erfahrung stammt, könne 
auch immer durch die Erfahrung vernichtet werden." 



Definitionen in der Mechanik. 



107 



Nach dem, was wir gesagt haben, erscheint diese 
Furcht überflüssig. Die Prinzipien der Dynamik er- 
scheinen uns zuerst als experimentelle Wahrheiten; aber 
wir haben sie wie Definitionen verwenden müssen. 
Nach Definition ist die Kraft gleich dem Produkte 
der Masse in die Beschleunigung; das ist ein Prinzip, 
welches in Zukunft außer dem Bereiche jeder weiteren 
Erfahrung liegt. Ebenso ist nach Definition die Wir- 
kung gleich der Gegenwirkung. 

Aber dann sind, wird man einwerfen, diese unveri- 
fizierbaren Prinzipien jeder Bedeutung absolut bar; die 
Erfahrung kann ihnen nicht widersprechen; aber sie 
können uns nichts Nützliches lehren, wozu soll man dann 
die D3aiamik studieren? 

Dieses voreilige Urteil würde ungerecht sein. Es 
gibt in der Natur kein vollkommen isoliertes System, 
das zugleich vollkommen frei von jeder äußeren Ein- 
wirkung ist; aber es gibt nahezu isolierte Systeme. 

Wenn man ein solches System beobachtet, so kann 
man nicht nur die relative Bewegung seiner verschiedenen 
Teile gegeneinander studieren, sondern auch die Be- 
wegungen seines Schwerpunktes in Bezug auf die ande- 
ren Teile des Universums. Man stellt dann fest, daß 
die Bewegung dieses Schwerpunktes nahezu geradlinig 
und gleichförmig ist, gemäß dem dritten Gesetze von 
Newton. 

Das ist eine experimentelle Wahrheit, welche durch 
die Erfahrung nicht entkräftigt werden kann; was könnte 
uns in der Tat noch genauere Erfahrung lehren? Sie 
würde uns lehren, daß das Gesetz nur nahezu richtig 
ist, aber das wissen wir bereits. 

Es erklärt sich jetzt, warum die Erfahrung 
den Prinzipien der Mechanik als Grundlage die- 
nen konnte und dennoch ihnen niemals wird 
widersprechen können. 



Io8 ^> 6* ^^^ klassische Mechanik. 

Die anthropomorphe Mechanik. — Man könnte 
einwerfen: ,,daß Kirchhoff nur dem Hange der meisten 
Mathematiker zum Nominalismus gehuldigt hat; seine 
physikalische Geschicklichkeit hat ihn nicht davor be- 
wahrt. Er hat Wert darauf gelegt, eine Definition der 
Kraft zu haben, und er hat dafür den ersten besten 
Lehrsatz genommen; aber wir brauchen keine Definition 
der Kraft: die Idee der Kraft ist ein ursprünglicher, 
völlig selbständiger und undefinierbarer Begriff; wir wissen 
alle, was Kraft ist; wir haben ja eine direkte Anschauung 
davon. Diese direkte Anschauung entsteht aus dem 
Begriffe der Anstrengung, der uns von ELindheit an ver- 
traut ist." 

Vorerst jedoch wird diese direkte Anschauung, selbst 
wenn sie uns die wahre Natur der Kraft in sich er- 
kennen ließe, ungenügend sein, um die Mechanik zu be- 
gründen; sie wird andererseits gänzlich unnütz sein. £s 
kommt nicht darauf an, zu wissen, was Elraft ist, sondern 
zu wissen, wie man sie mißt. 

Was nicht zum Messen der Kraft dient, ist für den 
Mechaniker ebenso unnütz, wie es z. B. der subjektive 
Begriff von Wärme und Kälte für den Physiker ist, der 
die Wärme studiert. Dieser subjektive Begriff läßt sich 
nicht in Zahlen übersetzen, also ist er unnütz. Ein 
Gelehrter, dessen Haut ein absolut schlechter Wärme- 
leiter ist und welcher folglich niemals weder Kälte- noch 
Wärme-Empfindungen gespürt hat, könnte dennoch ein 
Thermometer ebenso gut wie ein anderer betrachten, 
und das würde ihm genügen, um die ganze Wärme- 
Theorie zu konstruieren. 

Der unmittelbare Begriff einer Anstrengung kann uns 
nicht dazu dienen, die Kraft zu messen; es ist z. B. klar, 
daß ich beim Heben eines Gewichtes von fünfzig Kilo 
mehr Ermüdung empfinde als ein Mensch, der daran 
gewöhnt ist, Lasten zu tragen. 



Anthropomorphe Mechanik. loo 

Aber noch mehr: dieser Begriflf der Anstrengung 
läßt uns nicht die wahre Natur der Kraft erkennen; er 
reduziert sich eigentlich auf eine Erinnerung an Muskel- 
Empfindungen, und man wird nicht behaupten, daß die 
Sonne eine Muskel-Empfindung hat, wenn sie die Erde 
anzieht.**) 

Alles, was man aus diesen Empfindungen gewinnen 
kann, ist ein noch ungenaueres und unbequemeres S3rmbol, 
als es die Pfeile sind, deren sich die Mathematiker be- 
dienen, um die Richtung von Kräften zu bezeichnen; 
diese Pfeile sind ebensoweit von der Wirklichkeit ent- 
fernt als unser S)rmbol. 

Der Anthropomorphismus hat in der Genesis der 
Mechanik eine beträchtliche historische Rolle gespielt; 
vielleicht liefert er noch öfters ein Symbol, das manchem 
als bequem erscheinen wird; aber er kann nichts begrün- 
den, was einen wissenschaftlichen oder wahrhaft philoso- 
phischen Charakter hätte. 

, J)ie Schule des Fadens'*. — Andrade hat in seinen 
Legons de M6canique physique die anthropomorphe 
Mechanik verjüngt. Der Schule der Mechaniker, zu 
denen Kirchhoflf gehört, stellt er eine andere Schule 
gegenüber, welcher er den bizarren Namen „Schule des 
Fadens" gegeben hat. 

Diese Schule versucht, „alles auf die Betrachtung 
gewisser materieller Systeme von sehr geringer Masse 
zurückzufuhren, die sich im Zustande der Spannung be- 
finden und fähig sind, beträchtliche Kraft-Äußerungen 
auf entfernte Körper zu übertragen, also Systeme, deren 
idealer Typus der masselose Faden ist." 

Ein Faden, welcher irgend eine Elraft überträgt, 
verlängert sich leicht unter der Einwirkung dieser Kraft; 
die Richtung des Fadens läßt uns die Richtung der 
Kraft erkennen, deren Größe durch die Verlängerung 
des Fadens gemessen wird. 



1 1 ni, 6. Die klassische Mechanik. 

Man kann also folgendes Experiment ausfuhren. Ein 
Körper A ist an einem Faden befestigt; am anderen 
Ende des Fadens soll irgend eine Kraft wirken, welche 
man variieren läßt, bis der Faden eine Verlängerung a 
annimmt; man merkt sich die Beschleunigung des Kör- 
pers A; man löst A los und befestigt den Körper B an 
demselben Faden, man läßt wiederum dieselbe Kraft 
oder eine andere Kraft wirken und man läßt sie variieren, 
bis der Faden die Verlängerung a wieder annimmt; man 
merkt sich die Beschleunigung des Körpers B. Man 
wiederholt das Experiment sowohl mit dem Körper A 
als mit dem Körper B, aber derart, daß der Faden die 
Verlängerung ß annimmt. Die vier beobachteten Be- 
schleunigungen müssen einander proportional sein. Man 
hat somit eine experimentelle Prüfung des weiter oben 
besprochenen Beschleunigungsgesetzes. 

Oder noch besser: man unterwirft einen Körper der 
gleichzeitigen Einwirkung von mehreren identischen, 
gleichmäßig gespannten Fäden, und man sucht durch 
das Experiment festzustellen, bei welcher Lage aller 
dieser Fäden der Körper im Gleichgewicht bleibt. Man 
hat dann eine experimentelle Prüfung der Regel von der 
Zusammensetzung der Kräfte.^^ 

Was haben wir nun in Summa getan? Wir haben 
die Kraft definiert, welcher der Faden durch die von 
ihm erlittene Deformation unterworfen ist; das ist hin- 
reichend einleuchtend; wir haben femer angenommen, 
daß die Kraft, welche auf einen an diesem Faden be- 
festigten Körper durch diesen Faden übertragen wird, 
zugleich die Wirkung ist, welche dieser Körper auf 
diesen Faden ausübt; schließlich haben wir uns also 
des Prinzips der Gleichheit von Wirkung und Gegen- 
wirkung bedient, indem wir es nicht als experimen- 
telle Wahrheit, sondern als die Definition der Kraft selbst 
ansehen. 



Die Schule des Fadens. III 

Diese Definition ist ebenso konventionell wie die- 
jenige von Kirchhoflf, aber sie ist weniger allgemein. 

Es sind nicht alle Kräfte durch Fäden übertragbar 
(überdies müßten alle Kräfte durch identische Fäden 
übertragen werden, damit man sie vergleichen kann). 
Selbst wenn man annehmen würde, daß die Erde durch 
irgend einen unsichtbaren Faden an der Sonne befestigt 
sei, so würde man zum mindesten zugeben, daß man 
keine Mittel hat, die Verlängerung eines solchen Fadens 
zu messen. 

Folglich wird, in neun von zehn Fällen, unsere De- 
finition falsch sein; man könnte ihr keinen Sinn bei- 
legen, und wir müssen zu derjenigen von Kirchhoflf 
zurückkehren. 

Wozu also diesen Umweg machen? Als Ausgangs- 
punkt nehmen Sie eine gewisse Definition der Kraft, 
welche nur für gewisse besondere Fälle Sinn hat. In 
diesen Fällen bestätigen Sie durch das Experiment, daß 
diese Definition zum Gesetze der Beschleunigung führt. 
Auf dieses Experiment gestützt, nehmen Sie sodann 
das Gesetz der Beschleunigung als Definition der Kraft 
in allen anderen Fällen an. 

Würde es nicht viel einfacher sein, das Gesetz der 
Beschleunigung als eine Definition in allen Fällen zu 
betrachten und die in Frage kommenden Experimente 
nicht als Prüfungen dieses Gesetzes anzusehen, sondern 
als Prüfungen des Prinzips der Gegenwirkung oder als 
Beweismittel dafür, daß die Deformation eines elastischen 
Körpers nur von den Kräften abhängt, denen dieser 
Körper unterworfen ist. 

Dabei haben wir noch gar nicht berücksichtigt, daß 
die Bedingungen, unter welchen Ihre Definition ange- 
nommen werden könnte, nie anders als unvollkommen 
ausführbar sind, daß ein Faden nie ohne Masse sein 
kann, daß auf ihn außer der Reaktion des an seinen 



« 



112 ni, 6. Die klassische Mechanik. 

Enden befestigten Körpers immer noch andere Kräfte 
einwirken. 

Die Ideen Andrades sind trotzdem nicht weniger 
interessant; wenn sie auch nnser logisches Bedürfiiis 
nicht befriedigen, so lassen sie nns doch die historische 
Genesis der frmdamentalen mechanischen Begriffe besser 
verstehen. Die Überladungen, zu welchen sie uns ver- 
anlassen, zeigen, wie der menschliche Verstand sich von 
einem naiven AnÜiropomorphismus zu wirklichen, wissen- 
schaftlichen Gedanken eihebt. 

Wir sehen beim B^;inne unseres W^es ein sehr 
spezielles und ziemlich rohes Experiment, am Ende aber 
ein ganz allgemeines und vollkommen genaues Gesetz, 
das wir für absolut gewiß halten. Diese Gewißheit 
haben einzig und allein wir demselben sozusagen frei- 
willig beigel^^ indem wir es als durch Übereinkommen 
festgel^ ansehen. 

Beruhen denmach das Gesetz der Beschleunig^ung 
und die Regel für die Zusammensetzung der Kräfte nur 
auf willkürlichem Übereinkommen? Auf Übereinkommen? 
Ja; aber auf willkürlichem? Nein. Die Gesetze wären 
willkürlich, wenn man die Experimente aus den Augen 
verlöre, welche die Begründer der Wissenschaft zu ihrer 
Annahme bewogen und welche trotz ihrer Unvollkommen- 
heit genügen, um sie zu rechtfertigen. Es ist gut, dem 
experimentellen Ursprünge dieser konventionellen Fest- 
setzungen hin und wieder unsere Aufrnerksamkeit zu 
schenken. 



Relative Bewegung. 1 1 2 



Siebentes Kapitel. 

Die relative und die absolute Bewegung. 

Das Prinzip der relativen Be^vegung. Man hat 

manchmal versucht das Gesetz der Beschleunigung mit 
einem allgemeineren Prinzipe in Verbindung zu bringen. 
Die Bewegung irgend eines Systems muß denselben Ge- 
setzen genügen, einerlei ob man sie auf feste Achsen 
bezieht oder auf bewegliche Achsen, die eine gerad- 
linige und gleichförmige Bewegung ausführen. Darin 
besteht das Prinzip der relativen Bewegung, welches sich 
uns aus zwei Gründen aufdrängt: erstens bestätigt es 
die tagtägliche Erfahrung, und zweitens würde eine ent- 
gegengesetzte Hypothese unserem Verstände außerordent- 
lich widerstreben. 

Nehmen wir dieses Prinzip also an und betrachten 
einen Körper, welcher einer Kraft unterworfen ist; der 
Beobachter bewege sich mit einer gleichförmigen Ge- 
schwindigkeit, welche gleich der Anfangsgeschwindigkeit 
des Körpers ist; die relative Bewegung des letzteren 
inbezug auf den Beobachter muß dann ebenso verlaufen, 
wie seine absolute Bewegung verlaufen würde, wenn die 
Anfangsgeschwindigkeit gleich Null wäre (der Körper 
also die Bewegung aus der Ruhelage begönne). Man 
schließt daraus, daß seine Beschleunigung nicht von 
seiner absoluten Geschwindigkeit abhängen kann und 
man bemüht sich daraus das vollständige Gesetz der 
Beschleunigung abzuleiten. 

Spuren solcher Beweise hat man lange in den Auf- 
gaben der Baccalaureats- Prüfungen bemerken können. 
Offenbar muß dieser Versuch erfolglos bleiben. Die 
Schwierigkeit, welche uns verhindert das Beschleunigungs- 
gesetz zu beweisen, liegt darin, daß wir keine Definition 

Poincard, Wissenschaft und Hypothese. 8 



1 1 j^ m, 7. Relative Bewegung. 

der Kraft haben; und diese Schwierigkeit bleibt ihrem 
ganzen Umfange nach bestehen, denn das zu EUlfe ge- 
nommene Prinzip hat uns die fehlende Definition nicht 
geliefert. 

Das Prinzip der relativen Bewegung ist darum nicht 
weniger interessant und verdient um seiner selbst willen 
studiert zu werden. Versuchen wir zunächst, es in prä- 
ciser Fassung auszusprechen. 

Wir haben oben gesagt, daß die Beschleunigungen 
der verschiedenen Körper, welche Teile eines isolierten 
Systems sind, nur von ihren relativen Geschwindigkeiten 
und ihren relativen Lagen abhängen und nicht von ihren 
absoluten Geschwindigkeiten und ihren absoluten Lagen^ 
vorausgesetzt, daß die beweglichen Achsen, auf welche 
die relative Bewegung bezogen wird, geradlinig und 
gleichförmig im Räume fortrücken. Oder, wenn man 
lieber will, ihre Beschleunigungen hängen nur von den 
Diflferenzen ihrer Koordinaten und Geschwindigkeiten ab 
und nicht von den absoluten Werten dieser Koordinaten 
und Geschwindigkeiten. 

Wenn dieses Prinzip für die relativen Beschleuni- 
gungen, oder besser für die Beschleunigungsdiflferenzen 
richtig ist, so kann man es mit dem Gesetze der Wir- 
kung und Gegenwirkung kombinieren und kommt so zu 
dem Schlüsse, daß es auch für die absoluten Beschleu- 
nigungen richtig ist. 

Es bleibt uns also noch übrig nachzusehen, wie man 
beweisen kann, daß die Diflferenzen der Beschleunigungen 
nur von den Diflferenzen der Geschwindigkeiten und der 
Koordinaten abhängen oder, um die mathematische Aus- 
drucksweise zu gebrauchen, daß diese Koordinatendiflfe- 
renzen ein System von Diflferentialgleichungen zweiter 
Ordnung befriedigen. 

Kann dieser Beweis durch Experimente oder durch 
Überlegungen a priori erbracht werden? 



Newtons Scblußweise. 



"5 



Der Leser wird sich selbst die Antwort geben, wenn 
er sich dessen erinnert, was wir oben dargelegt haben. 

In der Tat gleicht das Prinzip der relativen Bewe- 
gung, wie wir es ausgesprochen haben, außerordentlich 
dem Prinzipe, welches ich oben als das verallgemeinerte 
Prinzip der Trägheit bezeichnet habe (vgl. S. 94); es ist 
aber nicht damit identisch, denn jetzt handelt es sich 
um die Dififerenzen der Koordinaten und nicht um die 
Koordinaten selbst. Das neue Prinzip lehrt uns also 
etwas mehr als das alte, aber es lassen sich auf das- 
selbe die gleichen Erörterungen anwenden, und diese 
fuhren dann zu den gleichen Schlüssen; es ist deshalb 
nicht nötig darauf zurückzukommen. 

Die Schlußweise Newtons. — Hier kommen wir 
auf einen sehr wichtigen und zuerst sogar störend er- 
scheinenden Einwurf. Ich habe erwähnt, daß das Prinzip 
der relativen Bewegung für uns nicht nur ein Resultat 
der Erfahrung ist, und daß jede entgegengesetzte Hypo- 
these a priori dem Verstände widerstreben würde. 

Aber warum ist dann das Prinzip nur richtig, wenn 
die Bewegung der beweglichen Achsen geradlinig und 
gleichförmig ist? Es scheint, daß dieses Prinzip sich 
uns mit derselben Macht aufdrängen müßte, wenn diese 
Bewegung ungleichförmig ist, oder wenigstens wenn sie 
sich auf eine gleichförmige Rotation reduziert. In diesen 
zwei Fällen ist das Prinzip aber nicht richtig. 

Ich verweile nicht lange bei dem Falle, in welchem 
die Bewegung der Achsen geradlinig ist ohne gleich- 
formig zu sein; das darin enthaltene Paradoxon kann 
einer gründlichen Prüfung nicht standhalten. Wenn ich 
im Eisenbahnwaggon bin und wenn der Zug auf irgend 
ein Hindernis stößt und dann plötzlich anhält, so 
werde ich auf den gegenüberliegenden Sitz geschleudert, 
obgleich ich nicht direkt irgend einer Kraft unterworfen 
bin. Darin liegt nichts Rätselhaftes; wenn ich nicht d^r 

8* 



1 1 6 ni, 7. Relative Bewegung. 

Einwiikniig einer äußeren Kraft nnterl^en bin, so hat 
doch der Zug an sich selbst eine änßere Erschüttening 
erfahren. Wenn die relative Bew^;ang zweier Körper 
von dem Momente ab gestört wird, wo die Bew^;ang 
des einen von ihnen durch eine äußere Ursache geändert 
wird, so li^ darin nichts Paradoxes. 

Ich werde mich länger bei dem Fall der relativen 
Bewegungen aufhalten, welche auf Achsen bezogen sind, 
die eine gleichförmige Rotation ausfuhren. Weim der 
Himmel unaufhörlich mit Wolken bedeckt wäre, wenn 
wir kein Mittel hätten die Gestirne zu beobachten, so 
könnten wir nichtsdestoweniger schlußfolgern, daß die 
Erde sich dreht; wir hätten durch ihre Abplattung davon 
Kenntnis oder auch durch den Foucaultschen Pendel- 
versuch (vgl. S. 80). 

Und hätte es trotzdem in diesem Falle einen Sinn 
zu behaupten, daß die Erde sich dreht? Wenn es 
keinen absoluten Raum gibt, kann man da eine Drehung 
erkennen, ohne daß diese Drehung auf irgend etwas 
zu beziehen wäre? und andererseits, wie könnte man 
die Schlußfolgerung Newtons annehmen und an den ab- 
soluten Raum glauben? 

Aber es genügt nicht zu konstatieren, daß alle die 
möglichen Lösungen uns gleicherweise befremden; man 
muß für jede von ihnen die Vemimftgründe für unser 
Widerstreben analysieren, um nach Erkenntnis der Ur- 
sache unsere Wahl zu tre£fen. Man möge also die lange 
Erörterung, welche ich folgen lasse, entschuldigen. 

Versetzen wir uns wieder in imsere fingierte Welt: 
dichtes Gewölk verbirgt die Gestirne den Menschen, 
welche sie nicht beobachten und sogar von ihrer Exi- 
stenz nichts wissen können; wie erfahren diese Menschen, 
daß die Erde sich dreht? Mehr noch wie unsere Vor- 
fahren würden sie den Boden, welcher sie trägt, als fest 
upid unerschütterlich betrachten; sie würden viel später 



Eine fingierte Welt. ny 

die Ankunft eines Coppemicus zu erwarten haben. Aber 
schließlich würde dieser Coppemicus doch kommen; wie 
würde er kommen? 

Die Mechaniker dieser fingierten Welt würden sich 
vorerst nicht durch eine Schlußfolgerung beunruhigen 
lassen, die nach unserer Auffassung einen absoluten 
Widerspruch enthält. In der Theorie der relativen Be- 
wegung faßt man, abgesehen von den wirklichen Kräften, 
zwei fingierte Kräfte ins Auge, welche man die gewöhn- 
liche Zentrifugalkraft und die zusammengesetzte Zentri- 
fugalkraft nennt. Unsere fingierten Gelehrten könnten 
also alles erklären, indem sie diese zwei Klräfte als wirk- 
liche ansehen und sie würden dabei keinen Widerspruch 
mit dem verallgemeinerten Prinzipe der Trägheit bemerken, 
denn von diesen Kräften würde die eine von den rela- 
tiven Stellungen der verschiedenen Teile des Systems 
abhängen (wie es bei wirklichen Anziehungen der Fall 
ist), die andere von ihren relativen Geschwindigkeiten 
(wie es bei den wirklichen Reibungen der Fall ist). 

Indessen würden bald noch mehr Schwierigkeiten 
ihre Aufinerksamkeit in Anspruch nehmen; wenn es ihnen 
gelingen würde ein isoliertes System darzustellen, so 
würde der Schwerpunkt dieses Systems nicht eine nahezu 
geradlinige Bahn haben. Sie müßten, um diese Tat- 
sache zu erklären, die Zentrifugalkräfte zu Hilfe nehmen, 
welche sie als wirkliche betrachten und welche sie zweifel- 
los den gegenseitigen Wirkungen der Körper zuschreiben. 
Nur würden sie diese Kräfte bei großen Entfernungen, 
. d. h. in dem Maße, wie die Isolierung immer mehr ver- 
wirklicht würde, nicht kleiner und kleiner werden sehen; 
weit gefehlt: die Zentrifugalkraft wächst mit der Ent- 
fernung ins Unendliche. 

Diese Schwierigkeit würde ihnen bereits ziemlich 
groß erscheinen; aber dennoch würde dieselbe sie nicht 
lange aufhalten; sie würden sich bald irgend ein sehr 



1 1 8 in, 7. Relative Bewegung. 

fein geartetes Medium ausdenken, das unserem Äther 
analog wäre, in welchem alle Körper schwimmen und 
welches auf die Körper eine abstoßende Wirkung aus- 
üben würde. 

Dieses ist noch nicht alles. Der Raum ist S3rmme- 
trisch und dennoch würden die Gesetze der Bewegung 
keine Symmetrie auf^veisen; sie müßten zwischen rechts 
und links unterscheiden. Man würde z. B. sehen, daß 
die Wirbelstürme sich immer in demselben Sinne drehen, 
während gemäß den Gründen der Symmetrie diese Er- 
scheinungen sich ebensowohl in dem einen wie im anderen 
Sinne abspielen müßten. Wenn unsere Gelehrten ver- 
möge ihrer Arbeit dahin gelangt wären, ihr Universum 
völlig sjrmmetrisch zu gestalten, so würde diese Symme- 
trie mit derartigen Erscheinungen nicht verträglich sein, 
obgleich es keinen vernünftigen Grund zu geben scheint, 
warum sie in dem einen Sinne mehr als im anderen 
gestört werden sollte. 

Sie würden sich ohne Zweifel schon zu helfen wissen, 
sie würden irgend ein Ding erfinden, das nicht außer- 
ordentlicher wäre als die gläsernen Sphären des Ptolo- 
mäus, und man würde so die Schwierigkeiten anhäufen, 
bis der erwartete Coppemicus sie alle mit einem einzigen 
Schlage beseitigen würde, indem er sagt: Es ist viel ein- 
facher anzunehmen, daß die Erde sich dreht. 

Und ebenso wie unser Coppemicus uns sagte: Es 
ist bequemer vorauszusetzen, daß die Erde sich dreht, 
weil man damit die astronomischen Gesetze in einer 
viel einfacheren Sprache ausdrückt, so würde auch dieser 
Coppemicus sagen: Es ist bequemer vorauszusetzen, daß 
die Erde sich dreht, weil man damit die Gesetze der 
Mechanik in einer viel einfacheren Sprache ausdrückt. 

Das verhindert nicht, daß der absolute Raum, d. h. 
das Hilfsmittel, auf welches man die Erde beziehen 
müßte, um zu wissen, ob sie sich wirklich dreht, keine 



Absolute Rotation. 1 1 g 

objektive Existenz hat. Daher hat die Behauptung: „Die 
Erde dreht sich" keinen Sinn, weil sie sich durch keine 
Erfahrung verifizieren läßt; weil femer eine solche 
Erfahrung nicht nur nicht verwirklicht, sondern nicht 
einmal vom kühnsten Jules Veme erträumt werden, noch 
ohne Widerspruch begriffen werden könnte; also diese 
beiden Sätze: „Die Erde dreht sich" und „Es ist bequemer 
vorauszusetzen, daß die Erde sich dreht" haben ein und 
denselben Sinn; es liegt in dem einen nicht mehr wie 
im anderen.^) 

Vielleicht würde man sich damit noch nicht be- 
gnügen und man würde es immer noch befremdlich 
finden, daß unter allen Hypothesen oder vielmehr unter 
allen Festsetzungen, welche wir auf diesem Gebiete 
machen können, eine besteht, welche bequemer als die 
anderen ist. 

Aber warum sollte das, was man sorglos zuließ, als 
es sich um die astronomischen Gesetze handelte, im 
Gebiete der Mechanik befiremdlich sein? 

Wir haben gesehen, daß die Koordinaten der Körper 
durch Differentialgleichungen zweiter Ordnung bestimmt 
werden, und daß mit den Differenzen dieser Koordi- 
naten dasselbe der Fall ist. Dieser Satz sprach den 
Inhalt des verallgemeinerten Trägheitsprinzips (vgl. S. 94) 
und des Prinzips der relativen Bewegung (vgl, S. 114) aus. 
Wenn die Entfernungen dieser Körper ebenso durch 
Gleichungen zweiter Ordnung bestimmt wären, so scheint 
es, daß der Verstand vollkommen befriedigt sein müßte. 
Bis zu welchem Grade erhält der Verstand diese Befrie- 
digung und warum begnügt er sich nicht damit? 

Um uns davon Rechenschaft zu geben, ist es besser 
ein einfaches Beispiel zu wählen. Ich setze ein unserem 
Sonnensysteme analoges System voraus, von welchem aus 
man diesem Systeme fremde Fixsterne nicht bemerken 
kann, und zwar derart, daß die Astronomen nur die 



I20 m, 7. Relative Bewegung. 

gegenseitigen Entiemungen der Planeten und der Sonne 
und nicht die absoluten Längen (d. h. Stellungen in ihrer 
Bahn) der Planeten beobachten könnten. Wenn wir 
direkt aus dem Newtonschen Gesetze die Diflferential- 
gleichungen ableiten wollten, welche die Veränderung 
dieser Entfernungen definieren, so werden diese Glei- 
chungen nicht zweiter Ordnung sein. Ich will damit 
folgendes ausdrücken: wenn man, abgesehen vom Newton- 
schen Gesetze, die Anfangswerte dieser Entfernungen 
und ihre Diflferentialquotienten inbezug auf die Zeit (d. h. 
die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Entfernungen 
ändern) kennen würde, so würde das nicht genügen, um 
die Werte dieser selben Entfernungen in einem späteren 
Zeitpunkte zu bestimmen.^) Es würde noch eine (der 
Erfahrung zu entnehmende) Angabe fehlen, und diese 
Angabe könnte z. B. in dem gefunden werden, was die 
Astronomen Konstante des Flächensatzes nennen (vgl. das 
zweite Kepplersche Gesetz). 

Hier kann man zwei verschiedene Standpunkte ein- 
nehmen; wir können zwei Arten von Konstanten unter- 
scheiden. In den Augen der Physiker reduziert sich 
die Welt auf eine Reihe von Naturerscheinungen, welche 
einzig und allein einerseits von den Anfangszuständen 
abhängen, andererseits von den Gesetzen, welche die 
folgenden Zustände jeweils mit den vorhergehenden ver- 
binden. Wenn dann die Beobachtung uns lehrt, daß 
eine gewisse Größe eine Konstante ist, so werden wir 
zwischen zwei Auffassungsweisen die Wahl haben. 

Entweder wir nehmen an, daß es ein Gesetz gibt, 
welches vorschreibt, daß diese Größe sich nicht ändern 
kann, daß sie aber nur zufallig dazu gekommen ist, seit 
Jahrhunderten gerade diesen bestimmten Wert lieber als 
jeden anderen anzunehmen, den sie nun seitdem be- 
halten muß. Diese Größe könnte man dann eine zu- 
fällige Konstante nennen. 



Zufallige und wesentliche Konstanten. 121 

Oder wir nehmen das Gegenteil an, nämlich, daß 
es ein Naturgesetz gäbe, welches dieser Größe gerade 
diesen bestimmten Wert und keinen anderen zuerteilt. 
Wir werden dann eine Größe haben, die man eine 
wesentliche Konstante nennen kann. 

Zum Beispiel ist infolge der Newtonschen Gesetze 
die Dauer der Umdrehung der Erde konstant. Wenn 
sie aber 366 Stemtage und etwas darüber beträgt und 
nicht 300 oder 400 Tage, so beruht dies auf irgend 
welchem unbekannten, anfanglichen Zufalle. Dies ist eine 
zufallige Konstante. Wenn dagegen die Potenz der 
Entfernung, welche in dem Ausdrucke für das Attraktions- 
gesetz vorkommt, gleich — 2 ist und nicht gleich — 3, 
so ist das kein Zufall, sondern es ist so, weil das 
Newtonsche Gesetz es so verlangt. Dies ist eine wesent- 
liche Konstante. 

Ich weiß nicht, ob es in sich gerechtfertigt ist, den 
Zufall in solcher Weise in die Erscheinungen eingreifen 
zu lassen, und ob die gemachte Unterscheidung nicht 
etwas künstlich ist; jedenfalls steht so viel fest, daß die- 
selbe in ihrer Anwendung sehr willkürlich und immer 
mißlich bleibt, solange die Natur noch Geheimnisse 
besitzt. 

Was die Konstante des Flächensatzes betrifft, so be- 
trachten wir dieselbe gewöhnlich als zufallig. Sind wir 
gewiß, daß unsere fingierten Astronomen es ebenso 
machen würden? Wenn sie zwei verschiedene Sonnen- 
systeme miteinander hätten vergleichen können, so wür- 
den sie die Idee haben, daß dieser Konstanten ver- 
schiedene Werte zukommen können; aber ich habe 
gerade am Beginne dieser Betrachtung vorausgesetzt, daß 
ihnen ihr System als ein isoliertes erscheine, und daß 
sie keinen Stern beobachten können, der nicht dazu 
gehört. Unter diesen Bedingungen würden sie nur eine 
einzige Konstante wahrnehmen können, deren Wert ab- 



122 m, 7. Relative Bewegung. 

solut fest und unveränderlich wäre; sie würden ohne 
Zweifel dazu kommen , dieselbe für eine wesentliche 
Konstante zu halten. 

Um einem möglichen Einwurfe zu begegnen, schalte 
ich hier die folgende Bemerkung ein: Die Bewohner 
dieser fingierten Welt würden die Flächenkonstante weder 
so beobachten noch so definieren können, wie wir es 
tun, denn es fehlen ihnen dazu die absoluten Längen 
der Planeten; das würde sie aber nicht hindern, sehr 
bald zu bemerken, daß sich eine gewisse Konstante in 
ihre Gleichungen naturgemäß einführen läßt, und diese 
Konstante würde genau diejenige sein, die wir als die 
Konstante des Flächensatzes bezeichnen. 

Aber nun würden unsere Astronomen folgendermaßen 
weiterschließen: Wenn die Flächenkonstante als eine 
wesentliche (d. h. als bestimmt durch ein Naturgesetz) 
betrachtet wird, so genügt es, die Anfangswerte der 
Entfernungen der Planeten und die Anfangswerte der 
ersten Diflferentialquotienten dieser Entfernungen zu ken- 
nen, um daraus für irgend einen Zeitpunkt die Ent- 
fernungen zu berechnen. Unter diesem neuen Gesichts- 
punkte werden sich dann die Entfernungen wieder 
durch Differentialgleichungen zweiter Ordnung bestim- 
men lassen. 

Wird sich indessen damit der Verstand unserer fin- 
gierten Astronomen vollkommen zufiieden geben? Ich 
glaube es nicht; sie würden es bald bemerken, daß ihre 
Diflferentialgleichungen viel einfacher werden, wenn sie 
dieselben diflferentiieren und dadurch ihre Ordnung er- 
höhen. Vor allem aber würden sie über die Schwierig- 
keit betroflfen sein, welche in den Symmetrieverhältnissen 
liegt. Je nachdem die Gesamtheit der Planeten die 
Figur eines Polyeders oder des dazu symmetrischen 
Polyeders bilden, würden sie verschiedene Gesetze auf- 
stellen müssen, und sie würden sich dieser Folgerung 



Ordnung der Differentialgleichaiigen. 12'X 

nicht dadurch entzi^ien können, daß sie die Flächen- 
konstante als eine zufällige betrachten. 

Ich habe ein sehr spezielles Beispiel gewählt, indem 
ich voraussetzte, daß unsere Astronomen sich durchaus 
nicht mit der irdischen Mechanik beschäftigten, und daß 
ihr Beobachtungsgebiet auf das Sonnensystem beschränkt 
sei, aber unsere Schlußfolgerungen sind auf alle analogen 
Fälle anwendbar. Unser Universum ist ausgedehnter als 
das ihrige, denn wir haben Fixsterne, aber es ist den- 
noch ebenfalls begrenzt, und deshalb könnten wir inbezug 
auf unser gesamtes Universum dieselben Überl^^gen 
anstellen und dieselben Schlüsse ziehen wie jene fingierten 
Astronomen inbezug auf ihr Sonnensystem. 

Wie man hieraus sieht, würde man endlich zu dem 
Schlüsse kommen, daß die zur Bestimmung der Entfer- 
nungen dienenden Di£ferentialgleichungen von höherer 
als der zweiten Ordnung sind. Weshalb sollte uns das 
befremden? Weshalb finden wir es ganz natürlich, daß 
die Folge der Erscheiaungen von den Anfangswerten 
der ersten Diflferentialquotienten abhängen, während wir 
zögern anzunehmen, daß sie von den Anfangswerten der 
zweiten Dififerentialquotienten abhängen können? Das 
kann nur eine Folge der Gewohnheiten unseres Verstandes 
sein, die durch das beständige Studium des verallgemei- 
nerten Trägheitsprinzips und seiner Folgerungen sich in 
uns entwickelt haben. 

Die Werte der gegenseitigen Entfernungen zu irgend 
einem Zeitpunkte hängen von ihren Anfangs werten ab, 
von den Anfangswerten ihrer ersten Differentialquotienten 
und von noch etwas anderem. Was ist dieses 
andere? 

Wenn man nicht zugibt, daß es einfach einer der 
zweiten Diflferentialquotienten sei, so hat man nur die 
Wahl zwischen zwei Hypothesen. Entweder muß man 
annehmen (wie man es gewöhnlich tut), daß dieses 



124 ^^' ^* -^^^S^^ ^^^ Thennod3mainik. 

andere durch die absolute Orientierung des Universums 
im Räume gegeben ist und durch die Schnelligkeit, mit 
welcher diese Orientierung sich ändert; das kann rich- 
tig sein, jedenfalls ist es für den Mathematiker die be- 
quemste Lösung; sie ist aber nicht die befriedigendste 
für den Philosophen, denn eine solche absolute Orien- 
tierung gibt es nicht. 

Oder man muß annehmen, daß dieses andere durch 
die Stellung und die Geschwindigkeit irgend eines un- 
sichtbaren Körpers gegeben ist; zu dieser Annahme haben 
sich manche bereits entschlossen; sie haben diesem Kör- 
per sogar den Namen Alpha beigelegt, obgleich wir dazu 
bestimmt sind, von diesem Körper in aller Zukunft nie- 
mals mehr als seinen Namen zu wissen. Dieser Kunst- 
griff ist ganz analog demjenigen, von welchem ich am 
Schlüsse meiner Betrachtungen über das Tr%heitsprinzip 
gesprochen habe. 

Aber auch die Schwierigkeit im ganzen ist eine künst- 
liche. Wenn nur die künftigen Ablesungen unserer In- 
strumente allein von den Ablesungen abhängen können, 
welche wir früher gemacht haben oder welche wir in 
Zukunft machen werden, so brauchen wir nichts weiter 
(vgl. S. 79). Und inbezug hierauf können wir beruhigt sein. 



Achtes Kapitel. 

Energie und Thermodynamik. 

Das energetische System. — Die Schwierigkeiten, 
welche der klassischen Mechanik anhaften, haben manche 
dazu geführt ein neues System zu bevorzugen, das sie 
das energetische System nennen. Das energetische 
System ist durch die Entdeckung des Prinzips von der 



Das energetische System. 125 

Erhaltung der Energie (welchem Helmholtz seine definitive 
Form gegeben hat) ermöglicht worden.^'') 

Zuerst müssen wir zwei Größen definieren, welche 
in dieser Theorie eine fundamentale Rolle spielen. Diese 
Größen sind: erstens die kinetische Energie oder 
lebendige Klraft, zweitens die potentielle Energie. 

Alle Veränderungen, welche die Körper in der Natur 
erleiden, werden durch die folgenden beiden erfahrungs- 
mäßigen Gesetze bestimmt: 

1. Die Summe der kinetischen und der potentiellen 
Energie ist konstant. Darin liegt das Prinzip von der 
Erhaltung der Energie. 

2. Wenn ein System von Körpern sich zur Zeit /^ 
in der Lage A und zur Zeit /^ in der Lage B befindet, 
so bewegt es sich immer von der ersten Lage zur zweiten 
auf einem solchen Wege, daß in dem Intervalle zwischen 
den Zeiten /^ und /^ der mittlere Wert der Differenz 
beider Arten von Energie möglichst klein ist. 

So lautet das Hamiltonsche Prinzip; dasselbe ist eine 
der Formen, unter denen man das Prinzip der kleinsten 
Wirkung aussprechen kann.^ 

Die energetische Theorie hat vor der klassischen 
Theorie folgende Vorzüge voraus: 

1. Sie ist weniger unvollständig, d. h. das Prinzip 
der Erhaltung der Energie und dasjenige Hamiltons 
lehren uns mehr als die fundamentalen Prinzipien der 
klassischen Theorie und schließen gewisse Bewegungen 
aus, welche die Natur nicht verwirklicht, die hingegen 
mit der klassischen Theorie vereinbar wären. 

2. Sie macht für uns die Annahme von Atomen 
überflüssig, während diese Annahme bei der klassischen 
Theorie kaum zu vermeiden ist. 

Aber sie erhebt ihrerseits neue Schwierigkeiten: 
Die Definitionen der beiden Arten von Energie würden 
fast ebenso große Schwierigkeiten bereiten wie diejenigen. 



120 ^I» S* Energie und Xhermodynamik. 

welche im ersten Systeme durch die Begriflfe von Kraft 
und Masse entstanden. Man kann sich dabei indessen 
leichter helfen, wenigstens in den einfachsten Fällen. 

Setzen wir ein isoliertes System voraus, das von 
einer gewissen Anzahl materieller Punkte gebildet wird; 
setzen wir weiter voraus, daß diese Punkte Kräften unter- 
worfen sind, welche nur von ihrer relativen Stellung und 
ihren gegenseitigen Entfernungen abhängen, von ihren 
Geschwindigkeiten aber unabhängig sind. Vermöge des 
Prinzips der Erhaltung der Energie müßte dann eine 
Kräftefunktion existieren. 

In diesem einfachen Falle ist die Aussage des Prin- 
zips von der Erhaltung der Energie von außerordent- 
licher Einfachheit. Eine bestimmte Größe, welche dem 
Experimente zugänglich ist, soll konstant bleiben. Diese 
Größe ist die Summe von zwei Gliedern; das erste 
hängt nur von der Stellung der materiellen Punkte ab 
und ist von ihren Geschwindigkeiten unabhängig; das 
zweite ist dem Quadrate dieser Geschwindigkeiten pro- 
portional. Diese Zerlegung läßt sich nur auf eine ein- 
zige Art machen. 

Das erste dieser Glieder, welches ich ^nennen will, 
soll die potentielle Energie sein; das zweite, welches 
ich T nennen will, soll die kinetische Energie sein.^^ 

Wenn T -^ U eine Konstante ist, so wird zwar das- 
selbe mit irgend einer Funktion von T -^ U der Fall 
sein: 

q>{T+ U)=^ konstant, 

aber diese Funktion q>(T -^ U) wird nicht die Summe 
von zwei Gliedern sein, deren eines unabhängig von den 
Geschwindigkeiten ist, deren anderes dem Quadrate 
dieser Geschwindigkeiten proportional ist. Unter den 
Funktionen, welche konstant bleiben, gibt es nur eine, 
welche diese Eigenschaft besitzt; diese ist 7* + ^ (oder 



Definition der Energie. 127 

eine lineare Funktion von T -{- U^ was auf dasselbe 
hinauskommt, denn diese lineare Funktion kann immer 
durch eine Änderung der Maßeinheit und des Anfangs- 
punktes auf die Funktion T -\- U zurückgeführt werden). 
Das also nennen wir Energie; das erste Glied wollen 
wir potentielle Energie nennen und das zweite soll die 
kinetische Energie heißen. Die Definition der beiden 
Arten von Energie kann ohne jede Mehrdeutigkeit in 
allen Fällen durchgeführt werden. 

Dasselbe ist mit der Definition der Massen der Fall. 
Die kinetische Energie oder lebendige Kraft drückt sich 
sehr einfach mit Hilfe der Massen und relativen Ge- 
schwindigkeiten aller materiellen Punkte aus, wenn diese 
Geschwindigkeiten auf einen dieser Punkte bezogen 
werden. Diese relativen Geschwindigkeiten sind der 
Beobachtung zugänglich und, wenn wir den Ausdruck 
der kinetischen Energie in Funktion dieser relativen 
Geschwindigkeiten kennen, so geben uns die Koeffizienten 
dieses Ausdrucks die Massen. 

So kann man in diesem einfachen Falle die fun- 
damentalen Begriffe ohne Schwierigkeit definieren. Aber 
die Schwierigkeiten tauchen in den komplizierteren Fällen 
wieder auf, z. B. wenn die Klräfte, anstatt nur von Ent- 
fernungen abzuhängen, auch von Geschwindigkeiten ab- 
hängen. Weber setzt z. B. voraus, daß die gegenseitige 
Einwirkung von zwei elektrischen Molekülen nicht nur 
von ihrer Entfernung abhängt, sondern von ihrer Ent- 
fernung und von ihrer Geschwindigkeit. Wenn die 
materiellen Punkte sich einem analogen Gesetze gemäß 
anzögen, so würde U von der Geschwindigkeit abhängen 
und könnte ein dem Quadrate der Geschwindigkeit 
proportionales Glied enthalten.^) 

Wie kann man unter den Gliedern, welche den Qua- 
draten der Geschwindigkeiten proportional sind, die von 
T abstammenden und die von U abstammenden von- 



128 ^» S* Energie und Thermodynamik. 

einander unterscheiden? Und wie kann man folglich 
die beiden einzelnen Teile der Energie trennen? 

Aber noch mehr: wie kann man die Energie selbst 
definieren? Wir haben keinen Grund, T' + ^ als Defi- 
nition lieber anzunehmen, als irgend eine andere Funk- 
tion von T -\- ü^ wenn der Ausdruck T -^ U die für 
ihn charakteristische Eigenschaft verloren hat, die Sunune 
zweier Glieder bestimmter Form zu sein. 

Das ist nicht alles: man muß nicht nur die eigent- 
liche mechanische Energie berücksichtigen, sondern auch 
die anderen Formen der Energie, die Wärme, die che- 
mische Energie, die elektrische Energie u. s. w. Das 
Prinzip der Erhaltung der Energie ist: 

T+ U+ Ö = konst., 

wo T die wahrnehmbare kinetische Energie, ü die po- 
tentielle Energie der Stellung (welche nur von der Stel- 
lung der Körper abhängt) repräsentiert und Q die innere 
molekulare Energie, möge es sich dabei um Wärme, 
chemische Verwandtschaft oder Elektrizität handeln« 

Alles wäre in Ordnung, wenn diese drei Glieder 
absolut voneinander zu unterscheiden wären, wenn T 
dem Quadrate der Geschwindigkeiten proportional wäre, 
U von diesen Geschwindigkeiten und von dem Zustande 
der Körper unabhängig, Q unabhängig von den Ge- 
schwindigkeiten und Stellungen der Körper und allein 
abhängig von ihrem inneren Zustande. 

Der Ausdruck der Energie ließe sich dann nur auf 
eine einzige Art in drei Glieder der verlangten Form 
verlegen. 

Das geht jedoch nicht; betrachten wir elektrisierte 
Körper: die elektrostatische, durch ihre gegenseitige Ein- 
wirkung entstandene Energie wird offenbar von ihrer 
Ladung, d. h. von ihrem Zustande abhängen; aber sie 
wird gleichzeitig von ihrer Lage abhängen. Wenn diese 



Erhaltung der Energie. I2Q 

Körper in Bewegung sind, so werden sie aufeinander 
elektrodjoiainisch einwirken, und die elektrodynamische 
Energie wird nicht nur von ihrem Zustande und ihrer 
Lage, sondern auch von ihren Geschwindigkeiten ab- 
hängen. 

Wir haben also kein Mittel mehr, um zwischen den 
Gliedern, welche zu T^ zu ^ und zu Q einen Beitrag 
liefern sollen, eine Auswahl zu treffen und die drei Teile 
der Energie zu trennen. 

Wenn (T -\- U -\- Q) konstant ist, so wird dasselbe 
mit irgend einer Funktion von T -\- U-\- Q der Fall sein: 

tp{T+' U+ Ö) = konst. 

Wenn T -\- U -^ Q die besondere Form hätte, welche 
ich weiter oben ins Auge faßte, so würde daraus keine 
Mehrdeutigkeit hervorgehen; unter den Funktionen 

,p{T-\-U-{-Q), 

welche konstant bleiben, wäre nur eine von dieser be- 
sonderen Form, und wir wollen uns dahin einigen, diese 
eine Funktion als Energie zu bezeichnen. 

Ich habe bereits gesagt, daß es streng genommen 
nicht so ist; unter den Funktionen, welche konstant 
bleiben, gibt es keine solchen, welche sich streng dieser 
besonderen Form fügen; wie soll man dann aber unter 
ihnen diejenige auswählen, welche Energie genannt 
werden soll? Wir haben keinen Anhaltspunkt mehr, der 
uns bei dieser Auswahl leiten könnte. 

Es bleibt uns nur noch ein Ausdruck für das Prinzip 
der Erhaltung der Energie übrig: es gibt ein Etwas, 
das konstant bleibt. Unter dieser Form entzieht es 
sich wieder dem Bereiche der Erfahrung und reduziert 
sich auf eine Art Tautologie. Es ist klar, daß, wenn 
die Welt von Gesetzen regiert wird, es offenbar Größen 
^eben muß, welche konstant bleiben. Wie die Prinzipien 

Poincare, Wissenschaft und Hypothese. 9 



I 20 ni, 8. Energie und Thermodjrnamik. 

Newtons (und aus einem analogen Grunde, vgl. S. 98 f.) 
würde das Prinzip von der Erhaltung der Energie, das 
doch durch die Erfahrung begründet ist, durch diese 
niemals entkräftet werden können. 

Diese Erörterung beweist, daß es einen Fortschritt 
bedeutet, wenn man vom klassischen Systeme zum ener- 
getischen Systeme übergeht; aber sie beweist zu gleicher 
Zeit, daß dieser Fortschritt ungenügend ist. 

Ein anderer Einwurf scheint mir noch gewichtiger: 
das Prinzip der kleinsten Wirkung ist auf umkehrbare 
Naturerscheinungen anwendbar, aber es ist keineswegs 
befriedigend in seiner Anwendung auf nicht umkehrbare 
Vorgänge; der Versuch von Helmholtz, es auf diese Art 
von Erscheinungen auszudehnen, ist nicht gelungen und 
kann nicht gelingen: in dieser Beziehung bleibt noch 
alles zu tun übrig.*^) 

Der Inhalt des Prinzips der kleinsten Wirkung hat 
an sich für den Verstand etwas Befremdliches, Um sich 
von einem Punkte zu einem anderen zu begeben, wird 
ein materielles Molekül, welches der Einwirkung jeder 
Kraft entzogen ist, aber daran gebunden ist, sich auf 
einer Oberfläche zu bewegen, die geodätische Linie be« 
schreiben, d. h. den kürzesten Weg. 

Dieses Molekül scheint den Punkt zu kennen, zu 
dem man es hinfahren will; es scheint die Zeit voraus- 
zusehen, welche es braucht, um ihn zu erreichen; indem 
es diesen und jenen Weg verfolgt und darauf den pas- 
sendsten Weg wählt. Die Aussage des Prinzips stellt 
es uns sozusagen als ein lebendiges und freies Wesen 
dar. Es ist klar, daß man sie durch eine weniger be- 
fremdende Aussage ersetzen müßte, bei welcher der 
Schein vermieden wird, als ob, wie die Philosophen 
sagen, die Endziele an Stelle der wirkenden Ursachea 
gesetzt sind. 



Das Mayersclie Prinzip. I^i 

Thermodynamik.*) — Die Rolle der beiden funda- 
mentalen Prinzipien der Thermodynamik wird in allen 
Zweigen der Naturphilosophie von Tag zu Tag wichtiger. 
Indem wir die ehrgeizigen, mit molekularen Hypothesen 
überladenen Theorien aufgeben, welche man vor vierzig 
Jahren hatte, versuchen wir heute allein auf der Thermo- 
d3mamik das ganze Gebäude der mathematischen Physik 
zu errichten. Würden die beiden Prinzipien von Mayer 
und von Clausius^^ diesem Gebäude genügend solide 
Grundmauern sichern, damit es sich einige Zeit halten 
kann? Niemand zweifelt daran; aber woher kommt 
uns dieses Vertrauen? 

Ein berühmter Physiker sagte mir eines Tages inbezug 
auf das Fehlergesetz: „Jedermann glaubt fest daran, weil 
die Mathematiker sich einbilden, daß es eine Beob- 
achtungstatsache sei, und die Beobachter glauben, daß 
es ein mathematischer Lehrsatz sei." So war es auch 
lange mit dem Prinzipe von der Erhaltung der Energie. 
Heute ist es nicht mehr so; niemand bezweifelt, daß 
dies eine experimentelle Tatsache ist. 

Aber wer gibt uns dann das Recht, dem Prinzipe 
selbst eine größere Allgemeinheit und größere Genauig- 
keit beizulegen als den Experimenten, welche zum Be- 
weise desselben gedient haben? Das würde auf die 
Frage hinauskommen, ob es berechtigt ist, die Ergebnisse 
der Erfahrung so zu verallgemeinem, wie man es täg- 
lich tut; ich werde nicht so anmaßend sein diese Frage 
zu erörtern, nachdem so viele Philosophen sich vergeb- 
lich bemüht haben sie zu lösen. Eines ist gewiß: wenn 
diese Gabe zur Verallgemeinerung uns versagt wäre, so 
würde die Wissenschaft aufhören zu existieren, oder sie 
würde sich wenigstens darauf beschränken eine Art von 



*) Die folgenden Zeilen sind eine teilweise Reproduktion des 
Vorwortes zu meinem Werke Tbermodjmamique. 

Q* 



I 32 ni, 8. Energie und Thermodynamik. 

Inventar anzulegen, in dem vereinzelte Tatsachen ver- 
zeichnet werden, und sie würde damit für uns jeden 
Wert verlieren, denn sie könnte unser Bedürfnis nach 
Ordnung und Harmonie nicht befriedigen und sie würde 
zugleich unfähig sein. Zukünftiges vorauszubestimmen. 
Da die Umstände, unter welchen irgend eine Tatsache 
eintritt, sich wahrscheinlich niemals gleichzeitig wieder- 
holen werden, so ist schon eine erste Verallgemeinerung 
notwendig, um vorauszusehen, ob diese Tatsache sich 
noch wiederholen wird, wenn in den genannten Um- 
ständen auch nur die geringste Änderung eintritt. 

Aber jeder Satz kann auf unendlich viele Arten ver- 
allgemeinert werden. Unter allen möglichen Verallge- 
meinerungen müssen wir eine Auswahl treffen, und da 
können wir nur die einfachste Verallgemeinerung wählen. 
Dadurch wird es verständlich, daß wir so handeln, als 
ob ein einfaches Gesetz unter übrigens gleichen Um- 
ständen mehr Wahrscheinlichkeit für sich habe wie ein 
kompliziertes Gesetz.^^ 

Vor einem halben Jahrhundert bekannte man sich 
offen zu dem Satze, daß die Natur die Einfachheit liebt; 
aber seitdem haben wir zu viele entgegenstehende Er- 
fahrungen gemacht. Heute erkennt man diesen Satz nicht 
mehr an, oder wenigstens nur insoweit, als er unvermeid- 
lich ist, wenn die Wissenschaft möglich bleiben solL 

Wenn wir, auf Grund einer verhältnismäßig geringen 
Anzahl von Experimenten, die auch unter sich nicht voll- 
kommen übereinstimmen, ein allgemeines, einfaches und 
genaues Gesetz formulieren, so gehorchen wir dabei einer 
inneren Notwendigkeit, der sich der menschliche Ver- 
stand nicht entziehen kann. 

Aber es handelt sich um noch mehr, und deshalb 
verweile ich bei dieser Frage. 

Niemand bezweifelt, daß das Mayersche Prinzip dazu 
berufen ist, alle besonderen Gesetze, aus denen man es 



Einfachlieit des Prinzips. 1 1^ 

abgeleitet hat, ebenso zu überleben, wie das Newtons che 
Gesetz die Kepplerschen Sätze überlebt hat, aus denen 
es hervorgegangen war, und welche nur annähernd richtig 
sind, sobald man die Störungen berücksichtigt. 

Weshalb nimmt nun dieses Prinzip eine so bevor- 
zugte Stellung unter allen physikalischen Gesetzen ein? 
Dafür gibt es viele kleine Ursachen. 

Vor allem glaubt man, daß wir es nicht verwerfen 
oder auch nur seine absolute Strenge anzweifeln können, 
ohne die Möglichkeit des perpetuum mobile zuzulassen; 
die Aussicht auf eine solche Folgerung macht uns natür- 
lich mißtrauisch, und so glauben wir weniger kühn zu 
handeln, wenn wir das Prinzip annehmen, als wenn wir 
es leugnen. 

Vielleicht ist diese Vorstellung nicht ganz richtig; denn 
nur für die umkehrbaren Prozesse zieht die Unmöglich- 
keit des perpetuum mobile das Prinzip von der Erhaltung 
der Energie nach sich. 

Die überraschende Einfachheit des Mayerschen Prin- 
zips trägt ebenfalls dazu bei, uns im Glauben an das- 
selbe zu bestärken. Bei einem Gesetze, das unmittelbar 
aus der Erfahrung abgeleitet wird, z. B. beim Mariotte- 
schen Gesetze, würde solche Einfachheit uns eher Grund 
zum Mißtrauen geben : aber hier ist es anders ; Elemente, 
die auf den ersten Blick scheinbar nichts miteinander 
zu tun haben, reihen sich vor unseren Augen in uner- 
warteter Ordnung aneinander und bilden ein harmoni- 
sches Ganzes; und wir können unmöglich glauben, daß 
diese unvorhergesehene Harmonie nur durch ein Spiel 
des Zufalls zu stände komme. Unsere Errungenschaft 
scheint uns um so wertvoller und lieber zu sein, je mehr 
Anstrengungen sie uns gekostet hat, und es scheint uns 
um so sicherer, daß wir der Natur ihr wahres Geheimnis 
entrissen haben, je eifersüchtiger dieselbe bemüht war, 
es uns zu verbergen. 



I j^ m, 8. Energie und Thermodynamik. 

Aber das sind nur die kleinen Ursachen; um das 
Mayersche Gesetz zu einem absoluten Prinzipe zu eriieben, 
bedarf es einer tiefergehenden Erörterung. Aber wenn 
man versucht eine solche vorzunehmen, so bemerkt man, 
daß dieses absolute Prinzip nicht leicht auszusprechen ist. 

In jedem besonderen Falle sieht man wohl, was 
Energie ist, und man kann eine zum mindesten provi- 
sorische Definition derselben geben; aber es ist unmög- 
lich eine allgemeine Definition zu finden. 

Wenn man das Prinzip in seiner ganzen Allgemein- 
heit aussprechen und auf das Universum anwenden will, 
so sieht man es sozusagen sich verflüchtigen und es 
bleibt nichts zurück als der Satz: Es gibt ein Etwas, 
das konstant bleibt. 

Aber hat selbst dieser einen Sinn? Unter dem Namen 
der deterministischen H3rpothese fasse ich die folgenden 
Voraussetzungen zusammen: „Der Zustand des Universums 
ist durch eine außerordentlich große Zahl n von Para- 
metern bestimmt, welche ich x^, x^, . . ., Xn nennen wiD. 
Sobald man in irgend einem Augenblicke die Werte dieser 
n Parameter kennt, so kennt man gleichzeitig ihre Ab- 
leitungen inbezug auf die Zeit, und man kann folglich 
die Werte dieser selben Parameter für einen vorher- 
gehenden oder künftigen Zeitpunkt berechnen. Mit 
anderen Worten : Diese n Parameter genügen n Differential- 
gleichungen erster Ordnung." 

Diese Gleichungen lassen n — i Integrale zu und 
daraus ergeben sich n — i Funktionen von or^^ , oTj , . . . , x^, 
welche konstant bleiben. Wenn wir also sagen, daß es 
ein Etwas gibt, das konstant bleibt, so sprechen 
wir nur eine Tautologie aus. Man wird sogar in Ver- 
legenheit sein zu sagen, welches unter allen unseren 
Integralen den Namen Energie erhalten soU.^) 

Übrigens versteht man das Mayersche Prinzip nicht 



■Das Prinzip für begrenzte Systeme. i^e 

in diesem Sinne, wenn man es auf ein begrenztes System 
anwendet. 

Man läßt dann zu, daß / von unseren n Parametern 
unabhängig von den anderen variieren, so daß wir nur 
n — / (im allgemeinen lineare) Relationen zwischen unseren 
n Parametern und ihren Diflferentialquotienten haben. 

Setzen wir, um die Aussage zu vereinfachen, voraus, 
daß die Sunmie der Arbeit der äußeren Kräfte gleich 
Null sei, und daß ebenso die Summe der Wärmemengen, 
welche nach außen abgegeben werden verschwinde. 
Dann wird die Bedeutung unseres Prinzips folgende 
sein: 

Man kann aus unseren n — / Relationen eine 
neue Gleichung ableiten, deren linke Seite ein 
exaktes Differential ist, während die rechte Seite 
infolge unserer n — / Relationen gleich Null ist. 
Das Integral dieses Differentials ist eine Konstante und 
dieses Integral nennt man Energie. 

Aber wie kann es möglich sein, daß es mehrere 
Parameter gibt, die selbständig variieren? Das kann nur 
unter dem Einflüsse der äußeren Kräfte stattfinden (ob- 
gleich wir zur Vereinfachung voraussetzten, daß die 
algebraische Summe der Arbeiten dieser Kräfte gleich 
Null sei). Wenn das System in der Tat jeder äußeren 
Einwirkung völlig entzogen ist, so würden die Werte 
unserer n Parameter in einem gegebenen Augenblicke 
genügen, um den Zustand des Systems in irgend einem 
künftigen Augenblicke zu bestimmen, vorausgesetzt, daß 
wir in der deterministischen Hypothese verbleiben; wir 
würden also auf dieselbe Schwierigkeit, wie vorhin, 
stoßen. 

Wenn der Zustand des Systems durch seinen gegen- 
wärtigen Zustand nicht vollkommen bestinmit ist, so liegt 
dies daran, daß er außerdem vom Zustande der Körper 
abhängt, die dem Systeme fremd sind. Aber ist es dann 



1^5 in, 8. Energie und Thermodynamik. 

wahrscheinlich, daß es zwischen den Parametern x, welche 
den Zustand des Systems definieren, Gleichungen gibt, 
die unabhängig von diesem Zustande der firemden Körper 
sind? und wenn wir in gewissen Fällen glauben, solche 
finden zu können, beruht dieser Glaube dann nicht nur 
auf unserer Unwissenheit und auf der Tatsache, daß der 
Einfluß dieser Körper zu schwach ist, um sich unseren 
Beobachtungen bemerkbar zu machen? 

Wenn das System nicht als vollkonmien isoliert be- 
trachtet wird, so ist es wahrscheinlich, daß der streng 
exakte Ausdruck f&r seine innere Energie vom Zustande 
der außerhalb stehenden Körper abhängt Ich habe 
weiter oben vorausgesetzt, daß die Sunmie der äußeren 
Arbeiten gleich Null ist, und wenn man sich von dieser 
etwas künstlichen Einschränkung befireien will, so wird 
es noch schwieriger, das Prinzig auszusprechen. 

Um das Mayersche Prinzip in absolutem Sinne zu 
formulieren, muß man es auf das ganze Universum aus- 
dehnen, und dann wieder findet man sich dieser sel- 
ben Schwierigkeit gegenüber, welche man zu vermeiden 
suchte. 

Alles zusammengefaßt und nicht mathematisch aus- 
gedrückt, kann das Gesetz von der Erhaltung der Energie 
nur eine Bedeutung haben, nämlich die, daß es eine 
allen Möglichkeiten gemeinsame Eigenschaft gibt; aber 
in der deterministischen Hypothese gibt es nur eine 
Möglichkeit» und dann hat das Gesetz keine Bedeu- 
tung mehr. 

In der indeterministischen Hypothese würde es im 
Gegenteil eine Bedeutung erhalten, sogar wenn man es 
in absolutem Sinne verstehen wollte; das Gesetz würde 
dann als eine unserer Freiheit gezogene Grenze er- 
scheinen. 

Aber dieses Wort erinnert mich daran, daß ich zu 
weit gehe und daß ich im Begriffe bin, das mathematische 



Das Clausiussclie Prinzip. i^y 

und das physikalische Gebiet zu verlassen. Ich stehe 
davon ab und will von dieser ganzen Erörterung nur 
das eine betonen, nämlich, daß das Majersche Gesetz 
uns ein hinreichend dehnbares Gefäß darstellt, um in 
dasselbe alles Mögliche hineinzubringen. Ich will damit 
nicht sagen, daß das Gesetz weder irgend einer objek- 
tiven Wirklichkeit entspricht, noch daß es sich auf eine 
einfache Tautologie zurückfuhren läßt, denn es 'hat in 
jedem besonderen Falle, und vorausgesetzt, daß man 
nicht bis zum Absoluten gewaltsam vorgeht, einen voll- 
kommen klaren Sinn. 

Diese Dehnbarkeit veranlaßt uns an eine lange Dauer 
des Gesetzes zu glauben und da dasselbe andererseits 
nur verschwinden wird, um sich in eine höhere Har- 
monie aufzulösen, so können wir mit Vertrauen weiter 
arbeiten, indem wir uns auf dies Gesetz stützen ; und 
wir sind im voraus gewiß, daß unsere Arbeit keine ver- 
lorene sein wird. 

Fast alles, was ich soeben sagte, paßt auch auf da§ 
Clausiussche Prinzip; der Unterschied ist, daß letzteres 
sich durch eine Ungleichheit ausdrückt. Man wird viel- 
leicht behaupten, daß dieses in allen physikalischen Ge- 
setzen der Fall ist, weil ihre Genauigkeit immer durch 
Beobachtungsfehler beschränkt ist. Aber die physikali- 
schen Gesetze beanspruchen wenigstens erste Annähe- 
rungen darzustellen, und man hat die Hoffnung, sie 
nach und nach durch genauere Gesetze zu ersetzen. 
Wenn im Gegenteil das Clausiussche Prinzip sich durch 
eine Ungleichheit ausdrückt, so ist nicht die UnvoU- 
kommenheit unserer Beobachtungsmittel daran schuld, son- 
dern die Natur der Frage selbst. 



I 33 ni, 8. Energie und Thermodjmamik. 



Allgemeine Übersicht des dritten Teiles. 

Die Prinzipien der Mechanik stellen sich uns unter 
zwei verschiedenen Gesichtspunkten dar.. Einesteils haben 
wir auf Erfahrungen begründete Wahrheiten, die in sehr 
angenäherter Weise verifiziert sind, wenigstens soweit es 
sich um nahezu isolierte Systeme handelt. Anderenteils 
haben wir Postulate, welche auf die Gesamtheit des Uni- 
versums anwendbar sind und als streng richtig betrachtet 
werden. 

Wenn diese Postulate eine Allgemeinheit und eine 
Zuverlässigkeit besitzen, welche den experimentellen Wahr- 
heiten abgeht, aus denen man sie ableitete, so liegt dies 
darin, daß sie sich in letzter Instanz auf ein einfaches 
Übereinkommen reduzieren, welches wir mit Recht ein- 
gehen, da wir im voraus wissen, daß keine Erfahrung 
ihm widersprechen kann. 

Dieses Übereinkommen ist jedoch nicht absolut will- 
kürlich; es entspringt nicht unserer Laune; wir nehmen 
es an, weil gewisse Experimente uns bewiesen haben, 
daß es bequem ist. 

Man erklärt sich so, wie das Experiment die Prin- 
zipien der Mechanik aufbauen konnte und warum es sie 
niemals umstoßen kann. 

Wir wollen einen Vergleich mit der Geometrie ziehen. 
Die fundamentalen Sätze der Geometrie, wie z. B. das 
Euklidische Postulat, sind nichts anderes als Überein- 
kommen, und es ist ebenso unvernünftig zu untersuchen, 
ob sie richtig oder falsch sind, wie es unvernünftig wäre 
zu fragen, ob das metrische System richtig oder falsch 
ist (vgl. S. 51 f.). 

Diese Übereinkommen sind jedoch bequem, und das 
lehren uns bestimmte Erfahrungen. 

Auf den ersten Blick ist die Analogie vollständig; 



Greometrie und Meclianik. 



139 



die Rolle der Erfahrung scheint dieselbe zu sein. Man 
wird demnach versucht zu sagen: Entweder wird die 
Mechanik als eine experimentelle Wissenschaft angesehen, 
und dann muß dasselbe für die Geometrie gelten, oder 
die Geometrie ist im Gegensatze dazu eine deduktive 
Wissenschaft, und dann muß dasselbe für die Mechanik 
gelten. 

Eine solche Schlußfolgerung würde unberechtigt sein. 
Die Erfahrungen, welche uns dazu führten, die funda- 
mentalen Übereinkommen der Geometrie als bequemer 
anzunehmen, beziehen sich auf Gegenstände, welche mit 
denjenigen, die der Mathematiker studiert, nichts ge- 
meinsam haben; sie beziehen sich auf Eigenschaften der 
festen Körper, auf die geradlinige Fortpflanzung des 
Lichtes. Es sind mechanische und optische Experimente; 
man kann sie unter keinem Gesichtspunkte als geome- 
trische Experimente ansehen. Und der Hauptgrund, wes- 
halb unsere Geometrie uns bequem erscheint. Hegt darin, 
daß die verschiedenen Teile unseres Körpers, unser 
Auge, unsere Glieder, gewisse Eigenschaften fester Kör- 
per besitzen. So angesehen sind unsere fundamentalen 
Experimente vor allem physiologische Experimente, welche 
sich nicht auf den Raum als das vom Mathematiker 
studierte Objekt beziehen, sondern auf seinen Körper, 
d. h. auf das Werkzeug, dessen er sich zu diesem Stu- 
dium bedient. 

Im Gegensatze dazu beziehen sich die fundamentalen 
Übereinkommen der Mechanik und die Experimente, 
welche uns beweisen, daß sie bequem sind, entweder 
auf dieselben Gegenstände oder auf analoge Gegen- 
stände. Die nach Übereinkommen festgesetzten und all- 
gemeinen Prinzipien sind die natürliche und direkte Ver- 
allgemeinerung der experimentellen und besonderen Prin- 
zipien. 

Man sage mir nicht, daß ich damit künstliche Grenzen 



I^O I^f ^* Energie und Thennodynamik. 

zwischen den Wissenschaften ziehe; daß ich zwischen 
der experimentellen Mechanik und der gebräuchlichen 
Mechanik der allgemeinen Prinzipien eine Schranke er- 
richten könnte, wie ich die eigentliche Geometrie vom 
Studium der festen Körper durch eine Schranke getrennt 
habe. In der Tat, wer sieht nicht, daß ich beide Zweige 
der Mechanik verstümmele, indem ich sie voneinander 
trenne, daß von der allgemeinen Mechanik nur sehr 
wenig übrig bleibt, wenn sie isoliert wird, und daß dieses 
wenige keineswegs mit dem herrlichen Lehrgebäude, das 
man Geometrie nennt, verglichen werden kann? 

Man versteht jetzt, warum der Unterricht in der 
Mechanik experimentell bleiben muß. 

Nur so kann man die Genesis der Wissenschaft ver- 
stehen lernen, und das ist för das vollkommene Ver- 
ständnis der Wissenschaft selbst unerläßlich. 

Andererseits studiert man die Mechanik, um sie an- 
zuwenden, und man kann sie nur anwenden, wenn sie 
objektiv bleibt. Wie wir gesehen haben, verlieren die 
Prinzipien an Objektivität, was sie an Allgemeinheit und 
Zuverlässigkeit gewinnen. Man muß sich also hauptsäch- 
lich mit der objektiven Seite der Prinzipien rechtzeitig 
bekannt machen, und man kann dieses nur bewerkstel- 
ligen, wenn man vom Besonderen zum Allgemeinen schreitet, 
anstatt den umgekehrten Weg einzuschlagen. 

Die Prinzipien sind Übereinkommen und verkleidete 
Definitionen (vgl. S. 102 u. S. 112). Sie sind indessen 
von experimentellen Gesetzen abgeleitet, diese Gesetze 
sind sozusagen als Prinzipe hingestellt, denen unser Ver- 
stand absolute Gültigkeit beilegt. 

Manche Philosophen haben zu viel verallgemeinert; sie 
glaubten, die Prinzipien wären die ganze Wissenschaft, 
und hielten folglich die ganze Wissenschaft für konven- 
tionelL 



Prinzipe und Gesetze. 141 

Diese paradoxe Lehre, welche man den Nominalis- 
mus nennt, ist nicht stichhaltig. 

Wie kann aus einem Gesetze ein Prinzip werden? 
Es drückte eine Beziehung zwischen zwei realen Gliedern 
A und B aus. Aber es war nicht streng genommen 
richtig, es war nur annähernd richtig. Wir führen will- 
kürlich ein dazwischen liegendes Glied C, das mehr oder 
weniger fingiert ist, ein, und C ist durch Definition 
dasjenige Ding, welches zu A genau in der Beziehung 
steht, die in dem Gesetze annähernd zum Ausdrucke 
konmit. 

So hat sich unser Gesetz in ein absolutes und strenges 
Prinzip zerlegt, welches die Beziehung zwischen A zu C 
ausdrückt, und in ein experimentelles, annähernd rich- 
tiges Gesetz, welches der Verbesserung fähig ist und 
die Beziehung von C zu B ausdrückt. Es ist klar, daß 
immer Gesetze übrig bleiben, soweit man auch diese 
Zerlegung verfolgt. 

Wir gehen jetzt zu dem Gebiete der sogenannten 
eigentlichen Gesetze über. 



Vierter Teil 
Die Natur. 

Neuntes Kapitel. 

Die Hypothesen in der Physik. 

Die Rolle des Experimentes und der Verallge- 
meinerung. — Das Experiment ist die einzige Quelle 
der Wahrheit; dieses allein kann uns etwas Neues lehren; 
dieses allein kann uns Gewißheit geben. Das sind 
zwei Punkte, die durch nichts bestritten werden können. 

Wenn aber das Experiment alles ist, welcher Platz 
bleibt dann für die mathematische Physik übrig? Was 
hat die Experimental-Physik mit einem solchen Hilfs- 
mittel zu schaffen, das unnütz und wohl gar gefahrlich 
zu sein scheint? 

Und dennoch existiert die mathematische Physik; 
sie hat unleugbare Dienste geleistet; darin liegt eine 
Tatsache, die notwendigerweise erklärt werden muß. 

Es genügt nicht allein, zu beobachten, man muß 
seine Beobachtungen auch benutzen und zu diesem 
Zwecke verallgemeinem. Das hat man jederzeit getan; 
da jedoch die Erinnerung an die Fehler der Vergangen- 
heit den Menschen immer vorsichtiger machte, beobachtete 
man immer mehr und verallgemeinerte immer weniger. 

Jedes Jahrhundert machte sich über das vorhergehende 
lustig, indem es das letztere beschuldigte, zu schnell und 
zu unbefangen verallgemeinert zu haben. Descartes be- 
lächelte die lonier, wir lächeln über Descartes; ohne 
Zweifel werden unsere Söhne über uns lächeln. 



Experiment und Verallgemeinerung. 143 

Aber können wir nicht gleich bis ans Ziel gehen? 
Ist das nicht das Mittel, um diesen Spöttereien, die wir 
voraussehen, zu entgehen? Können wir uns nicht mit 
dem völlig nackten Experimente begnügen? 

Nein, das ist nicht möglich; das hieße den wahren 
Charakter der Wissenschaft völlig verkennen. Der Ge- 
lehrte soll anordnen; man stellt die Wissenschaft aus 
Tatsachen her, wie man ein Haus aus Steinen baut; 
aber eine Anhäufung von Tatsachen ist so wenig eine 
Wissenschaft, wie ein Steinhaufen ein Haus ist. 

Und vor allem: der Forscher soll voraussehen. 
Carlyle hat irgendwo folgendes geschrieben: „Nur die 
Tatsache hat Bedeutung; Johann ohne Land ist hier 
vorbeigegangen; das ist bemerkenswert, das ist eine 
tatsächliche Wahrheit, für die ich alle Theorien der 
Welt hergeben würde." Carlyle war ein Landsmann von 
Bacon; wie der letztere, so legte auch Carlyle Gewicht 
darauf, seinen Kultus „for the God of Things as they 
are". zu betonen; aber doch würde Bacon dergleichen 
nicht gesagt haben. Das ist die Sprache des Historikers. 
Der Physiker würde vielleicht sagen : „Johann ohne Land 
ist hier vorbeigegangen; das ist mir sehr gleichgültig, weil 
er nicht wieder vorbeikommt." 

Wir wissen, daß es gute und daß es schlechte Expe- 
rimente gibt. Die letzteren häufen sich nutzlos; wenn 
man hundert oder gar tausend solche macht, so würde 
doch die einzige Arbeit eines wirklichen Meisters, wie 
z. B. Pasteur, genügen, um sie der Vergessenheit anheim- 
fallen zu lassen. Bacon würde das wohl verstanden 
haben; er ist es, der das Wort experimentum crucis er- 
funden hat. Aber Carlyle hätte es nicht verstanden. 
Eine Tatsache ist eine Tatsache; ein Schüler hat eine 
gewisse Zahl an seinem Thermometer abgelesen, er 
braucht dazu keine Kenntnisse; aber gleichviel, er hat 
die Zahl abgelesen, und wenn es nur auf die Tatsache 



IAA TV, 9. Hypothesen der Physik. 

ankommt, so ist dies ebensogut eine tatsächliche Wahr- 
heit, wie das Vorbeipassieren des Königs Johann ohne 
Land. Was ist denn ein gutes Experiment? Es ist ein 
solches, welches uns etwas anderes als eine isolierte 
Tatsache erkennen läßt; es ist ein solches, welches uns 
voraussehen läßt, d. h. ein solches, welches uns erlaubt 
zu verallgemeinem. 

Denn ohne Verallgemeinerung ist das Voraussehen 
unmöglich. Die Umstände, unter welchen man operiert 
hat, werden sich niemals zugleich wieder einstellen. Die 
beobachtete Tatsache wird sich nicht noch einmal ab- 
spielen; das einzige, was man feststellen kann, ist, daß 
unter analogen Umständen eine analoge Tatsache ein- 
treten wird. Um vorauszusehen, muß man zum mindesten 
die Analogie zu Hilfe nehmen, und das heißt wiederum: 
verallgemeinem. 

So vorsichtig man auch sein mag, so muß man doch 
interpolieren; das Experiment gibt uns nur eine gewisse 
Anzahl von isolierten Punkten, man muß sie durch einen 
kontinuirlichen Linienzug verbinden, damit haben wir 
eine wirkliche Verallgemeinerung. Aber man geht weiter, 
die Kurve, welche man zieht, geht zwischen den beobach- 
teten Punkten durch und nahe bei diesen Punkten vor- 
bei; sie geht nicht durch diese Punkte selbst. Somit 
beschränkt man sich nicht darauf, das Experiment zu 
verallgemeinem, man verbessert es; und der Physiker, 
welcher sich dieser Verbesserungen enthalten und sich 
tatsächlich mit dem völlig nackten Experimente begnügen 
wollte, wäre gezwungen, ganz merkwürdige Gesetze aus- 
zusprechen. 

Die ganz nackten Tatsachen können uns also nicht 
genügen; dämm brauchen wir eine geordnete, oder viel- 
mehr organisierte Wissenschaft. 

Man sagt oft, daß man ohne vorgefaßte Meinung 
experimentieren soll. Das ist nicht möglich; nicht nur 



Verallgemeinening und Voraussage. jac 

würde dadurch jedes Experiment unfruchtbar gemacht, 
sondern man würde sich etwas vornehmen, das man 
nicht ausfuhren kann. Jeder trägt in sich seine Welt- 
anschauung, von der er sich nicht so leicht loslösen 
kann. Wir müssen uns z. B. der Sprache bedienen, und 
unsere Sprache ist von lauter vorgefaßten Meinungen 
durchdrungen, und es kann nicht anders sein. Es sind 
unbewußte vorgefaßte Meinungen, die tausendmal gefahr- 
licher als die anderen sind. 

Behaupten wir nun, daß wir das Übel nur ver- 
schlimmem, wenn wir andere vorgefaßte Meinungen mit 
vollem Bewußtsein zulassen? Ich glaube es nicht; ich 
meine vielmehr, daß dieselben sich gegenseitig das Gleich- 
gewicht halten werden, daß sie wie Gegengifte wirken; 
sie werden sich im allgemeinen schlecht miteinander 
vertragen; sie werden miteinander in Konflikt geraten 
und uns dadurch zwingen, die Dinge unter verschiedenen 
Gesichtspunkten zu betrachten. Das ist hinreichend, um 
uns frei zu machen; man ist kein Sklave mehr, wenn 
man sich seinen Herrn wählen kann. 

Dank der Verallgemeinerung läßt uns so jede be- 
obachtete Tatsache eine große Anzahl anderer voraus- 
sehen; nur dürfen wir nicht vergessen, daß die erste 
allein gewiß ist, die anderen alle nur wahrscheinlich 
sind. So fest auch eine Voraussage begründet erscheinen 
mag, so sind wir doch niemals absolut sicher, daß das 
Experiment sie auch bestätigen wird, wenn wir eine 
Prüfung vornehmen. Aber die Wahrscheinlichkeit ist 
oft so groß, daß wir uns in der Praxis mit ihr zufrieden 
geben können. Es ist besser, ohne absolute Gewißheit 
vorauszusagen als gar nichts vorauszusagen. 

Man darf daher niemals eine Prüfung von der Hand 
weisen, wenn sich Gelegenheit zu einer solchen bietet. 
Aber jedes Experiment ist langwierig und schwierig, die 
»wissenschaftlichen Arbeiter sind wenig zahlreich, und die 

Poincar6, Wissenschaft nnd Hjrpothese. IG 



1^6 r\r, 9. Hypothesen der Physik. 

Anzahl der Tatsachen, welche wir im voraus bestimmen 
sollen, ist ungeheuer groß; im Verhältnis zu dieser Menge 
wird die Anzahl der direkten Prüfungen, welche wir 
vornehmen können, immer verschwindend klein bleiben. 
Das wenige, was wir direkt erreichen können , müssen 
wir uns möglichst zu Nutze machen; jedes Experiment 
muß so eingerichtet sein, daß es uns erlaubt, die größt- 
mögliche Anzahl von Tatsachen mit dem höchstmöglichen 
Grade von Wahrscheinlichkeit vorauszusehen. Diese 
Aufgabe besteht sozusagen darin, den Nutzeffekt der 
wissenschaftlichen Maschine möglichst zu vermehren. 

Man gestatte mir, die Wissenschaft mit einer Bibliothek 
zu vergleichen, welche unaufhörlich wachsen soll; der 
Bibliothekar verfügt für seine Ankäufe nur über unge- 
nügende Mittel; er muß sich bemühen, dieselben nicht 
zu vergeuden. 

Die Experimental-Physik spielt die Rolle des Biblio- 
thekars; sie ist mit den Ankäufen beauftragt; sie allein 
kann also die Bibliothek bereichem. 

Was die mathematische Physik betrifft, so hat sie 
die Mission, den Katalog herzustellen. Wenn dieser 
Katalog gut gemacht ist, so wird die Bibliothek deshalb 
nicht reicher; aber der Katalog ist für den Leser not- 
wendig, um sich die Reichtümer der Bibliothek zu Nutze 
zu machen. 

Indem der Katalog femer den Bibliothekar auf die 
Lücken seiner Sammlungen aufmerksam macht, setzt er 
ihn in den Stand, von seinen Mitteln einen vernünftigen 
Gebrauch zu machen; und das ist um so wichtiger, als 
diese Mittel gänzlich ungenügend sind. 

Das ist also die Rolle der mathematischen Physik 
sie muß die Verallgemeinerang in dem Sinne leiten daß 
sie, wie ich mich soeben ausdrückte, den Nutzeffekt der 
Wissenschaft vermehrt. Durch welche Mittel ihr dies 



Einheit und Einüächlieit der Natur. iaj 

gelingt und wie sie es ohne Schaden durchführen kann, 
haben wir noch näher zu prüfen. 

Die Einheit der Natur. — Vor allem müssen wir 
beachten, daß jede Verallgemeinerung bis zu einem ge- 
wissen Grade den Glauben an die Einheit und die Ein- 
fachheit der Natur voraussetzt. In Betreff der Einheit 
ist keine Schwierigkeit vorhanden. Wenn die verschiede- 
nen Teile des Universums sich nicht wie die Organe 
eines und desselben Körpers verhielten, so könnten sie 
nicht aufeinander wirken, sie würden sich gegenseitig 
nicht kennen, und wir insbesondere, wir würden nur 
eines dieser Organe kennen. Wir brauchen deshalb 
nicht weiter zu fragen, ob die Natur einheitlich ist, son- 
dern nur, wie diese Einheit zu stände kommt. 

Was den zweiten Punkt angeht, so ist die Sache 
nicht ebenso leicht. £s ist nicht sicher, daß die Natur 
einfach ist. Können wir ohne Gefahr für uns handeln, 
als ob sie einfach wäre? 

Es gab eine Zeit, in der die Einfachheit des Gesetzes 
von Mario tte ein oft zu Gunsten der Genauigkeit dieses 
Gesetzes angerufenes Argument war, eine Zeit, in der 
Fresnel selbst, nachdem er in einer Unterredung mit 
Laplace geäußert hatte, daß die Natur sich aus analy- 
tischen Schwierigkeiten nichts mache, sich verpflichtet 
fühlte, Erklärungen zu geben, um die herrschende An- 
schauung nicht zu sehr zu verletzen. 

Heute haben sich die Meinungen darüber sehr ge- 
ändert; und dennoch sind diejenigen, welche nicht daran 
glauben, daß die natürlichen Gesetze einfach sein müssen, 
genötigt, sich wenigstens so zu stellen, als ob sie es 
glaubten. Sie können sich dieser Notwendigkeit nicht 
ganz entziehen, ohne jede Verallgemeinerung als un- 
möglich und folglich auch jede Wissenschaft als unmög- 
lich hinzustellen. 

Es ist klar, daß eine Tatsache, welche es auch immer 

IG* 



IaS IV, 9. Hypothesen der Physik. 

«ein mag, auf unendlich viele Arten verallgemeinert 
werden kann, und es handelt sich darum, zu wählen; 
■die Wahl kann nur durch Betrachtungen über die Ein- 
fachheit geleitet werden. Nehmen wir den allergewöhn- 
lichsten Fall, den der Interpolation. Die Punkte, welche 
unsere Beobachtungen darstellen, verbinden wir durch 
eine kontinuierliche, möglichst regelmäßige Linie. Warum 
vermeiden wir dabei scharfe Ecken und zu plötzliche 
Wendungen? Weshalb lassen wir nicht die Kurve nach 
freier Laune Zickzacklinien beschreiben? Wir tun es 
nicht, weil wir im voraus wissen, oder zu wissen glauben, 
daß das auszudrückende Gesetz nicht so kompliziert sein 
kann, um dergleichen zu rechtfertigen. 

Man kann die Masse des Jupiter entweder aus den 
Bewegungen seiner Trabanten berechnen oder aus den 
Störungen der großen Planeten oder aus denjenigen der 
kleinen Planeten. Wenn man das Mittel aus den Resul- 
taten dieser drei Methoden nimmt, so findet man drei 
sehr benachbarte, aber doch verschiedene Zahlen. Man 
könnte dieses Resultat erklären, indem man voraussetzt, 
'daß der Koeffizient der Schwerkraft in den drei Fällen 
nicht derselbe ist; die Beobachtimgen wären dadurch 
^el besser dargestellt. Warum verwerfen wir diese Inter- 
pretation? Wir tun es, nicht, weil sie töricht ist, son- 
dern weil sie unnütz kompliziert ist. Man wird sie nur 
dann annehmen, wenn sie sich uns aufzwingt, und sie 
zwingt sich uns bis jetzt noch nicht auf. 

Alles zusammengefaßt, wird meist jedes Gesetz für 
■einfach gehalten, bis das Gegenteil bewiesen ist. 

Diese Gewohnheit drängt sich den Physikern aus 
Gründen auf, welche ich soeben erklärt habe; aber wie 
soll man diese Gewohnheit rechtfertigen im Hinblick auf 
Entdeckungen, welche uns täglich neue, immer reichere 
und immer zusammengesetztere Einzelheiten zeigen? Wie 
soll man sie sogar mit der Empfindung von der Einheit 



Scheinbare Einüächheit. jAg 

in der Natur vereinbaren? Denn wenn alles von ein- 
ander abhängt, können Beziehungen, an denen so viele 
Objekte teilnehmen, nicht einfacher Natur sein. 

Wenn wir die Geschichte der Wissenschaft studieren, 
treten zwei Erscheinungen auf, welche sozusagen ein- 
ander entgegengesetzt sind: bald versteckt sich die Ein- 
fachheit unter komplizierten Erscheinungen, bald ist im 
Gegensatze dazu die Einfachheit sichtbar und verbirgt 
außerordentlich komplizierte wirkliche Vorgänge. 

Was gibt es Komplizierteres als die gestörten Be- 
wegungen der Planeten, und was gibt es Einfacheres als 
das Newtonsche Gesetz? Hier verhöhnt die Natur, wie 
Fresnel sagt, unsere analytischen Schwierigkeiten, wendet 
nur einfache Mittel an und erzeugt durch ihre Ver- 
bindung, ich weiß nicht, welch' ein unlösliches Gewirre. 
Hier ist die Einfachheit versteckt und wir müssen sie 
entdecken. 

Die Beispiele des Gegenteils sind im Überfluße vor- 
handen. In der kinetischen Theorie der Gase faßt man 
Moleküle, die mit großen Geschwindigkeiten begabt sind, 
ins Auge, deren Bahnen durch unaufhörliche Stöße ver- 
ändert, die seltsamsten Gestalten zeigen und den Raum 
nach allen Richtungen hin durchschneiden. Das Be- 
obachtungsresultat ist das einfache Gesetz von Mariotte; 
jede einzelne Tatsache war kompliziert; das Gesetz der 
großen Zahlen hat die Einfachheit im Durchschnitte 
wiederhergestellt. Hier ist die Einfachheit nur schein- 
bar, und die grobe Beschaffenheit unserer Sinne verhindert 
uns, die Kompliziertheit zu bemerken.^^) 

Viele Erscheinungen gehorchen einem Gesetze der 
Proportionalität; warum tun sie dieses? Weil es in 
diesen Erscheinungen ein Etwas gibt, das sehr klein 
ist. Das einfache Erfahrungsgesetz ist dann nichts anderes 
als eine Übertragung dieser allgemeinen analytischen 
Regel, nach welcher das unendlich kleine Anwachsen 



jcQ IV, 9. Hypothesen der Physik. 

einer Funktion dem unendlich kleinen Anwachsen der 
Variabein proportional ist. Da in Wirklichkeit diese 
Zunahme nicht unendlich klein, sondern sehr klein ist, so 
ist das Gesetz der Proportionalität nur annähernd und 
die Einfachheit nur scheinbar. Was ich soeben aus- 
spreche, betrifft die Regel der Superposition kleiner Be- 
wegungen, deren Anwendung so fruchtbringend ist und 
welche die Grundlage der Optik bildet.**) 

Und wie steht es mit dem Newtonschen Gesetze 
selbst? Seine so lang verborgene Einfachheit ist vielleicht 
nur scheinbar. Wer kann wissen, ob sie nicht aus irgend 
einem komplizierten Mechanismus entsteht, aus dem Stoße 
irgend einer feinen, unregelmäßig bewegten Materie, und 
ob sie nicht nur durch das Spiel der Mittelwerte und 
großen Zahlen einfach wurde. Auf jeden Fall ist es 
schwierig, nicht vorauszusetzen, daß das wirkliche Gesetz 
ergänzende Glieder enthält, welche für kleine Entfernungen 
merkbar werden könnten. Wenn diese weiteren Glieder 
gegenüber dem ersten Gliede (das dem Newtonschen 
Gesetze entspricht) in der Astronomie vernachlässigt 
werden, so ist das nur eine Folge der ungeheuren Größe 
der kosmischen Entfernungen.*"^ 

Wenn unsere Forschungsmittel immer schärfer werden, 
so werden wir ohne Zweifel das Einfache unter dem 
Komplizierten, dann das Komplizierte unter dem Ein- 
fachen entdecken, dann wieder von neuem das Einfache 
unter dem Komplizierten und so fort, ohne daß wir 
voraussehen können, womit diese Kette schließen wird. 

Man muß irgendwo aufhören, und damit die Wissen- 
schaft möglich sei, muß man aufhören, wenn man die 
Einfachheit gefunden hat. Das ist der einzige Boden, 
auf welchem wir das Gebäude unserer Verallgemeine- 
rungen errichten können. Aber wird dieser Boden solide 
genug sein, wenn diese Einfachheit nur scheinbar ist? 
Das müssen wir noch untersuchen. 



Glaube an Einfachheit. je I 

Um das zu können, wollen wir sehen, welche Rolle 
der Glaube an die Einfachheit in unseren Verallgemeine- 
rungen spielt. Wir haben ein einfaches Gesetz in einer 
ziemlich großen Anzahl von besonderen Fällen verifiziert; 
wir können unmöglich zulassen, daß diese so oft wieder- 
holte Bestätigung ein bloßer Glückszufall sei, und wir 
schließen daraus, daß das Gesetz im allgemeinen Falle 
wahr sein muß. 

Keppler bemerkt, daß die von Tycho beobachteten 
Orte eines Planeten sich alle auf einer und derselben 
Ellipse befinden. Er kommt nicht einen Augenblick auf 
die Idee, daß Tycho infolge eines seltsamen Zufalls den 
Himmel immer nur in dem Moment betrachtet hätte, in 
welchem die wirkliche Bahn des Planeten im Begriffe 
war, diese Ellipse zu schneiden. 

Was ist uns daran gelegen, ob die Einfachheit der 
Wirklichkeit entspricht, oder ob sie eine komplizierte 
Wahrheit verdeckt? Möge sie nun dem Einflüsse der 
großen Zahlen, welche die individuellen Verschiedenheiten 
ausgleicht, zu verdanken sein, oder möge sie der Größe, 
bezw. der Kleinheit gewisser Größen, welche gestattet, 
gewisse Glieder zu vernachlässigen, zu verdanken sein, 
in jedem Falle ist sie nicht dem Zufalle zu verdanken. 
Diese Einfachheit, ob sie nun wirklich oder scheinbar 
ist, hat immer eine Ursache. Wir können also immer 
dieselbe Überlegung machen, und wenn ein einfaches 
Gresetz in verschiedenen besonderen Fällen beobachtet 
ist, so können wir mit Recht voraussetzen, daß es auch 
in den analogen Fällen noch wahr sein wird. Wenn 
wir diese Schlußfolgerung ablehnen, so hieße das dem 
Zufalle eine unstatthafte Rolle zuerteilen. 

Es besteht indessen ein Unterschied. Wenn die Ein- 
fachheit wirklich und tiefgehend wäre, so würde sie der 
anwachsenden Genauigkeit unserer Meßinstrumente Wider- 
stand leisten; wenn wir also glauben, daß die Natur im 



1^2 rV, 9. Hypothesen der Physik. 

tiefsten Grunde einfach sei, so müssen wir aus einer an- 
genäherten Einfachheit auf eine strenge Einfachheit 
schließen. Das hat man früher getan; wir haben nicht 
mehr das Recht, so zu handehi. 

Die Einfachheit der Kepplerschen Gesetze ist z. B. 
nur scheinbar. Das verhindert nicht, daß «sie sich fast 
auf alle analogen Systeme des Sonnensystnj^a. anwenden 
lassen, aber es verhindert, daß sie streng g^Qommen ge- 
nau sind. 

Die Rolle der Hypothese. — Jede Verallgemeine- 
rung ist eine Hypothese; der Hypothese kommt also 
eine notwendige Rolle zu, welche niemand je bestritten 
hat. Allein sie muß immer sobald als möglich und so 
oft als möglich der Verifikation unterworfen werden; es 
ist selbstverständlich, daß man sie ohne Hintergedanken 
aufgeben muß, sobald sie diese Prüfung nicht besteht. 
Man macht es tatsächlich so, aber manchmal verdrießt 
es uns, so handeln zu müssen. 

Diese verdrießliche Stimmung ist nicht gerechtfertigt; 
der Physiker, welcher im Begriff ist, auf eine seiner 
Hypothesen zu verzichten, sollte im Gegenteil froh sein, 
denn er findet eine unverhoffte Gelegenheit zu einer 
Entdeckung. Ich setze natürlich voraus, daß er seine 
Hypothese nicht leichtsinnig angenommen hatte, und daß 
letztere allen bekannten Faktoren standhielt, welche 
möglicherweise auf die beobachtete Erscheinung einen 
Einfluß üben konnten. Wenn die Verifikation nicht 
möglich ist, so liegt es daran, daß irgend etwas Uner- 
wartetes, Außergewöhnliches vorliegt; man muß also Un- 
bekanntes und Neues entdecken. 

Ist nun die so umgestoßene Hypothese unfruchtbar? 
Weit gefehlt, man kann sagen, daß sie mehr Dienste 
geleistet hat wie eine richtige Hypothese; sie hat nicht 
nur Gelegenheit zu dem entscheidenden Experimente 
gegeben, sondern man würde sogar dieses Experiment 



Hypothesen verschiedener Art. jc^ 

zufallig gemacht haben, und kemerlei Schlüsse daraus 
gezogen haben, wenn man die Hypothese nicht gemacht 
hätte; man würde darin nichts Außerordentliches gesehen 
haben, man hätte nur eine Tatsache mehr festgestellt, 
ohne daraus die geringsten Folgerungen abzuleiten. 

Unter welcher Bedingung ist dann die Benutzung der 
Hypothese ohne Schaden? 

Der feste Vorsatz, sich dem Experimente unterzu- 
ordnen, genügt nicht; es gibt trotzdem gefährliche Hypo- 
thesen; das sind vorerst und hauptsächlich diejenigen, 
welche stillschweigend und unbewußt gemacht werden. 
Weil wir solche Hypothesen benutzen, ohne es zu wissen, 
sind wir unfähig, sie aufzugeben. In diesem Falle kann 
uns die mathematische Physik einen Dienst erweisen. 
Durch die Genauigkeit, welche ihr eigentümlich ist, 
zwingt sie uns , alle Hypothesen zu formulieren , welche 
wir ohne die Mathematik unbewußt benutzt hätten. 

Wir wollen andererseits bemerken, daß es wichtig 
ist, die Hypothesen nicht übermäßig zu vervielfältigen und 
sie einzeln nacheinander aufzustellen. Wenn wir eine, 
auf vielfache Hypothesen gegründete Theorie bilden, 
welche unter unsem Prämissen muß dann notwendiger- 
weise geändert werden, wenn das Experiment die Theorie 
widerlegt? Das zu wissen ist unmöglich. Und umge- 
kehrt, wenn das Experiment gelingt, wird man dann 
glauben alle Hypothesen auf einmal verifiziert zu haben? 
Wird man glauben, mit einer einzigen Gleichung mehrere 
Unbekannte bestimmt zu haben? 

Man muß Sorge tragen, unter den verschiedenen 
Arten von Hypothesen zu unterscheiden. Es gibt vor- 
erst solche, welche ganz natürlich sind, und denen man 
sich kaum entziehen kann. Es ist schwer, nicht voraus- 
zusetzen, daß der Einfluß sehr entfernter Körper ganz 
und gar zu vernachlässigen ist, daß die kleinen Be- 
wegungen einem linearen Gesetze gehorchen, daß die 



1^4 IV, g, Hypothesen der Physik, 

Wirkung eine stetige Funktion ihrer Ursache ist. Das- 
selbe gilt von den durch die Symmetrie uns auferlegten 
Bedingungen. Alle diese Hypothesen bilden sozusagen 
die gemeinsame Grundlage aller Theorien der mathe- 
matischen Physik. Sie wären die letzten, die man auf- 
geben könnte. 

Es gibt eine zweite Kategorie von Hypothesen, welche 
ich als indifferente bezeichnen möchte. In den meisten 
Fragen setzt der Analytiker im Anfange seiner Berech- 
nung entweder voraus, daß die Materie kontinuierlich ist 
oder daß sie aus Atomen zusanmiengesetzt sei. Er 
könnte das Umgekehrte tun, und seine Resultate würden 
sich deshalb nicht ändern; er würde nur mehr Mühe 
haben, sie zu erreichen, das wäre alles. Wenn also das 
Experiment seine Schlußfolgerungen bestätigt, wird er 
dann z. B. glauben, die wirkliche Existenz der Atome 
bewiesen zu haben? 

In den optischen Theorien führt man zwei Vektoren 
ein, von denen der eine als Geschwindigkeit, der andere 
als Wirbel betrachtet wird. Das ist wieder eine indiffe- 
rente Hypothese, weil man zu denselben Schlußfolge- 
rungen gelangt,' wenn man genau das Gegenteil tut. Der 
Erfolg des Experimentes kann also nicht beweisen, daß 
der erste Vektor wirklich eine Geschwindigkeit ist; er 
beweist nur, daß er ein. Vektor ist; das ist die einzige 
Hypothese, welche man tatsächlich in die Voraussetzungen 
eingeführt hat. Um dem Vektor den konkreten An- 
schein, den die Schwachheit unseres Verstandes erfordert, 
zu geben, muß man ihn betrachten, als wenn er ent- 
weder eine Geschwindigkeit oder ein Wirbel wäre; ebenso 
wie es notwendig ist, ihn durch einen Buchstaben, ent- 
weder durch X oder durch >/ darzustellen; aber das 
Resultat, wie es auch sei, wird nicht beweisen, ob man 
Recht oder Unrecht hatte, wenn man ihn als eine Ge- 
schwindigkeit ansah; nicht mehr, als es uns beweisen 



Mathematisclie PHysik. jcc 

kann, daß man Recht oder Unrecht hatte, ihn x und 
nicht j/ zu nennen. ^^ 

Diese indifferenten Hypothesen sind niemals gefahr- 
lich, vorausgesetzt, daß man ihren Charakter nicht ver- 
kennt. Sie können nützlich sein, sei es als Hilfsmittel 
der Rechnung, sei es, um unser Verständnis durch kon- 
krete Vorstellungen zu unterstützen, um die Ideen, wie 
man sagt, zu fixieren. £s ist also kein Grund vorhanden, 
diese Hypothesen zu verwerfen. 

Die Hypothesen der dritten Kategorie sind die wirk- 
lichen Verallgemeinerungen. Es sind solche, die von 
der Erfahrung bestätigt oder entkräftet werden. Verifiziert 
oder verworfen, immer werden sie fruchtbringend sein, 
aber aus den von mir dargelegten Gründen nur, wenn 
man sie nicht zu sehr vervielfältigt. 

Ursprung der mathematischen Physik. — Wir 

wollen weiter vordringen und die Bedingungen näher 
studieren, welche die Entwicklung der mathematischen 
Physik erlaubten. Wir erkennen auf den ersten Blick, 
daß die Anstrengungen der Gelehrten immer dahin ge- 
richtet waren, die von der Erfahrung direkt entnommene 
Zusammengesetze Erscheinung in eine sehr große Anzeihl 
von elementaren Erscheinungen aufzulösen. 

Das geschieht auf drei verschiedene Arten: zuerst 
in der Zeit. Anstatt die fortschreitende Entwicklung 
einer Erscheinung in ihrer Gesamtheit zu umfassen, ver- 
sucht man einfach jeden Augenblick mit dem unmittel- 
bar vorhergehenden zu verknüpfen; man nimmt an, daß 
der gegenwärtige Zustand der Welt nur von der nächsten 
Vergangenheit abhängt, ohne sozusagen von der Erinne- 
rung an eine weiter entfernte Vergangenheit beeinflußt 
zu sein. Vermöge dieses Postulates kann man sich, an- 
statt direkt die ganze Folge der Erscheinungen zu 
studieren, darauf beschränken, die Differentialgleichung 



1^5 rV» 9* Hypothesen der Physik. 

der Erscheinung hinzuschreiben: die Kepplerschen Gesetze 
ersetzt man durch das Newtonsche Gesetz. 

Darauf versucht man die Erscheinung im Räume 
zu zerlegen. Die Erfahrung bietet uns eine verworrene 
Gesamtheit von Tatsachen dar, die sich auf einem Schau- 
platze von gewisser Ausdehnung abspielen; man muß 
versuchen die elementare Erscheinung auszuschneiden, 
welche im Gegensatze dazu auf einen sehr beschränkten 
Teil des Raumes lokalisiert sein wird. 

Einige Beispiele werden vielleicht meinen Gedanken- 
gang verständlicher machen. Wenn man die Verteilung 
der Temperatur in einem sich abkühlenden Körper in 
ihrer ganzen Zusammengesetztheit studieren will, so würde 
das nie gelingen. Alles wird einfach, wenn man über- 
legt, daß ein Punkt des festen Körpers nicht direkt an 
einen entfernten Körper Wärme abgeben kann; er wird 
unmittelbar nur den am nächsten liegenden Punkten 
Wärme abgeben, und so wird der Wärmestrom sich von 
Punkt zu Punkt fortpflanzen, bis er den anderen Teil 
des festen Körpers erreicht. Die Elementarerscheinung 
ist der Wärmeaustausch zwischen zwei benachbarten 
Punkten; dieser Austausch ist streng lokalisiert und ver- 
hältnismäßig einfach, wenn man, wie es ja natürlich ist, 
annimmt, daß er nicht durch die Temperatur derjenigen 
Moleküle beeinflußt wird, deren Entfernung eine merk- 
liche Größe hat.ß^ 

Ich biege einen Stab; er wird eine sehr komplizierte 
Gestalt annehmen, deren direktes Studium unmöglich 
wäre; aber ich kann die Schwierigkeiten überwinden 
wenn ich beobachtete, daß seine Biegung nur die 
Resultante der Deformation kleiner Elemente des Stabes 
ist und daß die Deformation jedes dieser Elemente nur 
von den Kräften abhängt, welche direkt an denselben 
angreifen, und keineswegs von denjenigen Kräften, welche 
auf die anderen Elemente wirken.''®) 



Elementarersclieinungen. I e y 

In allen diesen Beispielen, die ich ohne Mühe ver- 
mehren kann, nimmt man an, daß es keine Femwirkung 
gibt, wenigstens nicht auf große Entfernung hin. Das 
ist eine Hypothese; sie ist nicht immer richtig, das Ge- 
;setz der Schwerkraft beweist es uns; man muß sie also 
der Verifikation unterwerfen; wenn sie auch nur an- 
nähernd bestätigt wird, so ist sie wertvoll, denn sie er- 
laubt uns, wenigstens mittelst successiver Annäherungen 
mathematische Physik zu treiben. 

Wenn sie der Prüfung nicht standhält, muß man 
sich etwas anderes Analoges suchen, denn es gibt noch 
andere Mittel, um zu der Elementarerscheinung zu ge- 
langen. Wenn mehrere Körper gleichzeitig zur Wirkung 
kommen, kann es vorkommen, daß ihre Wirkungen von- 
einander unabhängig sind und sich einfach zueinander 
addieren, entweder nach Art der Vektoren oder nach 
Art der Sealare. ^^) Die Elementarerscheinung ist alsdann 
die Wirkung eines isolierten Körpers. Ein anderes mal 
hat man mit kleinen Bewegungen, oder allgemeiner ge- 
sagt, mit kleinen Änderungen zu tun, welche dem wohl- 
bekannten Gesetze der Superposition gehorchen. Die 
beobachtete Bewegung wird dann in einfache Bewegungen 
zergliedert, z. B. der Ton in seine harmonischen Kom- 
ponenten und das weiße Licht in seine einfarbigen Kom- 
ponenten. 

Durch welche Mittel wird man die Elementarerschei- 
nmig wirklich auffinden können, wenn man herausge- 
fanden hat, in welcher Richtung sie wahrscheinlich zu 
suchen ist? 

Um das Resultat vorauszusehen, oder vielmehr um 
so viel vorauszusehen, als für uns nützlich ist, wird es 
häufig nicht nötig sein, in den ganzen Mechanismus der 
Erscheinung einzudringen; das Gesetz der großen Zahlen 
wird genügen. Wir wollen das Beispiel von der Wärme- 
leitung wieder aufnehmen; jedes Molekül strahlt gegen 



158 IV, 9. Hypothesen der Physik. 

jedes benachbarte Molekül Wärme aus; nach welchem 
Gesetze das erfolgt, brauchen wir nicht zu wissen; wenn 
wir irgend etwas in dieser Hinsicht voraussetzen, so 
wäre es eine indifferente Hypothese und folglich etwas 
Unnützes und Unverifizierbares. Und in der Tat, da 
man nur Dgit durchschnittlichen Mittelwerten rechnet und 
da das umgebende Medium symmetrisch vorausgesetzt 
wird, gleichen sich alle Verschiedenheiten aus, und 
welche Hypothesen man auch gemacht hat, das Resultat 
bleibt inmier dasselbe. 

Derselbe Umstand tritt uns in der Theorie der 
Elastizität und in derjenigen der Kapillarität entgegen; 
die benachbarten Moleküle ziehen sich an und stoßen 
sich ab; wir brauchen nicht zu wissen, nach welchem 
Gesetze, es genügt uns, daß diese Anziehung nur auf 
kleine Entfernungen hin bemerkbar ist, daß die Moleküle 
sehr zahlreich sind, und daß das Medium S)n3Qnietrisch 
sein soll; wir brauchen dann nur das Gesetz der großen 
Zahlen walten zu lassen. 

Auch hier verbarg sich die Einfachheit der Elementar- 
erscheinung unter der Kompliziertheit des zu beobachten- 
den Schlußergebnisses ; aber diese Einfachheit war ihrer- 
seits nur eine scheinbare und verhüllte einen sehr kom- 
plizierten Mechanismus. 

Das beste Mittel, tun zu der Elementarerscheinung 
zu gelangen, würde offenbar das Experiment sein. Man 
müßte durch experimentelle Kunstgriffe das verworrene 
Bündel, das die Natur unserem Forschen darbietet, aus- 
einanderlegen und mit Sorgfalt dessen möglichst gereinigte 
Elemente studieren; man wird z. B. das weiße natürliche 
Licht in einfarbige Lichtstrahlen mit Hülfe des Prismas 
zerlegen und in polarisierte Lichtstrahlen mit Hilfe des 
Polarisators. 

Unglücklicherweise ist das weder immer möglich noch 
immer genügend, und es ist notwendig, daß der Verstand 



Vorauseilen des Verstandes. 



159 



manchmal der Erfahrung vorauseilt. Ich will davon 
nur ein Beispiel erwähnen, das mich immer lebhaft be- 
troffen hat. 

Wenn ich das weiße Licht zerlege, so kann ich 
einen kleinen Teil des Spektrums isolieren, aber so klein 
er auch sei, er wird doch immer eine gewisse Breite be* 
wahren. Ebenso geben uns die natürlichen, sogenannten 
einfarbigen Lichtstrahlen eine sehr schmale Linie, die 
aber doch nicht unendlich schmal ist. Man kann vor- 
aussetzen, daß man durch einen Grenzübergang schließ- 
lich dahin gelangen wird, die Eigenschaft eines streng 
einfarbigen Lichtstrahles zu erkennen, indem man die 
Eigenschaften dieser natürlichen Lichtstrahlen experimen- 
tell prüft und dabei mit immer schmaleren Streifen des 
Spektrums operiert. 

Das würde nicht genau sein. Ich setze voraus, daß 
zwei Strahlen von derselben Quelle ausgehen, daß man 
sie zuerst in zwei zueinander rechtwinkligen Ebenen 
polarisiert, daß man sie hierauf auf dieselbe Polarisations- 
ebene zurückführt und daß man versucht, sie interferieren 
zu lassen. V/enn das Licht streng einfarbig wäre, so 
würden sie interferieren; aber mit unseren annähernd 
einfarbigen Lichtstrahlen gibt es keine Interferenz, so 
schmal der Streifen auch sei. Er müßte, damit es andera 
würde, mehrere Millionen mal dünner als die schmälsten 
bekannten Streifen sein. 

Hier also hätte uns der Übergang zur Grenze ge- 
täuscht; der Verstand mußte dem Experimente voraus- 
eilen, und er hat dies mit Erfolg getan, weil er sich da- 
bei durch das Gefühl für Einfachheit leiten ließ. 

Die Kenntnis der Elementarerscheinung gestattet uns, 
das Problem in eine Gleichung zu setzen; es bleibt nur 
noch übrig, daraus durch Kombination die komplizierte 
Tatsache abzuleiten, welche der Beobachtung und Verifi- 



l5o IV, 9. Hypothesen der Physik. 

kation zugänglich ist. Das nennt man Integration; 
das ist Sache des Mathematikers. 

Man möchte fragen, warum die Verallgemeinerung 
in der physikalischen Wissenschaft so gerne die mathe- 
matische Form annimmt. Die Ursache ist jetzt leicht 
erkennbar; es geschieht nicht nur deshalb, weil man 
Zahlengesetze ausdrücken muß; es geschieht, weil die 
zu beobachtende Erscheinung aus der Superposition 
einer großen Anzahl von elementaren Erscheinungen 
entstanden ist, welche alle einander ähnlich sind; 
so führen sich die Differentialgleichungen ganz natür- 
lich ein. 

Es genügt nicht, daß jede Elementarerscheinung ein- 
fachen Gesetzen gehorcht, es müssen alle diejenigen, 
welche man zu kombinieren hat, demselben Gesetze ge- 
horchen. Nur dann kann das Eingreifen der Mathe- 
matik nützlich sein; die Mathematik lehrt uns in der 
Tat, Ähnliches mit Ähnlichem zu kombinieren. Ihr Ziel 
ist, das Resultat einer Kombination zu erraten, ohne 
diese Kombination Stück für Stück wieder durchzu- 
nehmen. Wenn man dieselbe Operation mehrere Male 
zu wiederholen hat, erlaubt sie uns diese Wiederholung 
zu vermeiden, indem sie uns im voraus das Resultat 
durch eine Art Induktion erkennen läßt. Ich habe das 
weiter oben in dem Kapitel über die mathematische 
Schluß weise erörtert. (Vgl. S. 17). 

Zu diesem Zwecke müssen alle diese Operationen 
untereinander ähnlich sein; im entgegengesetzten Falle 
müßte man sich offenbar damit begnügen, sie wirklich 
nacheinander wieder durchzunehmen; dann wäre die 
Mathematik überflüssig. 

Infolge der angenäherten Homogenität der von den 
Physikern studierten Materie konnte also die mathema- 
:tische Physik entstehen. 

In den Naturwissenschaften findet man diese Bedin- 



Physikalische Theorien. l5i 

gungen: Homogenität, relative Unabhängigkeit von ent- 
fernten Teilen, Einfachheit der Elementarerscheinungen 
nicht, und darum sind die Vertreter der beschreibenden 
Naturwissenschaften genötigt, andere Arten von Verallge- 
meinerungen zu Hilfe zu nehmen. 



Zehntes Kapitel. 

Die Theorien der modernen Physik. 

Die Bedeutung der physikalischen Theorien. — 
Die Laien sind darüber betroffen, wieviele wissenschaft- 
Kche Theorien vergänglich sind. Nach einigen Jahren 
des Gedeihens sehen sie dieselben nacheinander aufge- 
geben, sie sehen, wie sich Trümmer auf Trümmer 
häufen; sie sehen voraus, daß die Theorien, die heut- 
zutage Mode sind, in kurzer Zeit vergessen werden, und 
sie schlußfolgern daraus, daß diese Theorien absolut 
«itel sind. Sie nennen das: das Falissement der 
Wissenschaft. 

Ihr Skeptizismus ist oberflächlich; sie geben sich 
keine Rechenschaft von dem Ziele und der zu spielen- 
den Rolle der wissenschaftlichen Theorien, sonst ver- 
ständen sie, daß die Trümmer vielleicht noch zu irgend 
etwas nützen können. 

Keine Theorie schien gefestigter wie diejenige Fresnels, 
welche das Licht den Ätherschwingungen zuschrieb. Man 
zieht ihr jetzt jedoch die Maxwellsche Theorie vor. Soll 
damit gesagt sein, daß das Werk Fresnels vergeblich 
war? Nein, denn das Ziel Fresnels war nicht, zu er- 
forschen, ob es wirklich einen Äther gibt, ob seine Atome 
sich wirklich in dem oder jenem Sinne bewegen; sein 
^iel war: die optischen Erscheinungen vorauszusehen. 

Poincare, Wissenschaft und Hypothese. 1 1 



l62 ^» 10* Theorien der modernen Physik. 

Das erlaubt die Fresnelsche Theorie heute ebenso 
wie vor Maxwell, Die Differentialgleichungen sind immer 
richtig; man kann sie durch dasselbe Verfahren inte- 
grieren, und die Resultate dieser Integration behalten 
stets ihren vollen Wert. 

Man erwidere nicht, daß wir auf diese Weise die 
physikalischen Theorien zur Rolle einfacher, praktischer 
Regeln erniedrigen; die genannten Gleichungen drücken 
Beziehungen aus, und sie bleiben richtig, solange diese 
Beziehungen der Wirklichkeit entsprechen. Sie lehren 
uns vorher wie nachher, daß eine gewisse Beziehung 
zwischen irgend einem Etwas und irgend einem anderen 
Etwas besteht; nur daß dieses Etwas früher Bewegung 
genannt wurde und jetzt elektrischer Strom heißt. 
Aber diese Benennungen waren nichts als Bilder, die 
wir an die Stelle der wirklichen Objekte gesetzt haben, 
und diese wirklichen Objekte wird die Natur uns ewig 
verbergen ; die wahren Beziehungen zwischen diesen wirk- 
lichen Objekten sind das einzige Tatsächliche, welches 
wir erreichen können, und die einzige Bedingung ist, 
daß dieselben Beziehungen, welche sich zwischen diesen 
Objekten befinden, sich auch zwischen den Bildern be- 
finden, welche wir gezwungenermaßen an die Stelle der 
Objekte setzen. Wenn diese Beziehungen uns bekannt 
sind, so macht es nichts aus, ob wir es für bequemer 
halten, ein Bild durch ein anderes zu ersetzen. 

Es ist weder sicher noch interessant, ob eine gewisse 
.periodische Erscheinung (wie z. B. eine elektrische Schwin- 
gung) wirklich dem Vibrieren eines gewissen Atomes zu- 
zuschreiben ist, das sich wirklich in diesem oder jenem 
Sinne wie ein Pendel bewegt. Daß es nun aber zwischen 
der elektrischen Schwingung, der Bewegung des Pencjels 
und allen periodischen Erscheinungen eine enge Ver- 
wandtschaft gibt, welche einer tieferen Wirklichkeit ent- 
spricht; daß diese Verwandtschaft, diese Ähnlichkeit oder 



Dispersion des Lichtes. Gastheorie. 15? 

vielmehr dieser Parallelismus sich bis ins Kleinste fort- 
setzt; daß sie aus allgemeinen Prinzipien, z. B. aus dem 
Prinzipe der Energie und aus dem Prinzipe der kleinsten 
Wirkung folgt, das können wir behaupten; darin liegt 
eine Wahrheit, welche ewig dieselbe bleiben wird, unter 
welchem Gewände wir sie auch aus praktischen Gründen 
darstellen mögen. 

Man hat zahlreiche Theorien der Dispersion vorge- 
schlagen; die ersten waren unvollkommen und enthielten 
nur einen Bruchteil von Wahrheit. Dann kam die Helm- 
holtzsche Theorie; dann hat man sie auf verschiedene 
Weise geändert, und ihr Urheber selbst hat eine andere 
Theorie erdacht, die auf den Prinzipien von Maxwell 
beruht. Aber es ist eine bemerkenswerte Tatsache, daß 
alle Gelehrten, die nach Helmholtz kamen, zu denselben 
Gleichungen gelangt sind, obgleich sie von scheinbar 
ganz verschiedenen Gesichtspunkten ausgingen. Ich 
möchte sagen, daß diese Theorien alle zugleich wahr 
sind, nicht nur, weil sie uns dieselben Erscheinungen 
voraussehen lassen, sondern weil sie eine wirkliche Be- 
ziehung klarmachen, nämlich diejenige der Absorption 
und der anomalen Dispersion. Was in den Prämissen 
dieser Theorien richtig ist, das ist allen Autoren gemein- 
sam; es ist die Bestätigung dieser oder jener Beziehung 
zwischen gewissen Dingen, welche von den einen mit 
dem, von den anderen mit jenem Namen bezeichnet 
werden.^?) 

Die kinetische Theorie der Gase hat zu manchen 
Einwürfen Anlaß gegeben, auf die man leicht antworten 
könnte, wenn man die Absicht hätte, sie als absolut 
richtig zu betrachten. Aber alle diese Einwürfe ver- 
hindern nicht, daß die Theorie nützlich gewesen ist, und 
zwar besonders dadurch, daß sie uns eine wahre und 
ohne sie tief verborgene Beziehung offenbart: nämlich 
die Beziehung des osmotischen Druckes zu dem von 



164 ^» ^^* Theorien der modernen Physik. 

Gasen ausgeübten Drucke. In diesem Sinne kann man 
sagen, daß die Theorie richtig ist,''^ 

Wenn ein Physiker einen Widerspruch zwischen zwei 
Theorien feststellt, welche ihm gleich lieb sind, so sagt 
er oft: Wir wollen uns darüber nicht weiter beunruhigen; 
wir wollen jedoch die beiden Enden der Kette fest- 
halten, wenn auch die Zwischenglieder dieser Kette uns 
verborgen sind. Dieses Argument eines in die Enge 
getriebenen Theologen wäre lächerlich, wenn man den 
physikalischen Theorien den Sinn beilegen müßte, welchen 
die Laien ihnen zu geben pflegen. Im Falle des Wider- 
spruchs müßte wenigstens eine von ihnen als falsch an- 
gesehen werden. Anders ist es, wenn man in den 
Theorien nur das sucht, was man suchen soll. Es kann 
geschehen, daß die Theorien eine oder die andere Be- 
ziehung richtig wiedergeben, und daß ein Widerspruch 
nur in den Bildern liegt, deren wir uns an Stelle der 
wirklichen Objekte bedient haben. 

Sollte jemand meinen, daß wir das dem Gelehrten 
zugängliche Gebiet allzusehr beschränken, so würde ich 
ihm antworten: Diese Fragen, deren Behandlung wir 
Ihnen verweigern und die Sie bei uns vermissen, sind 
nicht nur unlösbar, sondern sogar gänzlich illusorisch und 
haben keinen Sinn. 

Mancher Philosoph behauptet, daß die ganze Physik 
auf den gegenseitigen Stößen der Atome beruht. Wenn 
er damit einfach sagen will, daß zwischen den physikali- 
schen Erscheinungen dieselben Beziehungen herrschen 
wie zwischen den gegenseitigen Stößen einer großen An- 
zahl von Kugeln, so ist es gut; das kann man prüfen, 
das ist vielleicht sogar richtig. Aber er will mehr sagen; 
und wir glauben ihn zu verstehen, weil wir zu wissen 
glauben, was der Stoß eigentlich ist; warum? Ganz 
einfach, weil wir oft dem Billardspiele zugesehen haben. 
Glauben wir deshalb, daß Gott, wenn er sein Werk be- 



Neubelebimg au^egebener Theorien. 165 

trachtet, dieselbe Empfindung hat wie wir, wenn wir 
einem Wettspiele auf dem Billard zusehen? Wenn wir 
der Behauptung jenes Philosophen nicht diesen bizarren 
Sinn unterlegen wollen, wenn wir uns noch weniger mit 
dem begrenzten Sinne begnügen wollen, den ich soeben 
dargelegt habe, und der allein richtig ist, so hat jene 
Behauptung gar keinen Sinn. 

Die Hypothesen dieser Art haben nur einen meta- 
phorischen Sinn. Der Forscher kann solche Metaphern 
ebensowenig vermeiden wie der Dichter, aber er muß 
wissen, was sie bedeuten. Sie können nützen durch die 
Befriedigung, die sie dem Verstände gewähren, und sie 
werden nicht schaden, vorausgesetzt, daß es sich nur 
um indifferente Hypothesen handelt (vgl, S. 154). 

Diese Betrachtungen geben uns die Erklärung dafür, 
warum gewisse Theorien, welche man für aufgegeben 
und definitiv durch die Erfahrung widerlegt hielt, plötz- 
lich aus ihrer Asche wieder auferstehen und ein neues 
Leben beginnen. Sie brachten eben wirkliche Beziehun- 
gen zum Ausdrucke und sie hörten nicht auf, solche 
auszudrücken, wenn wir auch aus diesem oder jenem 
Grunde glaubten, dieselben Beziehungen in einer ande- 
ren Sprache zum Ausdrucke bringen zu müssen. Sie be- 
wahrten so eine Art latenten Lebens. 

Noch sind es kaum fünfzehn Jahre her, da gab es 
nichts Lächerlicheres und es galt nichts für einfaltiger 
und für so veraltet wie die Fluida von Coulomb. Und 
doch sind sie unter dem Namen Elektronen wieder 
auf der Bildfiäche erschienen. Wodurch unterscheiden 
sich nun dauernd diese elektrisierten Moleküle von den 
elektrischen Molekülen Coulombs? Zwar wird jetzt bei 
den Elektronen etwas, wenn auch sehr wenig Materie 
als Träger der Elektrizität angenommen, mit anderen 
Worten: die Elektronen haben Masse; aber Coulomb 
dachte seine Fluida auch nicht ohne Masse, oder, wenn 



l66 ^t 10» Theorien der modernen Physik. 

er es tat, so geschah es nur mit Bedauern. Es wäre 
anmaßend, wenn man behaupten wollte, daß der Glaube 
an die Elektronen nicht noch einmal verdunkelt werde, 
deshalb war es nicht weniger bemerkenswert, diese un- 
verhoffte Wiedergeburt festzustellen.''*) 

Das schlagendste Beispiel ist jedoch das Camotsche 
Prinzip. Camot ist bei seiner Begründung von falschen 
Hypothesen ausgegangen; als man bemerkte, daß die 
Wärme nicht unzerstörbar ist, sondern sich in Arbeit 
umsetzen läßt, gab man die Ideen Camots völlig auf; 
da tritt Clausius dafür ein und läßt sie endgültig trium- 
phieren. Die Camotsche Theorie brachte in ihrer ur- 
sprünglichen Form neben wirklichen Beziehungen andere 
ungenaue Beziehungen zum Ausdrucke, die als Trünuner 
veralteter Ideen zu betrachten sind; aber das Vorhanden- 
sein dieser letzteren beeinflußt nicht die Wirklichkeit 
der anderen. Clausius brauchte sie nur zu entfernen, so 
wie man verdorbene Äste abschneidet."'^) 

Das Resultat war das zweite Fundamentalgesetz der 
Thermodynamik. Es handelte sich immer um dieselben 
Beziehungen; obgleich diese Beziehungen nicht zwischen 
denselben Objekten stattfanden, wenigstens scheinbar 
nicht. Das genügte, um die Gültigkeit des Prinzips zu 
sichern. Selbst die Entwicklungen Camots sind deshalb 
nicht untergegangen, man wandte sie auf Materien an, 
die damals noch ganz falsch verstanden wurden; aber 
ihre Form (d. h, das Wesentliche) blieb korrekt. 

Was ich soeben gesagt habe, erklärt zu gleicher Zeit 
die Rolle der allgemeinen Prinzipien, wie des Prinzips 
der kleinsten Wirkung oder des Prinzips von der Erhal- 
tung der Energie. 

Diese Prinzipe sind von sehr hohem Werte; man 
fand sie, während man danach forschte, was es Gemein- 
sames in der Darlegung zahlreicher physikalischer Ge- 



Grenzen des Energie-Prinzips. 15? 

setze gibt; sie stellen also gleichsam die Quintessenz un- 
zähliger Beobachtungen dar. 

Gleichwohl stammt aus ihrer Verallgemeinerung eine 
Folgerung, auf welche ich die Aufmerksamkeit im achten 
Kapitel lenkte: sie können nicht verifiziert werden. Da 
wir eine allgemeine Definition der Energie nicht geben 
können, so hat das Prinzip von der Erhaltung der 
Energie einfach die Bedeutung, daß es irgend ein 
Etwas gibt, das .konstant bleibt. Also gut; wie nun 
auch die neuen Begriffe über das Weltall sein mögen, 
welche uns die zukünftigen Experimente geben werden, 
eines ist uns im voraus sicher: es wird ein Etwas geben, 
das konstant bleibt und das wir Energie nennen (S. 134). 

Soll das heißen, daß das Prinzip keinen Sinn hat 
und daß es sich zu einer Tautologie abschwächt? Keines- 
wegs; es bedeutet, daß die verschiedenen Dinge, denen 
wir den Namen Energie beilegen, durch eine wirkliche 
Verwandtschaft verbunden sind; es besagt, daß unter 
ihnen eine tatsächliche Beziehung besteht. Wenn nun 
aber das Prinzip einen Sinn hat, so könnte es ein 
falscher Sinn sein; möglicherweise hat man nicht das 
Recht, seine Anwendung unbegrenzt auszudehnen, und 
dennoch steht von vornherein fest, daß man es (streng 
im obigen Sinne genommen) verifizieren kann; wie er- 
fahren wir, wann es die volle Ausdehnung erlangt hat, 
welche man ihm berechtigterweise zuerteilt? Dieser 
Zeitpunkt tritt ein, wenn das Prinzip aufhört, uns nütz- 
lich zu sein, d. h. wenn es aufhört, uns neue Erscheinun- 
gen voraussehen zu lassen, ohne uns zu täuschen. In 
Einern solchen Falle sind wir sicher, daß die behauptete 
Beziehung nicht mehr der Wirklichkeit entspricht; denn 
anderenfalls würde das Prinzip sich als fruchtbringend 
erwiesen haben. Das Experiment läßt uns eine neue 
Ausdehnung des Prinzips verwerfen, obgleich es einer 
solchen nicht direkt entgegen ist. 



l68 rV, 10. Theorien der modernen Physik. 

Die Physik und der Mechanismus. — Die meisten 
Theoretiker haben für die der Mechanik oder der 
Dynamik entnommenen Erklärungen eine andauernde 
Vorliebe, Die einen sind befriedigt, wenn sie sich von 
allen Erscheinungen durch die Bewegungen der Mole- 
küle, die sich gegenseitig nach bestimmten Gesetzen an- 
ziehen, Rechenschaft geben können. Die anderen ver- 
langen mehr; sie wollen die in der Entfernung wirken- 
den Anziehungskräfte beseitigen; ihre Moleküle sollen 
geradlinige Bahnen verfolgen und nur durch Stöße von 
denselben abgelenkt werden können. Noch andere, wie 
z. B. Hertz, beseitigen auch die Kräfte, setzen jedoch 
an deren Stelle ihre Moleküle, die in ähnlicher Weise 
geometrisch miteinander verbunden sind, wie wir Stäbe 
durch Gelenke verbinden; sie wollen somit die Dynamik 
auf eine Art von ICinematik zurückführen.''^ 

Kurz gesagt: Alle wollen die Natur in eine gewisse 
Form einzwängen, und ohne diese Form würde ihr Ver- 
stand nicht befriedigt sein. Wird die Natur für diesen 
Zweck hinreichend gefügig sein? 

Wir wollen die Frage im zwölften Kapitel bei Ge- 
legenheit der Maxwellschen Theorie prüfen. Immer, 
wenn das Prinzip der Energie und das Prinzip der 
kleinsten Wirkung befriedigt ist, so ist nicht nur eine 
mechanische Erklärung möglich, wie wir sehen werden, 
sondern immer eine unendliche Anzahl solcher Erklärun- 
gen. Vermöge eines wohlbekannten Lehrsatzes von 
Königs über die Gelenksysteme ist man im stände zu be- 
weisen, daß man auf unendlich viele verschiedene Arten 
alles nach dem Vorgange von Hertz durch starre Ver- 
bindungen erklären kann, oder auch durch zentral 
wirkende Kräfte. Man könnte ohne Zweifel ebenso 
leicht beweisen, daß alles sich durch einfache Stöße er- 
klären läßt.77) 

Dazu braucht man sich, wohlverstanden, nicht mit der 



Materie und Äther. 



169 



gewöhnlichen Materie zu begnügen, mit derjenigen, die 
auf unsere Sinne wirkt und deren Bewegungen wir direkt 
beobachten können. Entweder wird man voraussetzen, 
daß diese gewöhnliche Materie aus Atomen gebildet ist, 
deren innerliche Bewegungen uns entgehen, während 
nur die Ortsveränderung der Gesamtheit unseren Sinnen 
zugänglich ist; oder man erdenkt irgend eines dieser 
empfindlichen Fluida, welche unter dem Namen Äther 
oder unter anderen Namen von jeher eine so große 
Rolle in den physikalischen Theorien gespielt haben. 

Oft geht man noch weiter und betrachtet den Äther 
als die einzige, ursprüngliche Materie oder sogar als die 
einzige wirkliche Materie. Diejenigen, welche gemäßigter 
denken, betrachten die gewöhnliche Materie als kon- 
densierten Äther, was nichts Befremdliches an sich hat; 
andere setzen die Bedeutung der gewöhnlichen Materie 
noch mehr herab und sehen darin nur den geometrischen 
Ort für die Singularitäten des Äthers, So ist z. B. nach 
Lord Kelvin das, was wir Materie nennen, nur der 
Ort der Punkte, in welchem der Äther durch wirbel- 
artige Bewegungen erregt ist; nach Riemann ist es der 
Ort der Punkte, in welchem beständig Äther vernichtet 
wird. Nach anderen, neueren Autoren, z. B. Wiechert 
und Larmor, ist es der Ort der Punkte, in dem der 
Äther eine Art Torsion von einer ganz besonderen Be- 
schaffenheit unterworfen ist.^^ Wenn man sich einen 
dieser Gesichtspunkte aneignen will, so frage ich mich: 
Mit welchem Rechte dehnt man auf den Äther unter 
dem Vorwand, daß dies die wahre Materie sei, die 
mechanischen Eigenschaften aus, welche nur an der ge- 
wöhnlichen Materie, die doch nur die falsche ist, be- 
obachtet sind? 

Die alten Fluida, wie WärmestofF, Elektrizität u. s. w. 
wurden aufgegeben, als man bemerkte, daß die Wärme 
nicht unzerstörbar ist. Aber sie wurden auch aus ande- 



I yo rV, 10. Theorien der modernen Physik. 

rem Grunde aufgegeben. Indem man sie materialisierte, 
hob man sozusagen ihre Individualität hervor, und man 
trennte sie voneinander durch tiefe Abgründe, Man 
mußte sich dazu bequemen, diese Abgründe wieder aus- 
zufüllen, nachdem man ein lebhaftes Geföhl für die Ein- 
heit in der Natur gewonnen hatte, und nachdem man 
die innigen Verwandtschaften bemerkt hatte, welche alle 
ihre Teile miteinander verbinden. Indem die alten 
Physiker die Zahl der Fluida vermehrten, schufen sie 
nicht nur Wesen ohne Daseinsberechtigung, sondern zer- 
störten auch wirkliche Verwandtschaftsbande. 

Es genügt nicht, daß eine Theorie keine falschen 
Beziehungen behauptet, sie darf auch wirkliche Beziehun- 
gen nicht verdecken. 

Und existiert unser Äther nun wirklich? Man weiß 
nicht, woher der Glaube an den Äther stammt. Wenn 
das Licht eines entfernten Sternes während mehrerer 
Jahre zu uns gelangt, so ist es nicht mehr auf dem 
Sterne und noch nicht auf der Erde, es muß also dann 
irgendwo sein und sozusagen an irgend einem materiellen 
Träger haften. 

Man kann denselben Gedanken in einer mehr mathe- 
matischen und mehr abstrakten Form darstellen. Was 
wir feststellen, sind durch materielle Moleküle erlittene 
Veränderungen; wir bemerken z. B., daß unsere photo- 
graphische Platte sich unter dem Einflüsse von Er- 
scheinungen verändert, deren Schauplatz mehrere Jahre 
vorher die weißglühende Masse eines Sternes war. Nun 
hängt aber in der gewöhnlichen Mechanik der Zustand 
des studierten Systemes nur von seinem Zustande in 
einem unmittelbar vorhergehenden Zeitpunkte ab; das 
System genügt also gewissen Differentialgleichungen. 
Wenn wir an den Äther nicht glauben, so würde im 
Gegenteil der materielle Zustand des Weltalls nicht nur 
von dem unmittelbar vorhergehenden Zustande abhängen. 



Notwendigkeit des Äthers. lyi 

sondern von viel älteren Zuständen; das System würde 
Gleichungen zwischen endlichen Differenzen genügen. 
Um dieser Beeinträchtigung der allgemeinen Gesetze 
der Mechanik zu entgehen, haben wir den Äther er- 
funden. 

Das würde uns nur dazu nötigen, den leeren Raum 
zwischen den Planeten mit Äther auszufüllen, aber nicht 
den Äther bis in das Innere der materiellen Medien 
selbst dringen zu lassen. Das Experiment von Fizeau 
geht weiter. Durch die Interferenz von Strahlen, welche 
bewegte Luft oder bewegtes Wasser durchlaufen hatten, 
scheint dies Experiment uns zwei verschiedene Medien 
zu zeigen, welche sich gegenseitig durchdringen und 
dennoch in Bezug aufeinander relative Ortsveränderungen 
erleiden. Man glaubt den Äther gleichsam mit dem 
Finger zu berühren.''®) 

Man kann jedoch Experimente ausdenken, welche 
uns dem Äther noch näher kommen lassen. Wir setzen 
voraus, daß das Newtonsche Prinzip der Gleichheit von 
Wirkung und Gegenwirkung nicht mehr richtig sei, wenn 
man es allein auf die Materie anwendet, und daß man 
dies festgestellt habe. Die geometrische Summe aller 
Kräfte, die an alle materiellen Moleküle angreifen, wird 
dann nicht mehr gleich Null sein. Man muß also, wenn 
man nicht die ganze Mechanik ändern will, den Äther 
einfuhren, damit diese Wirkung, welche die Materie zu 
erleiden scheint, durch die Gegenwirkung der Materie 
auf irgend etwas wieder ausgeglichen wird. 

Oder besser, ich setze voraus, man habe erkannt, 
daß die optischen und elektrischen Erscheinungen durch 
die Bewegung der Erde beeinflußt werden. Man wäre 
zu dem Schlüsse geführt worden, daß diese Erscheinun- 
gen uns nicht nur die relativen Bewegungen der mate- 
riellen Körper offenbaren können, sondern auch solche 
Bewegungen, die uns als absolute erscheinen. Es ist 



172 rV, 10. Theorien der modernen Physik. 

notwendig, daß es einen Äther gibt, damit diese soge- 
nannten absoluten Bewegungen nicht in Ortsverände- 
rungen in Bezug auf einen leeren Raum bestehen, son- 
dern in Ortsveränderungen in Bezug zu irgend einem 
konkreten Objekte. 

Wird man jemals dahin koromen? Ich habe diese 
Hoffnung nicht, ich werde sofort sagen warum, und doch 
ist diese Hoffnung nicht ganz ausgeschlossen, wenigstens 
haben andere sie gehabt. 

Wenn z. B. die Lorentzsche Theorie, von der ich 
weiterhin im dreizehnten Kapitel sprechen werde, richtig 
wäre, so würde das Newtonsche Prinzip auf die Materie 
allein nicht anwendbar sein, und der dadurch bedingte 
Unterschied würde wahrscheinlich der experimentellen 
Prüfung zugänglich sein. 

Andererseits hat man Untersuchungen über den Ein- 
fluß der Erdbewegung gemacht. Die Resultate sind 
imnaer negative gewesen. Aber wenn man diese Experi- 
mente unternommen hat, geschah es, weil man über den 
Ausgang nicht sicher war, und weil selbst nach den 
herrschenden Theorien die Ausgleichung nur eine ange- 
näherte war; und man durfte erwarten, daß wirklich 
genaue Methoden positive Resultate ergeben.®®) 

Ich halte eine solche Hoffnung für illusorisch; eben- 
so seltsam würde es sein, wenn man beweisen wollte, 
daß ein derartiger Erfolg uns irgendwie eine neue Welt 
erschließen würde. 

Und jetzt möge man mir eine Abschweifung gestatten ; 
ich muß in der Tat erklären, warum ich trotz der 
Lorentzschen Theorie nicht glaube, daß genauere Be- 
obachtungen jemals etwas anderes klar beweisen können 
als die relativen Ortsveränderungen materieller Körper. 
Man hat Experimente gemacht, welche uns die Glieder 
erster Ordnung hätten offenbaren sollen; die Resultate 
waren negative; sollte das Zufall sein? Niemand hat 



Richtung des wissenschaftlichen Fortschrittes. ly? 

das angenommen; man hat eine allgemeine Erklärung 
versucht, und Lorentz hat sie gefunden; er bewies, daß 
die Glieder erster Ordnung sich zerstören müßten, aber 
das Gleiche ist nicht mit den Gliedern zweiter Ordnung 
der Fall. Darauf hat man genauere Experimente ge- 
macht; auch sie waren negativ; das konnte noch weniger 
Zufall sein; man brauchte eine Erklärung dafür; man 
fand sie; man findet eine solcher immer; an Hypothesen 
ist niemals Mangel. 

Aber das ist nicht genug; wer empfindet nicht, daß 
man auf diese Weise dem Zufalle eine zu große Rolle 
überläßt? Sollte der Zufall auch dieses sonderbare Zu- 
sammentreffen herbeiführen, welches bewerkstelligt, daß 
ein gewisser Umstand gerade zu rechter Zeit die Glieder 
erster Ordnung zerstört und daß ein anderer, völlig ver- 
schiedener, aber ebenso glücklicher Umstand es auf sich 
nimmt, die Glieder zweiter Ordnung zu zerstören? Nein, 
man muß für die einen wie für die anderen dieselbe 
Erklärung finden, und dann drängt uns alles darauf hin 
zu erwägen, daß diese Erklärung gleicherweise für die 
Glieder höherer Ordnung gelten würde und daß die 
gegenseitige Zerstörung dieser Glieder eine strenge und 
absolute ist. 

Der gegenwärtige Zustand der Wissenschaft — 
In der Geschichte der Entwicklung der Physik unter- 
scheidet man zwei entgegengesetze Tendenzen. Einer- 
seits entdeckt man in jedem Augenblicke neue Verbin- 
dungen zwischen den Objekten, welche scheinbar iromer 
getrennt bleiben sollten; die zerstreuten Tatsachen hören 
auf, einander fremd zu sein; sie ordnen sich immer 
mehr zu einem gewaltigen Gebäude. Die Wissenschaft 
strebt nach Einheit und Einfachheit und schreitet in 
dieser Richtung vorwärts. 

Andererseits offenbart uns die Beobachtung täglich 
neue Erscheinungen; diese müssen lange auf einen Platz 



T'i IT. CO» T\ftii iri i. ttr THfn iru. 



xziL GecäuSe ^jf'jfii, üiui maii 



iir-M ^»m^^-'-m* 



am. ihmsiL Fla3 xa mg*-Tw>w, Socar m dem 
rieiannrwL FnrhrmmigeiL. bei denea ms mmae gzofaca 

cäe Giffi^hanädkigt 



«.«■"«« ^ ^ 



FhrarihiTOen, die won Tw zu Ta^ manniicCi ltiger 
werdesLZ was vir fimr exn^iJL htg^rjwi., wfcd wieder konk- 
giizTm, TTiff c5e Wcaaenacha&sttecc jciiembarnacklEaiiii^- 
Weiizrie von. öeaen. beiden, egtgegen i i e ai e tx a sn Tett- 
4Tni'/.tTi.. iffi* abwecitaetnfci zil '-rt"iinn^<h»*r»*<i scbenieiu wird 
den. ses^ darvontra^en? Wenn «fie erste äeet^ ist die 
WisBenactia& nxoeticn: aber ^t^'-^f^ ^c ans <ä:TQn a. pnon 

^nr^n SewexSw. Trrrrf TTraTt VrtTtTt firCQDHI» *^A uffr ittk^ IPCZ^ 

aebtfrn benxnhi: haben, der Naszr wiiSar Jums ü l WiILeii 
unser Ehmextsideal anmcswaneen. dafi wir dmti i die 
ittriigpnt^p Flut unserer neuen E^eiciicänier äberwilc^t 
wenfen. cafi wir deffhalh darauf iremcitoen mnssen. «fieae 
nenen Eraciiexnimsen rn Tinser Sysoem. erngnordnen, ¥iei- 
menr unser L5eal anheben und so die Wssensciiaft anf 
<Ss Reziaxnenms ^ron unzahliä:en Einzelex^aenosen ze- 



Auf diese Frage können wir keine Ancworc geben. 
AILes was wir run können, isc die Wissenschair ipon hgiite 
zn beooacinen und äe ntit der W^ssenscnatr von gestern 
zn ¥errfeicf!en> Aus dKser Prüfung kOnnen wir zweäSid»- 
ahne einige FnnmtDetqng enmehmen. 

Vor einem halben T^ihrhrmdert he^:% man ^crofie Hoff- 
nmigen. Dbs Entdeckung der Froaltung der Energie 
und üxrer VerwandLnngen haze uns die* Einheit der 
Skiaä offienbarL Sie seig%' uns. dafi die Eischeinnngett 
der Wanne steh, dnrdi moiekuIare Bewegtingen erklären 
oefien. WeLcmes die Xaror dieser Bewesamsen war. 
wufite man nirhr genan, aber man zweifelte nii^c daran^ 
dafi man es bald wissen wurde. Für das Liciir schien 
der VeEsach völlig geimigen. Was die Elekrizitar be- 



Licht, Elektrizität, Magnetismus. lye 

traf, so war man weniger vorgeschritten. Die Elektrizität 
zeigte den engsten Zusammenhang mit dem Magnetismus. 
Das war ein bedeutender Schritt vorwärts der Einheit 
zu, und ein entscheidender Schritt. Aber wie sollte die 
Elektrizität ihrerseits in die allgemeine Einheit eintreten, 
wie sollte sie sich in den universellen Mechanismus ein- 
fügen? Davon hatte man keine Idee. Die Möglichkeit 
dieser Reduktion wurde indessen von niemandem an- 
gezweifelt, man hatte eben den Glauben an die Sache. 
Was schließlich die molekularen Eigenschaften materieller 
Körper angeht, so schien da die Reduktion einfacher 
zu sein, aber alle Einzelheiten blieben sozusagen im 
Nebel. Mit einem Worte: die Hoffnungen gingen weit, 
sie waren lebhaft, aber sie waren unbestimmt. 

Was sehen wir nun heute? 

Vor allem einen ersten Fortschritt, einen ungeheueren 
Fortschritt. Die Beziehungen zwischen Elektrizität und 
Licht sind jetzt bekannt; die drei Gebiete: Licht, Elek- 
trizität und Magnetismus, die früher getrennt waren, 
bilden jetzt ein Ganzes ; und dieser Zusaromenhang scheint 
endgültig fest zu stehen. 

Diese Eroberung hat uns jedoch einige Opfer ge- 
kostet. Die optischen Erscheinungen ordnen sich als 
besondere Fälle unter die elektrischen Erscheinungen 
ein; solange sie isoliert blieben, war es leicht, sie 
durch Bewegungen zu erklären, welche man in allen 
Einzelheiten zu erkennen glaubte, das ging ganz von 
selbst; aber eine Erklärung muß, um annehmbar zu sein, 
sich ohne Mühe auf das ganze elektrische Gebiet aus- 
dehnen lassen. Das geht jedoch nicht ohne Hindemisse. 

Das Befriedigendste ist die Lorentzsche Theorie; sie 
ist ohne Widerspruch diejenige, welche am besten von 
den bekannten Tatsachen Rechenschaft gibt, sie ist die- 
jenige, welche die größeste Anzahl wirklicher Beziehungen 
zu Tage fördert, von ihr wird man bei der definitiven 



176 rV, 10. Theorien der modernen Physik. 

Konstruktion des Gebäudes am meisten beibehalten. 
Nichtsdestoweniger besitzt sie einen ersten Fehler, den 
ich weiter oben andeutete: sie ist im Widerspruche mit 
dem Newtonschen Prinzipe von der Gleichheit der Wir- 
kung und Gegenwirkung; oder vielmehr dieses Prinzip 
wäre nach der Ansicht von Lorentz auf die Materie 
allein nicht anwendbar; damit das Prinzip wahr würde, 
müßte man von den durch den Äther auf die Materie 
ausgeübten Wirkungen Rechenschaft geben und ebenso 
von der Gegenwirkung der Materie auf den Äther (vgl. 
S. 172). Jedoch bis auf weiteres können wir annehmen, 
daß sich die Dinge nicht so abspielen werden. 

Wie dem auch sei, vermöge der Lorentzschen Theorie 
finden sich die Resultate Fizeaus über die Optik der 
bewegten Körper, die Gesetze der normalen und ano- 
malen Dispersion und Absorption untereinander und mit 
den anderen Eigenschaften des Äthers durch Bande ver- 
knüpft, welche ohne Zweifel nicht mehr zerreißen werden. 
Wir bemerken die Leichtigkeit, mit welcher das neue 
Zeemansche Phänomen seinen Platz bereit fand und sogar 
half, die magnetische Rotation von Faraday dem Systeme 
einzuordnen, welche sich den Anstrengungen Maxwells 
gegenüber rebellisch verhalten hatte; diese Leichtigkeit 
beweist zur Genüge, daß die Lorentzsche Theorie kein 
künstlicher, zur Auflösung bestimmter Bau ist. Man 
muß sie vermutlich modifizieren, aber man braucht sie 
nicht zu zerstören.®^) 

Lorentz kannte keinen anderen Ehrgeiz, als durch 
seine Theorie die ganze Optik und die ganze Elektro- 
dynamik der bewegten Körper gleichzeitig zu umfassen; 
er hatte nicht die Absicht, eine mechanische Erklärung 
dieser Erscheinungen abzugeben. Larmor ging weiter; 
indem er die Lorentzsche Theorie im wesentlichen bei- 
behielt, impfte er ihr sozusagen die Ideen Mac-CuUaghs 
über die Richtung der Ätherbewegungen ein. Für ihn 



Mechanische Erklärungen. j^y 

liatte die Geschwindigkeit des Äthers dieselbe Richtung 
und dieselbe Größe wie die magnetische Kraft. So 
scharfsinnig dieser Versuch auch war, so besteht der 
Fehler der Lorentzschen Theorie dennoch fort und wird 
immer schwerwiegender. Nach Lorentz wußten wir nicht, 
welcher Art die Atherbewegungen sind; dank dieser 
Unwissenheit konnten wir die Bewegungen als solche 
voraussetzen, welche die Bewegung der Materie aus- 
gleichen und dadurch die Gleichheit zwischen Wirkung 
und Gegenwirkung wiederherstellen. Nach Larmor 
kennen wir die Ätherbewegungen, und wir können fest- 
stellen, daß die Ausgleichung unmöglich ist.®^ 

Soll das heißen, daß eine mechanische Erklärung 
unmöglich ist, wenn Larmors Bemühungen meines Er- 
achtens nach gescheitert sind? Weit gefehlt, ich sagte 
weiter oben, daß eine Erscheinung, welche den beiden 
Prinzipien der Energie und der kleinsten Wirkung ge- 
horcht, eine unendliche Anzahl von mechanischen Er- 
klärungen gestattet (S. i68); ebenso ist es mit den opti- 
schen und elektrischen Erscheinungen. 

Das genügt jedoch nicht: damit eine mechanische 
Erklärung gut sei, muß sie einfach sein; man muß, um 
.sie unter allen Erklärungen, die möglich sind, auszu- 
wählen, andere Gründe haben als die Notwendigkeit, 
eine Wahl zu treffen. Gut, aber eine Theorie, die in 
dieser Hinsicht befriedigt und folglich zu irgend etwas 
dienen könnte, haben wir noch nicht. Sollen wir uns 
darüber beklagen? Das hieße das vorgesteckte Ziel ver- 
gessen; nicht der Mechanismus ist das wahre, einzige 
Ziel, die Einheit ist es. 

Wir müssen also unseren Ehrgeiz einschränken; wir 
wollen nicht versuchen, eine mechanische Erklärung zu 
formulieren; wir wollen uns damit begnügen zu beweisen, 
daß wir eine solche stets finden können, sobald wir nur 
wollen. In diesem Punkte haben wir Erfolg gehabt; das 

Poincare, "Wissenschaft und Hjrpothese. 12 



178 ^9 10« Theorien der modernen Physik. 

Prinzip von der Erhaltung der Energie ist immer von 
neuem bestätigt worden; ein zweites Prinzip ist dazu 
gekommen, nämlich das der kleinsten Wirkung , wenn 
man es in die für die Physik brauchbare Form bringt. 
Auch dieses hat alle Proben bestanden, wenigstens in- 
soweit die umkehrbaren Erscheinungen in Betracht kom« 
men, welche den Gleichungen von Lagrange, d. h. den 
allgemeinsten Gesetzen der Mechanik folgen. 

Die nicht umkehrbaren Erscheinungen sind viel re^ 
beilischer. Auch sie lassen sich in bestimmter Weise 
ordnen und streben sozusagen der Einheit zu ; das Licht,, 
welches uns über sie aufgeklärt hat, kam uns aus dem 
Camotschen Prinzipe. Lange Zeit beschränkte sich die 
Thermodynamik auf das Studium der Ausdehnung der 
Körper und ihrer Zustandsänderungen. Seit einiger Zeit 
ist sie kühner geworden und hat ihr Gebiet beträchtlich 
erweitert. Wir verdanken ihr die Theorie der galvani- 
schen Säule und diejenige der thermoelektrischen Er- 
scheinungen; es gibt in der ganzen Physik keinen Winkel, 
den sie nicht aufgeklärt hätte, und sie wagt sich sogar 
an die Chemie, Überall herrschen dieselben Gesetze; 
überall findet man unter der Mannigfaltigkeit der Er- 
scheinungen das Camotsche Prinzip; überall findet man 
auch diesen so völlig abstrakten Begriff der Entropie, 
welche ebenso allumfassend ist wie der Begriff der 
Energie und gleich wie sie etwas wirklich Vorhandenes 
zu verdecken scheint.®^ Die strahlende Wärme schien 
dem Camotschen Prinzipe entgehen zu wollen, man sah 
aber neuerdings, daß sie sich denselben Gesetzen fügte. 

Dadurch sind uns neue Analogien erschlossen, welche 
sich oft bis ins Kleinste verfolgen lassen; der Ohmsche 
Widerstand gleicht der Zähigkeit der Flüssigkeiten; die 
Hysterisis würde mehr der Reibung fester Körper gleichen. 
Auf alle Fälle scheint die Reibung einen Typus darzu- 
stellen, auf den sich die verschiedensten nicht umkehre 



Nicht umkehrbare Prozesse. j^q 

baren Erscheinungen beziehen lassen, und diese Ver- 
wandtschaft ist wirklich und tiefgehend. 

Man hat auch eine eigentlich mechanische Erklärung 
für diese Erscheinungen gesucht, obgleich sich dieselben 
dafür nicht zu eignen scheinen. Um die mechanische 
Erklärung aufzufinden, mußte man voraussetzen, daß die 
Nichtumkehrbarkeit nur scheinbar ist, daß nämlich die 
Elementarerscheinungen umkehrbar sind und den be- 
kannten Gesetzen der Dynamik gehorchen. Aber die 
Elemente sind außerordentlich zahlreich und vermischen 
sich mehr und mehr miteinander, und zwar derart, daß 
für unsere blöden Augen sich jeder Unterschied zu ver- 
wischen scheint, d. h. daß alles scheinbar in gleichem 
Sinne vorwärts geht, ohne Hoffnung auf Umkehr. Die 
scheinbare Nichtumkehrbarkeit ist also nur ein Effekt des 
Gesetzes der großen Zahlen. Nur ein Wesen, dessen 
Sinne unendlich feinfühlig wären, (wie der imaginäre Dämon 
Maxwells) könnte dieses unentwirrbare Knäuel in seine 
Bestandteile auflösen und das Weltsystem zur Umkehr 
veranlassen. 

Diese Auffassung, welche sich an die kinetische 
Theorie der Gase anschließt, hat große Anstrengungen 
gekostet und hat sich im ganzen als wenig fruchtbar er- 
wiesen; aber sie kann es werden. Hier ist nicht der 
Ort, zu prüfen, ob sie nicht zu Widersprüchen führt 
und ob sie mit der wahren Natur der Dinge verträg- 
lich ist. 

Wir wollen die Aufmerksamkeit auf die originellen 
Ideen von Gouy über die Brownsche Bewegung lenken. 
Nach diesem Gelehrten würde diese seltsame Bewegung 
dem Camotschen Prinzipe entschlüpfen, die Teilchen, 
welche er in Bewegung setzt, wären bedeutend kleiner 
als die Knoten in dem erwähnten verworrenen Knäuel; 
die Teilchen würden also fähig sein, diese Knoten zu 
entwirren und dadurch das Weltsystem zur Umkehr auf 

12* 



l8o IV, 10. Theorien der modernen Physik. 

seinen Bahnen und in seinen Zuständen zu veranlassen. 
Man möchte glauben, den Maxwellschen Dämon bei der 
Arbeit zu sehen.^) 

Im ganzen lassen sich die von altersher bekannten 
Gesetze immer besser klassifizieren; aber neue Erschei- 
nungen verlangen ihren Platz ; die meisten von ihnen, 
wie diejenige von Zeeman, haben ihn sofort gefunden. 

Aber wir haben außerdem die Kathodenstrahlen, die 
X-Strahlen, die Strahlen des Uraniums und des Radiums. 
Hierin liegt eine ganze Welt, die niemand vermutete. 
Was für unerwartete Gäste muß man da beherbergen! 

Noch kann niemand voraussehen, welchen Platz sie 
einnehmen werden. Aber ich glaube nicht, daß sie die 
allgemeine Einheit stören, ich glaube vielmehr, daß sie 
diese Einheit vervollkommnen werden. Einerseits scheinen 
die neuen Strahlungserscheinungen mit den Luminiscenz^ 
erscheinungen zusammenzuhängen, sie erregen nicht nur 
die Fluorescenz, sondern sie kommen sogar oft unter 
denselben Bedingungen wie diese zu stände. 

Andererseits sind sie ebenfalls nicht ohne Verwandt- 
schaft mit der Ursache, welche den elektrischen Funken 
unter der Einwirkung des ultravioletten Lichtes auf- 
sprühen läßt. 

Endlich, und hauptsächlich, glaubt man in diesen 
Erscheinungen wirkliche Ionen zu erbliken, welche sich 
in der Tat mit unvergleichlich viel größeren Geschwin- 
digkeiten bewegen als in den Elektrolyten. 

Das alles ist noch unbestimmt, aber das alles wird 
genauer präcisiert werden. 

Die Phosphorescenz und die Wirkung des Lichtes 
auf den Funken gehören in ein etwas isoliertes, von den 
Forschern deshalb ziemlich vernachlässigtes Gebiet. Man 
kann jetzt hoffen, daß man einen neuen Weg bahnt, der 
die Verbindungen dieser Gebiete mit der universellen 
Wissenschaft erleichtert.®^) 



Einordnimg neuer Tatsachen. i3i 

Wir werden nicht nur neue Erscheinungen entdecken, 
sondern in denjenigen, welche wir bereits zu kennen 
glauben, werden sich ungeahnte Ausblicke eröffnen. Im 
freien Äther bewahren die Gesetze ihre majestätische 
Einfachheit; aber die eigentliche Materie erscheint immer 
komplizierter; alles, was man davon, sagt, ist stets nur 
annähernd, und jeden Augenblick verlangen unsere For- 
meln neue Glieder. 

Aber deshalb ist der Rahmen noch nicht zerbrochen, 
der unsere allgemeinen Gesetze zusammenhält; die Be- 
ziehungen, welche wir zwischen scheinbar einfachen Ob- 
jekten erkannten, bestehen noch immer zwischen diesen 
selben Objekten, nachdem wir ihre Kompliziertheit er- 
kannt haben, und darauf allein kommt es an. Zwar 
werden unsere Gleichungen immer komplizierter, um sich 
immer näher an die Kompliziertheit der Natur anzu- 
schließen; aber in den Beziehungen, welche gestatten, 
diese Gleichungen auseinander abzuleiten, ist nichts ge- 
ändert. Mit einem Worte: die Form dieser Gleichungen 
hat standgehalten. 

Nehmen wir die Gesetze der Reflexion zum Beispiel. 
Fresnel begründete sie durch eine einfache und ver- 
lockende Theorie, welche die Erfahrung zu bestätigen 
schien. Seitdem haben gei^auere Nachforschungen er- 
wiesen, daß diese Verifikation nur annähernd war; diese 
Nachforschungen zeigen überall Spuren elliptischer Polari- 
sation. Aber dank der Hilfe, die uns die erste Annähe- 
rung gab, fand man sofort die Ursache dieser Unregel- 
mäßigkeit; dieselbe liegt in der Existenz einer Ubergangs- 
schicht an der Grenze zweier optisch verschiedenen 
Medien, und die Fresnelsche Theorie bestand in allem, 
was sie Wesentliches hatte, weiter.®^) 

Nur kann man nicht umhin, folgendes zu überlegen: 
alle diese Beziehungen wären unbemerkt geblieben, wenn 
man anfangs von der Kompliziertheit der Objekte, die. 



IjA rV, 10. Theorien der modernen Physik. 

im Gebäude warten, und manchmal muß man eine Ecke 
niederreißen, um ihnen Platz zu machen. Sogar in den 
bekannten Erscheinungen, bei denen uns unsere groben 
Sinneswerkzeuge die Gleichartigkeit zeigten, bemerken 
wir Einzelheiten, die von Tag zu Tag mannigfaltiger 
werden; was wir für einfach hielten, wird wieder kom- 
pliziert, und die Wissenschaft strebt scheinbar nach Mannig- 
faltigkeit und Kompliziertheit. 

Welche von diesen beiden entgegengesetzten Ten- 
denzen, die abwechselnd zu triumphieren scheinen, wird 
den Sieg davontragen? Wenn die erste siegt, ist die 
Wissenschaft möglich; aber nichts gibt uns davon a priori 
einen Beweis, und man kann fürchten, daß wir uns ver- 
geblich bemüht haben, der Natur wider ihren Willen 
unser Einheitsideal aufzuzwängen, daß wir durch die 
steigende Flut unserer neuen Reichtümer überwältigt 
werden, daß wir deshalb darauf verzichten müssen, diese 
neuen Erscheinungen in unser System einzuordnen, viel- 
mehr unser Ideal aufgeben und so die Wissenschaft auf 
die Registrierung von unzähligen Einzelerträgnissen re- 
duzieren. 

Auf diese Frage können wir keine Antwort geben. 
Alles was wir tun können, ist, die Wissenschaft von heute 
zu beobachten und sie mit der Wissenschaft von gestern 
zu vergleichen. Aus dieser Prüfung können wir zweifels- 
ohne einige Ermunterung entnehmen. 

Vor einem halben Jahrhundert hegte man große Hoff- 
nungen. Die Entdeckung der Erhaltung der Energie 
und ihrer Verwandlungen hatte uns die Einheit der 
Kraft offenbart. Sie zeigte uns, daß die Erscheinungen 
der Wärme sich durch molekulare Bewegungen erklären 
ließen. Welches die Natur dieser Bewegungen war, 
wußte man nicht genau, aber man zweifelte nicht daran, 
daß man es bald wissen würde. Für das Licht schien 
der Versuch völlig gelungen. Was die Elektrizität be- 



Licht, Elektrizität, Magnetismus. lyc 

traf, so war man weniger vorgeschritten. Die Elektrizität 
zeigte den engsten Zusammenhang mit dem Magnetismus. 
Das war ein bedeutender Schritt vorwärts der Einheit 
zu, und ein entscheidender Schritt. Aber wie sollte die 
Elektrizität ihrerseits in die allgemeine Einheit eintreten, 
wie sollte sie sich in den universellen Mechanismus ein- 
fügen? Davon hatte man keine Idee. Die Möglichkeit 
dieser Reduktion wurde indessen von niemandem an- 
gezweifelt, man hatte eben den Glauben an die Sache. 
Was schließlich die molekularen Eigenschaften materieller 
Körper angeht, so schien da die Reduktion einfacher 
zu sein, aber alle Einzelheiten blieben sozusagen im 
Nebel. Mit einem Worte: die Hoffnungen gingen weit, 
sie waren lebhaft, aber sie waren unbestimmt. 

Was sehen wir nun heute? 

Vor allem einen ersten Fortschritt, einen ungeheueren 
Fortschritt. Die Beziehungen zwischen Elektrizität und 
Licht sind jetzt bekannt; die drei Gebiete: Licht, Elek- 
trizität und Magnetismus, die früher getrennt waren, 
bilden jetzt ein Ganzes ; und dieser Zusammenhang scheint 
endgültig fest zu stehen. 

Diese Eroberung hat uns jedoch einige Opfer ge- 
kostet. Die optischen Erscheinungen ordnen sich als 
besondere Fälle unter die elektrischen Erscheinungen 
ein; solange sie isoliert blieben, war es leicht, sie 
durch Bewegungen zu erklären, welche man in allen 
Einzelheiten zu erkennen glaubte, das ging ganz von 
selbst; aber eine Erklärung muß, um annehmbar zu sein, 
sich ohne Mühe auf das ganze elektrische Gebiet aus- 
dehnen lassen. Das geht jedoch nicht ohne Hindemisse. 

Das Befriedigendste ist die Lorentzsche Theorie; sie 
ist ohne Widerspruch diejenige, welche am besten von 
den bekannten Tatsachen Rechenschaft gibt, sie ist die- 
jenige, welche die größeste Anzahl wirklicher Beziehungen 
zu Tage fördert, von ihr wird man bei der definitiven 



184 ^' ^^* ^^ Wahrscheinlichkeitsrechnimg. 

der Glaube an die Einfachheit in unseren Verallgemei* 
nerungen spielt. Wir haben ein einfaches Gesetz in 
einer ziemlich großen Anzahl von besonderen Fällen 
verifiziert; wir können unmöglich zulassen, daß diese so 
oft wiederholte Bestätigung ein bloßer Glückszufall 
sei . . ." (S. 151). 

So befindet sich in einer Menge von Fällen der 
Physiker in derselben Lage wie der Spieler, wenn er 
seine Chancen berechnet. Immer, wenn er induktive 
Schlüsse zieht, muß er mehr oder weniger bewußt die 
Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden. 

Darum muß ich eine Zwischenbetrachtung einschieben 
und unser Studium über die Methode in den physikali- 
schen Wissenschaften unterbrechen, um etwas näher zu 
untersuchen, was diese Rechnungsart bedeutet und in- 
wieweit sie Vertrauen verdient. 

Schon der Name allein: Wahrscheinlichkeitsrechnung, 
enthält ein Paradoxon: die Wahrscheinlichkeit ist im 
Gegensatze zur Gewißheit etwas, das wir nicht kennen, 
und wie soll man berechnen, was man nicht kennt? 
Dennoch haben sich viele der bedeutendsten Gelehrten 
mit dieser Rechnung beschäftigt, und man kann nicht 
leugnen, daß die Wissenschaft daraus Nutzen zog. Wie 
erklärt sich dieser scheinbare Widerspruch? 

Ist die Wahrscheinlichkeit definiert? Kann sie defi- 
niert werden? Und wenn sie nicht definierbar ist, wie 
kann man wagen, darauf Schlüsse zu bauen? Man wird 
sagen, daß die Definition sehr einfach sei: die Wahr- 
scheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der 
Anzahl der diesem Ereignisse günstigen Fälle zur Ge- 
samtzahl der möglichen Fälle. 

Ein einfaches Beispiel genügt, um diese Definition 
als unvollständig erscheinen zu lassen. Ich werfe zwei 
Würfel; welches ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß 
der eine der beiden Würfel wenigstens „sechs** zeigen 



Definitionen. 185 

wird? Jeder Würfel kann zum mindesten sechs ver- 
schiedene Zahlen werfen; die Zahl der möglichen Fälle 
ist 6 X 6 = 36; die Zahl der günstigen Fälle ist 11; die 

Wahrscheinlichkeit ist also -7- 

36 

Damit haben wir die korrekte Lösung. Aber kann 
ich nicht ebensogut sagen: Die von den beiden Wür- 

6 X 7 

fein geworfenen Zahlen können =21 verschiedene 

Kombinationen bilden? Unter diesen Kombinationen 
sind 6 günstige; die Wahrscheinlichkeit ist also — 

Warum ist die erste Art, die möglichen Fälle zu 
überzählen, berechtigter als die zweite? Jedenfalls klärt 
uns unsere Definition darüber nicht auf. 

Man wird so darauf geführt, diese Definition zu ver- 
vollständigen, indem man sagt: „. . . zur Gesamtzahl 
der möglichen Fälle, vorausgesetzt, daß diese Fälle gleich 
wahrscheinlich sind." Wir sind also darauf gekommen, 
das Wahrscheinliche durch das Wahrscheinliche zu 
definieren. 

Woher wissen wir, daß zwei mögliche Fälle gleich 
wahrscheinlich sind? Wissen wir es durch Überein- 
kommen? Wenn wir zu Beginn eines jeden Problems 
eine dem Übereinkommen entsprechende deutliche Fest- 
setzung machen, wird alles gut gehen; wir brauchen nur 
die Regeln der Arithmetik und der Algebra anzuwenden, 
und wir können die Rechnung zu Ende führen, ohne 
daß an unseren Resultaten zu zweifeln wäre. Aber 
wenn wir die geringste Anwendung machen wollen, 
müssen wir beweisen, daß unsere Festsetzung berechtigt 
war, und wir befinden uns derselben Schwierigkeit gegen- 
über, die wir umgehen wollten. 

Kann man behaupten, daß der gesunde Menschen- 
verstand genügt, um uns zu lehren, welcher Art das zu 
treffende Übereinkommen sein muß? Auf diese Frage 



l86 rV, II. Die Wahrsclieinlichkeitsrechnung. 

ist nicht leicht zu antworten. Bertrand liebte es, sich 
mit einfachen Problemen folgender Art zu beschäftigen: 
„Welches ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einem 
gegebenen Kreise eine willkürlich gezogene Sehne größer 
ausfalle als die Seite des dem Kreise einbeschriebenen 
gleichseitigen Dreiecks?" Der berühmte Mathematiker hat 
nacheinander zwei Übereinkommen getroffen, welche 
sich dem gesunden Menschenverstände als gleich gut 
aufzudrängen schienen, und er fand mittelst der einen 

Festsetzung die Wahrscheinlichkeit gleich — , mittelst der 

z 

anderen gleich — ®^) 

Aus alledem scheint mit Notwendigkeit die Folge- 
rung hervorzugehen, daß die Wahrscheinlichkeitsrechnung 
eine nutzlose Wissenschaft ist, daß man dem dunkeln 
Instinkte mißtrauen muß, den wir gesunden Menschen- 
verstand nennen, und von welchem wir verlangen, daß 
er unsere Festsetzungen legitimieren soll. 

Aber diese Folgerung können wir nicht unterschreiben ; 
diesen dunkeln Instinkt können wir nicht übergehen; 
ohne ihn wäre die Wissenschaft unmöglich, ohne ihn 
könnten wir ein Gesetz weder entdecken, noch es an- 
wenden. Haben wir z. B. das Recht, das Newtonsche 
Gesetz auszusprechen ? Zweifellos , zahlreiche Beob- 
achtungen stimmen damit überein; aber ist dieses Gesetz 
nicht ein einfacher Glückszufall? Wie wollen wir über- 
haupt wissen, ob dieses seit Jahrhunderten richtige Gesetz 
im nächsten Jahre noch richtig sein wird? Auf diese 
Einwendung kann man nichts antworten als: „Das ist 
sehr unwahrscheinlich." 

Lassen wir nun das Gesetz gelten; auf Grund des- 
selben glaube ich die Stellung des Jupiters während 
eines Jahres berechnen zu können. Habe ich ein Recht 
dazu? Wer sagt mir, ob nicht eine gigantische, von einer 



Interpolation. Theorie der Gase. jgy 

riesigen Geschwindigkeit getriebene Masse im Laufe 
dieses Jahres unserem Sonnensysteme so nahe kommt, 
daß sie unerwartete Störungen verursacht? Auch hier 
kann man nichts antworten als: ,,Das ist sehr unwahr- 
scheinlich." 

Somit wären alle Wissenschaften nur unbewußte An- 
wendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung; wenn man 
diese Rechnungsart verwirft, so verwirft man damit die 
ganze Wissenschaft. 

Ich werde weniger bei solchen wissenschaftlichen 
Problemen verweilen, bei denen das Eingreifen der 
Wahrscheinlichkeitsrechnung klarer zu Tage tritt. Ein sol- 
ches ist in erster Linie das Problem der Interpolation, 
in welcher man dazwischenliegende Werte zu erraten 
sucht, wenn eine gewisse Anzahl von Werten einer Funk- 
tion bekannt ist. 

Ich erwähne ebenso die berühmte Theorie der Be- 
obachtungsfehler, auf welche ich weiterhin zurückkomme ; 
die kinetische Theorie der Gase, eine wohlbekannte 
H)rpothese, bei der man voraussetzt, daß jedes Gas- 
molekül eine außerordentlich komplizierte Bahn beschreibt, 
bei welcher jedoch nach dem Gesetze der großen Zahlen 
die durchschnittlichen und allein zu beobachtenden Er- 
scheinungen einfachen Gesetzen gehorchen, z. B. den 
Gesetzen von Mariotte und Gay-Lussac.^) 

Alle diese Theorien beruhen auf dem Gesetze der 
großen Zahlen, und die Wahrscheinlichkeitsrechnung 
würde sie unwiderstehlich in ihren Untergang mitreißen. 
Zwar haben sie nur ein beschränktes Interesse, und, ab- 
gesehen von der Anwendung auf die Interpolation, wären 
das Verluste, zu denen man sich entschließen könnte. 

Aber, wie ich weiter oben sagte, würde es sich nicht 
nur um diese speziellen Opfer handeln, sondern die 
Rechtmäßigkeit der ganzen Wissenschaft würde zweifel- 
los in Frage gestellt werden. 



l88 ^> ^l« ^i® Walirschemliclikeitsrecünung. 

Ich sehe sehr wohl, daß man sich auf folgende Ober- 
legung berufen könnte: „Wir sind Unwissende und danach 
müssen wir handeln. Um handeln zu können, haben 
wir nicht Zeit zu einer Untersuchung, die genügen würde, 
um unsere Unwissenheit zu beseitigen; eine solche Unter- 
suchung würde eben eine unendliche Zeit kosten. Wir 
müssen also eine Entscheidung treffen, ohne die nötigen 
Kenntnisse zu haben; man muß es auf gut Glück tun 
und nach Regeln handeln, über deren Berechtigung man 
sich nicht klar ist. Ich weiß nicht, daß diese oder jene 
Sache richtig ist, aber ich weiß, daß es für mich 
das beste ist zu handeln, als ob sie richtig wäre.*' 
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung und folglich auch die 
Wissenschaft hätte dann nur noch einen praktischen 
Wert. 

Unglücklicherweise verschwindet hiermit die Schwierig- 
keit noch nicht: ein Spieler will einen Zug versuchen; 
er fragt mich um Rat. Wenn ich ihm einen solchen 
gebe, so folge ich der Wahrscheinlichkeitsrechnung, aber 
ich kann ihm für den Erfolg nicht garantieren. Das 
nenne ich die subjektive Wahrscheinlichkeit. In 
diesem Falle kann man sich mit der Erklärung begnügen, 
die ich flüchtig berührte. Aber ich setze voraus, daß 
ein Beobachter dem Spiele beiwohnt, daß er alle Züge 
des Spiels notiert und daß das Spiel sich lange hin- 
zieht; wenn er nun das Facit aus seinen Notizen zieht, 
wird er bestätigen, daß die Tatsachen sich gemäß den 
Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vollzogen haben. 
Das nenne ich die objektive Wahrscheinlichkeit^ 
und diese Erscheinung bedarf der weiteren Erklärung. 

Es bestehen zahlreiche Versicherungsgesellschaften, 
welche die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung an- 
wenden, und sie verteilen an ihre Aktionäre Dividenden, 
deren objektive Tatsächlichkeit niemand in Zweifel ziehen 
kann. Um die Dividenden zu erklären, genügt es nicht,. 



Grade der Wahrscheinlichkeit und Unwissenheit. i8q 

sich auf unsere Unwissenheit und auf die Notwendigkeit 
zum Handeln zu berufen. 

Also ist der absolute Skeptizismus nicht berechtigt; 
wir müssen vorsichtig sein, aber wir brauchen nicht in 
Bausch und Bogen zu verwerfen; es ist notwendig, noch 
zu prüfen. 

I . Einteilung der Wahrscheinlichkeitsprobleme. — 
Um die Probleme einzuteilen, welche sich bei Wahr- 
scheinlichkeitsbetrachtungen darbieten, kann man von 
mehreren Gesichtspunkten ausgehen, vor allem von dem 
Gesichtspunkte der Allgemeinheit. Ich sagte 
weiter oben, daß die Wahrscheinlichkeit das Verhältnis 
der Anzahl der günstigen Fälle zu der Anzahl der mög- 
lichen Fälle ist. Was ich in Ermangelung eines besseren 
Wortes die Allgemeinheit nenne, wird mit der Anzahl 
der möglichen Fälle wachsen. Diese Zahl kann endlich 
sein; so ist es z.B., wenn man ein Würfelspiel ins Auge 
faßt, wo die Zahl der möglichen Fälle 36 ist. Das ist 
der erste Grad der Allgemeinheit. 

Wenn wir aber z. B. fragen, was ist die Wahrschein- 
lichkeit dafür, daß ein im Inneren eines Kreises ge- 
legener Punkt sich auch innerhalb des dem Kreise ein- 
geschriebenen Quadrats befinde, so gibt es so viel mög- 
liche Fälle als Punkte im Kreise, also eine Unendlichkeit. 
Das ist der zweite Grad der Allgemeinheit. Die All- 
gemeinheit kann noch weiter ausgedehnt werden: man 
kann nach der Wahrscheinlichkeit dafür fragen, daß eine 
Funktion einer gegebenen Bedingung genügt; dann gibt 
es so viel mögliche Fälle, als man sich verschiedene Funk- 
tionen vorstellen kann. Das ist der dritte Grad der 
Allgemeinheit, zu welchem man sich erhebt, wenn man 
z. B. versucht, aus einer endlichen Anzahl von Beob- 
achtungen das wahrscheinlichste Gesetz abzuleiten. 

Man kann einen gänzlich verschiedenen Standpunkt 
einnehmen. Wenn wir nicht unwissend wären, gäbe es 



IQO rV, II. Die Wahrscheinlichkeitsrechnimg. 

keine Wahrscheinlichkeit; es wäre nur Platz für die 
Gewißheit da; aber unsere Unwissenheit kann keine ab- 
solute sein, denn sonst würde es nicht einmal eine Wahr- 
scheinlichkeit geben; es muß doch wenigstens etwas 
Licht vorhanden sein, um bis zu dieser unsicheren 
Wissenschaft zu gelangen. Die Wahrscheinlichkeitspro- 
bleme können so nach der größeren oder kleineren Tiefe 
unserer Unwissenheit eingeteilt werden. 

In der Mathematik kann man sich bereits Wahrschein- 
lichkeitsprobleme stellen. Was ist die Wahrscheinlichkeit 
dafür, daß die 5. Decimale eines auf gut Glück in einer 
Tabelle aufgeschlagenen Logarithmus gleich 9 sei? 
Man wird nicht zögern zu antworten, daß diese Wahr- 
scheinlichkeit — ist. Hier sind wir im Besitze aller 

IG 

Daten des Problems; wir könnten unseren Logarithmus 
berechnen, ohne die Tabelle zu benutzen; aber wir wollen 
uns nicht die Mühe geben. Das ist der erste Grad der 
Unwissenheit. 

In den physikalischen Wissenschaften ist unsere Un- 
wissenheit schon größer. Der Zustand eines Systems 
hängt in einem gegebenen Augenblicke von zwei Dingen 
ab : von seinem Anfangszustande und dem Gesetze, nach 
welchem dieser Zustand variiert. Wenn wir zu gleicher 
Zeit dieses Gesetz und diesen Anfangszustand kennen 
würden, so hätten wir nur noch ein mathematisches 
Problem zu lösen, und wir würden von neuem zu dem 
ersten Grade der Unwissenheit gelangen. 

Aber es geschieht oft, daß man das Gesetz kennt, 
aber nicht den Anfangszustand. Man fragt z. B., welches 
die gegenwärtige Verteilung der kleinen Planeten ist; 
wir wissen, daß sie seit jeher den Kepplerschen Gesetzen 
unterworfen waren, aber wir wissen nicht, wie ihre an- 
fängliche Verteilung war. 

In der kinetischen Theorie der Gase setzt man vor- 



Wahrscheinlichkeit der Wirkungen nnd Ursachen. iqi 

aus, daß die Gasmoleküle geradlinige Bahnen beschreiben 
und den Gesetzen des Stoßes elastischer Körper ge- 
horchen; da man jedoch nichts von ihren Anfangsge- 
schwindigkeiten weiß, so weiß man auch nichts von ihrer 
gegenwärtigen Geschwindigkeit. 

Nur die Wahrscheinlichkeitsrechnung erlaubt, die 
durchschnittlichen Erscheinungen vorauszusehen, welche 
aus der Kombination dieser Geschwindigkeiten hervor- 
gehen. Das ist der zweite Grad der Unwissenheit. 

Schließlich ist es noch möglich, daß nicht nur die 
Anfangsbedingungen, sondern die Gesetze selbst unbe- 
kannt sind; man erreicht dann den dritten Grad der 
Unwissenheit, und man kann im allgemeinen über die 
Wahrscheinlichkeit einer Erscheinung nichts mehr be- 
haupten. 

Während man in der Regel versucht, aus einer mehr 
oder weniger unvollkommenen Kenntnis der Gesetze ein 
Ereignis vorauszusagen, kommt es ofl vor, daß man die 
Ereignisse kennt und das Gesetz zu erraten sucht; statt 
die Wirkungen aus den Ursachen abzuleiten, will man 
die Ursachen aus den Wirkungen ableiten. Solche 
Probleme beziehen sich auf die sogenannte Wahrschein- 
lichkeit der Ursachen; unter dem Gesichtspunkte der 
wissenschaftlichen Verwertung sind es die interessantesten. 

Ich spiele mit einem Herrn, den ich als vollkommen 
ehrlich kenne, Ecart6; er hat zu geben; welches ist die 
Wahrscheinlichkeit dafür, daß er den König toumiert? 

sie ist -5-; diese Frage bezieht sich auf die Wahr- 

o 

scheinlichkeit der Wirkungen. Ich spiele mit 
einem Herrn, den ich nicht kenne; er hat lomal ge- 
geben und 6mal den König toumiert; wie groß ist die 
Wahrscheinlichkeit dafür, daß er ein Falschspieler ist? 
Das ist eine Frage, die sich auf die Wahrscheinlichkeit 
der Ursachen bezieht. 



102 IV, II. Die Wahrscheinlichkeitsreclinung. 

Man kann behaupten, daß dieses das wesentliche 
Problem der experimentellen Methode ist. Ich habe 
n Werte von x beobachtet und die entsprechenden Werte 
von y ; ich habe festgestellt, daß das Verhältnis der 
letzteren Größen zu den ersteren merklich konstant ist. 
Damit haben wir das Ereignis; was ist dessen Ursache? 

Ist es wahrscheinlich, daß es ein Gesetz gibt, nach 
welchem y proportional zu x ist, und daß die kleinen 
Abweichungen den Beobachtungsfehlem zur Last fallen? 
Das ist eine Art von Frage, die man sich unaufhörlich 
vorlegen muß, und die man unbewußt jedesmal löst, 
wenn man Wissenschaft treibt. 

Ich will jetzt diese verschiedenen Kategorien von 
Problemen an uns vorbeiziehen lassen und dabei nach- 
einander das, was ich weiter oben die subjektive Wahr- 
scheinlichkeit und die objektive Wahrscheinlichkeit nannte, 
näher ins Auge fassen. 

2. Die Wahrscheinlichkeit in den mathematischen 
Wissenschaften. — Die Unmöglichkeit der Quadratur 
des Zirkels ist seit 1882 bewiesen; aber lange vor die- 
sem verhältnismäßig jungen Datum betrachteten alle Ma- 
thematiker diese Unmöglichkeit als derart wahrscheinlich, 
daß die Akademie der Wissenschaften ohne Prüfung die 
leider nur zu zahlreichen Abhandlungen, welche einige 
unglückliche Narren ihr alle Jahre über diesen Gegen- 
stand zusandten, verwarf. ^^) 

Hatte die Akademie unrecht? Gewiß nicht, und sie 
wußte wohl, daß sie durch diese Handlungsweise Gefahr 
laufe, eine ernsthafte Entdeckung zu unterdrücken. Sie 
konnte nur nicht beweisen, daß sie recht hatte; aber 
sie wußte wohl, daß ihr Instinkt sie nicht täuschte. 
Wenn Sie die Akademiker gefragt hätten, so würden sie 
geantwortet haben: „Wir haben die Wahrscheinlichkeit, 
vermöge welcher ein unbekannter Gelehrter das heraus- 
fände, was man seit so langer Zeit vergeblich sucht, 



Subjektive und objektive Wahrscheinlichkeit. ig^ 

mit derjenigen verglichen, daß es einen Narren mehr 
auf der Welt gibt; die zweite Wahrscheinlichkeit schien 
uns die größere zu sein." Das sind wohlerwogene Gründe, 
aber sie haben nichts Matiiematisches an sich, sie sind 
rein psychologischer Natur. 

Und wenn Sie noch eindringlicher mit Ihren Fragen 
geworden wären, so hätten die Akademiker hinzugefügt: 
„Warum soll durchaus ein besonderer Wert einer transcen- 
denten Funktion gleich einer edgebraischen Zahl sein? 
Und wenn 7t Wurzel einer algebraischen Gleichung mit 
rationalen Koeffizienten wäre, weshalb soll dann gerade 
diese eine Wurzel mit der Periode der Funktion sin 2 x 
identisch sein, und nicht auch dasselbe für die anderen 
Wurzeln dieser selben Gleichung gelten?" Kurz, sie hätten 
das Prinzip des zureichenden Grundes in seiner un- 
bestimmtesten Form angerufen. 

Was konnten sie aus diesem Prinzipe schließen? 
Höchstens eine Verhaltungsmaßregel für die Verwertung 
ihrer Zeit, welche sie nützlicher zu ihren regelmäßigen 
Arbeiten verwenden konnten als zur Lektüre phantasti- 
scher Ausarbeitungen, die ihnen berechtigtes Mißtrauen 
einflößten. Was ich jedoch oben als objektive Wahr- 
scheinlichkeit bezeichnete, hat mit diesem ersten Probleme 
nichts zu schaffen. 

Anders ist es mit dem folgenden zweiten Probleme. 

Betrachten wir die 10 000 ersten Logarithmen, wie 
man sie in einer Tabelle findet. Unter diesen 10 000 
Logarithmen wähle ich auf gut Glück eine Zahl aus; 
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ihre dritte 
Decimale eine gerade Zahl sei? Sie werden nicht zögern 

zu antworten, daß diese Wahrscheinlichkeit gleich — ist; 

und wenn Sie in der Tat in einer Tabelle die dritten 
Decimalen dieser 10 000 Zahlen nachsehen, so werden 
Sie ungefähr ebenso viele gerade wie ungerade Ziffern finden. 

Poincare, Wissenschaft und Hypothese. 13 



104 IV, II. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 

Dasselbe kann man auch in folgender Weise aus- 
drücken. Schreiben wir loooo Zahlen auf, die unseren 
IGOOO Logarithmen entsprechen sollen; und zwar sei 
jede dieser Zahlen gleich + i , wenn die dritte Decimale 
des entsprechenden Logarithmus gerade ist, gleich — i 
im entgegengesetzten Falle. Nehmen wir darauf das 
arithmetische Mittel dieser lOOOO Zahlen. Ohne Zögern 
behaupte ich, daß dieses Mittel wahrscheinlich gleich 
Null ausfallt; und wenn ich die Rechnung wirklich 
durchführe, so würde ich bestätigen, daß es sehr 
klein ist. 

Diese Bestätigung ist jedoch überflüssig. Ich hätte 
streng beweisen können, daß dieses Mittel kleiner als 
0,003 sein muß. Um dies Resultat zu erhalten, muß 
man sehr ausgedehnte Überlegungen und Rechnungen 
anstellen, für die hier kein Platz ist; ich verweise des- 
halb auf einen Aufsatz, den ich in der Revue g6n6rale 
des Sciences vom 15. April 1899 veröffentlicht habe. 
Ich will hier nur auf den folgenden Punkt aufmerksam 
machen: Bei dieser Rechnung brauchte ich mich nur 
auf zwei Tatsachen zu stützen, nämlich, daß sowohl der 
erste als auch der zweite Differentialquotient des Loga- 
rithmus in dem betrachteten Intervalle zwischen gewissen 
endlichen Grenzen eingeschlossen bleibt. 

Hieraus ergibt sich die wichtige Folgerung, daß die 
besagte Eigenschaft nicht nur dem 'Logarithmus zukommt, 
sondern ebenso jeder beliebigen stetigen Funktion, denn 
die Differentialquotienten jeder stetigen Funktion bleiben 
zwischen endlichen Grenzen. 

Von diesem Resultate war ich im voraus überzeugt, 
denn erstens hatte ich oft analoge Tatsachen bei anderen 
stetigen Funktionen beobachtet, zweitens hatte ich mehr 
oder weniger unbewußt und unvollkommen in meinem 
Inneren diejenigen Überlegungen angestellt, welche mich 
zu den erwähnten Ungleichheiten geführt haben, wie ja 



Wahrscheinlichkeit in der Mathematik. xgr 

auch ein geübter Rechner vor Vollendung einer Multipli- 
kation sich darüber Rechenschaft gibt, ,,daß das Resultat 
ungefähr so und so viel betragen wird." 

Da nun meine Intuition nur in einem unvollständigen 
Überblicke über eine Reihe wirklicher Schlußfolgerungen 
bestand, so wird man verstehen, weshalb die Beobachtung 
meine Vorhersagungen bestätigt hat und so die objektive 
Wahrscheinlichkeit mit der subjektiven Wahrscheinlichkeit 
in Einklang war. 

Als drittes Beispiel wähle ich das folgende Problem: 
Eine Zahl u werde auf gut Glück gewählt; es sei n eine 
sehr große gegebene ganze Zahl; welches ist der wahr- 
scheinlichste Wert von sinw«? Diese Aufgabe hat an 
sich gar keinen Sinn. Um ihr einen solchen zu geben, 
bedarf es einer Festsetzung; wir setzen also fest: die 
Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zahl u zwischen a 
und a -\- da liegt, sei gleich q>{d)da\ sie sei also propor- 
tional der Größe des unendlich kleinen Intervalles da 
und gleich dieser Größe, multipliziert in eine Funktion q> (a), 
welche nur von a abhängt. Diese Funktion wähle ich 
willkürlich, nur muß ich sie als stetig voraussetzen. Der 
Wert von sin nu bleibt derselbe, wenn u um 27t wächst; 
ich kann also ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen 
voraussetzen, daß u zwischen o und 27t liegt; und so 
komme ich zu der Voraussetzung, daß q){a) eine perio- 
dische Funktion mit der Periode 2 jc sein muß. 

Der gesuchte wahrscheinliche Wert läßt sich leicht 
durch ein einfaches Integral ausdrücken, und es ist nicht 
schwierig zu zeigen, daß dieses Integral kleiner als 

Je ' 

tl 
f 

sei, wo Mk den größten Wert des Ä*®° DifFerentialquotienten 
von g)(«) bezeichnet. Man sieht hieraus, daß unser 
wahrscheinlicher Wert, wenn dieser Ä*® DifFerentialquo- 

13* 



Iq6 rV, II. Die Wahrscheinlichkeitsreclinung. 

tient endlich ist, bei unendlich wachsendem n sich der 
•Grenze Null nähert und zwar schneller als die Zahl 



n'-'' 



Der wahrscheinliche Wert von sin »t^ för große Werte 
von n ist also gleich Null; um diesen Wert zu definieren, 
bedurfte ich einer Festsetzung; aber das Resultat bleibt 
dasselbe, wie auch diese Festsetzung getroffen 
wird. Indem ich voraussetzte, daß die Funktion q){d) 
stetig und periodisch sei, habe ich mir nur unbedeutende 
Beschränkungen auferlegt, und diese Voraussetzungen 
sind in dem Grade natürlich, daß man sich denselben 
kaum entziehen kann. 

Die Betrachtung der drei vorhergehenden Beispiele, 
die untereinander so sehr verschieden waren, läßt uns 
einerseits die Rolle dessen erkennen, was die Philosophen 
das Prinzip des zureichenden Grundes nennen, und läßt 
uns andererseits die Wichtigkeit der Tatsache verstehen, 
daß gewisse Eigenschaften allen stetigen Funktionen ge- 
meinsam sind. Zu demselben Resultate wird uns das 
Studium der Wahrscheinlichkeit in den physikalischen 
Wissenschaften führen. 

3. Die Wahrscheinlichkeit in den physikalischen 
AVissenschaften. — Wir gelangen jetzt zu den Problemen, 
welche sich auf das beziehen, was ich weiter oben den 
zweiten Grad der Unwissenheit nannte; es sind diejenigen 
Probleme, bei denen man das Gesetz kennt, aber nichts 
von dem Anfangszustande weiß. Ich könnte eine Menge 
von Beispielen anführen, will aber nur eines davon nehmen: 
Welches ist die gegenwärtig wahrscheinliche Verteilung 
der kleinen Planeten auf dem Tierkreise? 

Wir wissen, daß die Planeten den Kepplerschen 
Gesetzen gehorchen; wir können sogar, ohne irgend 
etwas an der Natur des Problems zu ändern, voraus- 



Wahrscheinlichkeit in der Physik. jgj 

setzen, daß ihre Bahnen sämtlich kreisförmig sind und 
in derselben Ebene liegen, und daß wir das wissen. 
Wir wissen hingegen absolut nichts über ihre anfangliche 
Verteilung. Indessen zögern wir nicht damit, zu be- 
haupten, daß diese Verteilung heutzutage fast gleich- 
förmig ist. Wie kommen wir dazu? 

Wenn b die Länge eines kleinen Planeten zur An- 
fangszeit, d. h. zur Zeit / = o ist, femer a seine mitt- 
lere Bewegung, so wird seine Länge zur gegenwärtigen 
Zeit, d. h. zur Zeit /, af -\- 5 sein. Wenn man sagt, daß 
die gegenwärtige Verteilung gleichförmig ist, so soll das 
heißen, daß der mittlere Wert des Sinus und des Cosinus 
der Vielfachen von af -]- b gleich Null ist. Warum be- 
haupten wir das? 

Wir wollen uns jeden kleinen Planeten durch einen. 
Punkt in einer Ebene darstellen, und zwar durch den^ 
jenigen Punkt, dessen Koordinaten genau a und b sind^ 
Alle diese darstellenden Punkte sind in einem gewissen^ 
Bezirke der Ebene enthalten, aber da sie sehr zahlreich/ 
sind, wird dieser Bezirk mit Punkten dichte übersät er^ 
scheinen. Sonst wissen wi/ nichts von der Verteilung/ 
dieser Punkte. 

Wie kommt man dazu, die Wahrscheinlichkeitsrech- 
nung auf eine ähnliche Frage anzuwenden? Was ist 
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine gewisse Zahl dar- 
stellender Punkte sich in einem bestimmten Teile" der 
Ebene befindet? In unserer Unwissenheit werden wir 
dazu geführt, eine willkürliche Hypothese zu machen. 
Um die Natur dieser Hypothese verständlich zu machen, 
möge man mir gestatten, an Stelle einer mathematischen 
Formel ein zwar grobes, aber faßliches Bild anzuwenden. 
Denken wir uns, wir hätten über der Oberfläche unserer 
Ebene eine fingierte Materie ausgebreitet, deren Dichtig- 
keit veränderlich ist, sich aber nur auf stetige Weise 
ändert. Wir kommen dahin überein, zu sagen, daß die. 



Iq8 ^f II* ^^ Wahrscheinlichkeitsreclinimg. 

wahrscheinliche Anzahl von darstellenden Punkten, die 
sich auf einem Teile der Ebene befinden, der Menge 
von fingierter Materie, welche sich in diesem Teile be- 
findet, proportional ist. Wenn man dann zwei Bezirke der 
Ebene von gleicher Ausdehnung hat, so werden sich die 
Wahrscheinlichkeiten dafür, daß ein darstellender Punkt 
eines unserer kleinen Planeten sich in dem einen oder 
anderen Bezirke befindet, verhalten wie die durchschnitt- 
lichen Dichtigkeiten der fingierten Materie in dem einen 
oder anderen Bezirke. 

Wir haben dann zwei Verteilungen, eine wirkliche, 
in der die darstellenden Punkte sehr zahlreich und sehr 
gedrängt sind, aber diskret wie die Moleküle der Materie 
in der atomistischen Hypothese; die andere, von der 
Wirklichkeit weit entfernte, in der unsere darstellenden 
Punkte durch eine stetige und fingierte Masse ersetzt 
sind. Diese letztere Verteilung halten wir nicht für wirk- 
lich, aber unsere Unwissenheit verurteilt uns dazu, sie 
anzunehmen. 

Wenn wir irgend welche Idee von der wirklichen Ver- 
teilung der darstellenden Punkte hätten, könnten wir es 
so einrichten, daß in einem Bezirke gewisser Ausdehnung 
die Dichtigkeit dieser stetigen, fingierten Materie der 
Anzahl von darstellenden Punkten nahezu proportional 
ist, oder, wenn man will, der Anzahl von Atomen pro- 
portional sei, welche in diesem Bezirke enthalten sind. 
Das ist unmöglich, und unsere Unwissenheit ist so groß, 
daß wir gezwungen sind, die Funktion willkürlich zu 
wählen, welche die Dichtigkeit unserer fingierten Materie 
definiert. Wir sind nur zu einer Hypothese verpflichtet, 
der wir uns kaum entziehen können; wir werden näm- 
lich voraussetzen, daß diese Funktion stetig ist. Das 
genügt, wie wir sehen werden, um uns eine Schlußfol- 
gerung zu gestatten. 

Welches ist im Augenblicke / die Verteilung der 



Verteilung der kleinen Planeten. iqq 

kleinen Planeten? Oder besser, was ist der wahrschein- 
liche Wert des Sinus der Länge zur Zeit /, d. h. der 
Wert von sin («/ + ^)? Wir haben anfanglich ein will- 
kürliches Obereinkommen getroffen; wenn wir es aber 
annehmen, so ist dieser wahrscheinliche Wert vollkommen 
bestimmt. Zerlegen wir die Ebene in Flächenelemente. 
Betrachten wir den Wert von sin {af -\- b) im Mittelpunkte 
jedes dieser Elemente; multiplizieren wir diesen Wert 
mit der Oberfläche des Elementes und mit der Dichtig- 
keit, welche der fingierten Materie entspricht; und dann 
bilden wir die Summe für alle Elemente der Ebene. 
Diese Summe wird, nach Definition, der wahrscheinliche 
Mittelwert sein, den wir suchten, und der sich hier durch 
ein Doppelintegral ausdrückt. 

Man könnte zuerst glauben, daß dieser mittlere Wert 
von der Wahl der Funktion g> abhängen wird, welche 
die Dichtigkeit der fingierten Materie definiert, und daß 
wir, weil die Definition von q> willkürlich ist, je nach der 
willkürlichen Wahl, die wir treffen, jeden beliebigen mitt- 
leren Wert erhalten können. Es ist jedoch nicht so. 

Eine einfache Rechnung beweist, daß unser Doppel- 
integral sehr rasch abnimmt, wenn / wächst. 

Anfangs war ich nicht klar darüber, welche Hypo- 
these ich in Betreff der Wahrscheinlichkeit dieser oder 
jener Anfangsverteilung machen sollte; aber welcher Art 
auch die gemachte Hypothese sei, das Resultat wird 
immer das gleiche bleiben, und das hilft mir aus der 
Verlegenheit. 

Welches auch die Funktion q) sei, der mittlere Wert 
nähert sich der Null, wenn / wächst, und da die kleinen 
Planeten sicher eine große Anzahl von Umläufen ausge- 
führt haben (so daß / sehr groß ist), so kann ich be- 
haupten, daß dieser mittlere Wert sehr klein sein muß. 

Ich kann q) wählen, wie ich will, jedoch immer mit 
einer Beschränkung: diese Funktion muß stetig sein; und 



200 ^f II* ^^ Wahrschemlichkeitsrechniing. 

in der Tat, vom Gesichtspunkte der subjektiven Wahr- 
scheinlichkeit aus würde die Wahl einer unstetigen 
Funktion unvernünftig gewesen sein; welcher Grund 
würde mich z. B. veranlassen, vorauszusetzen, daß die 
anfangliche Länge genau gleich o® sei, daß ihr Wert 
aber nicht zwischen o® und i® liegen könne. 

Aber die Schwierigkeit erscheint von neuem, wenn 
man sich auf den Standpunkt der objektiven Wahrschein- 
lichkeit stellt, wenn man von unserer imaginären Vertei- 
lung, in der die fingierte Materie als stetig vorausge- 
setzt ist, zur wirklichen Verteilung übergeht, in der 
unsere darstellenden Punkte sich wie diskrete Atome 
verhalten. 

Der mittlere Wert von sin (0/ + b) wird ganz ein- 
fach durch: 

^^ sin (ai + b) 

dargestellt, wo n die Zahl der kleinen Planeten bezeich- 
net. Anstatt eines Doppelintegrals, das sich auf eine 
stetige Funktion bezieht, haben wir eine Summe von 
diskreten Gliedern. Und doch wird niemand ernstlich 
daran zweifeln, daß dieser mittlere Wert tatsächlich sehr 
klein ist. 

Das kommt daher, weil unsere darstellenden Punkte 
dicht gedrängt sind und deshalb unsere diskrete Summe 
im allgemeinen von einem Integral wenig verschieden 
sein wird. 

Ein Integral ist die Grenze, der sich eine Summe 
von Gliedern nähert, wenn die Anzahl dieser Glieder 
unendlich wächst. Wenn die Glieder sehr zahlreich sind, 
so wird die Summe nur sehr wenig von ihrer Grenze, 
d. h. von dem Integrale verschieden sein, und was ich 
von dem letzteren sagte, bezieht sich auch auf die 
Summe selbst. 



Unwahrscheinlicher Anfangszustand. 20 1 

Nichtsdestoweniger gibt es Ausnahmefalle. Wenn 
man z. B. für alle kleinen Planeten: 

^ r=s at 

2 

hätte, so würden alle Planeten zur Zeit / wieder die 

IC 

Länge — haben, und der mittere Wert würde offenbar 

gleich I sein. Zu dem Zwecke müßte man annehmen, 
daß die kleinen Planeten zur Zeit / ==» o sich sämtlich 
auf einer besonderen Spirale mit sehr engen Windungen 
befanden. Jeder wird mir darin beistimmen, daß eine 
derartige anfangliche Verteilung äußerst unwahrscheinlich 
ist, und selbst, wenn man annehmen wollte, daß sie 
wirklich so gewesen sei, so würde die jetzige Verteilung 
(z. B. am I. Januar 1900) nicht gleichförmig ausfallen, 
aber sie würde einige Jahre später wieder gleichförmig 
werden. 

Warum halten wir denn diese anfangliche Verteilung 
für unwahrscheinlich ? Es ist notwendig, das zu erklären, 
denn, wenn wir keinen Grund haben, diese einfaltige 
Hypothese als unwahrscheinlich zu verwerfen, so würde 
alles zusammenstürzen, und wir könnten in Betreff der 
Wahrscheinlichkeit dieser oder jener wirklichen Verteilung 
nichts mehr behaupten. 

Wir müssen uns hier wieder auf das Prinzip des 
zureichenden Grundes berufen, zu welchem man stets 
zurückkehren muß. Wir könnten zulassen, daß zu An- 
fang die Planeten ungefähr in gerader Linie verteilt 
waren; wir könnten zulassen, daß sie unregelmäßig ver- 
teilt waren; aber es scheint, daß es keinen genügenden 
Grund dafür gibt, daß die unbekannte Ursache, welche 
die Planeten entstehen ließ, gemäß einer so regelmäßigen 
und doch so komplizierten Kurve (Spirale mit sehr engen 
Windungen) gewirkt habe, die einzig nur darum so ge- 



202 rV, II. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 

wählt scheinen würde, damit die gegenwärtige Verteilung 
nicht einförmig sei. 

4. Rouge et noir. — Durch die Glücksspiele und 
das Roulette sind Fragen angeregt worden, welche im 
Grunde genommen mit den soeben behandelten voll- 
kommen analog sind. 

Eine Scheibe ist z. B. in eine große Anzahl von 
gleichen Abteilungen eingeteilt, die abwechselnd rot und 
schwarz sind; eine Nadel wird mit großer Kraft in Be- 
wegung gesetzt und, nachdem sie viele Umdrehungen 
gemacht hat, bleibt sie vor einer dieser erwähnten Ab- 
teilungen stehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß diese 

Abteilung rouge sei, ist offenbar — 

Die Nadel dreht sich um einen Winkel -ö-, der meh- 
rere Umgänge umfaßt (also größer als 360 Grad ist); 
ich weiß nicht, welches die Wahrscheinlichkeit dafür ist, 
daß die Nadel mit einer solchen Kraft in Bewegung 
gesetzt werde, daß dieser Winkel zwischen & und d^-\- dd" 
enthalten ist; aber ich kann eine Festsetzung treffen; ich 
kann voraussetzen, daß diese Wahrscheinlichkeit gleich 
(p{d)dd' ist; was die Funktion q>{&) anbelangt, so kann 
ich sie auf ganz willkürliche Art wählen; es gibt nichts, 
was mich in meiner Wahl leiten könnte, jedoch habe 
ich Veranlassung, diese Funktion als stetig vorauszu- 
setzen. 

£s sei e die Länge (gemessen auf dem Umfange 
eines Kreises vom Radius i) jeder roten oder schwarzen 
Abteilung. 

Man muß das Integral von q> (d) dO" berechnen, indem 
man es einerseits auf alle roten Abteilungen, anderer- 
seits auf alle schwarzen Abteilungen ausdehnt, und dann 
die Resultate vergleichen. 

Betrachten wir ein Intervall 2 8, das eine rote und 
die darauf folgende schwarze Abteilung in sich ein- 



Rouge et noir. 203 

schließt. Sei M und m der größte, bezw. der kleinste 
Wert der Funktion q>{^ in diesem Intervalle. Das auf 
die roten Abteilungen ausgedehnte Integral wird kleiner 
als ^Mb sein; das auf die schwarzen Abteilungen aus- 
gedehnte Integral wird größer als ^mt sein; die Dif- 
ferenz wird also kleiner als 2(M — n^B ausfallen. Aber 
wenn die Funktion 9 als stetig vorausgesetzt ist, wenn 
andererseits das Intervall g im Verhältnis zu dem ganzen, 
von der Nadel durchlaufenen Winkel sehr klein ist, so 
wird die Differenz M — m sehr klein sein. 

Die Differenz zwischen den beiden Integralen wird 
also sehr klein sein und die Wahrscheinlichkeit sehr 

nahe an — liegen. 

Man versteht, daß ich, ohne etwas von der Funk- 
tion 9 zu wissen, so handeln kann, als ob die Wahr- 
scheinlichkeit — wäre. Man versteht andererseits, warum 

ein objektiver Zuschauer bei Beobachtung einer gewissen 
Anzahl von Drehungen die Nadel ungefähr ebenso oft 
auf schwarz wie auf rot anhalten sieht. 

Alle Spieler kennen dieses objektive Gesetz; aber 
es verleitet sie zu einem sonderbaren Irrtum, der schon 
oft aufgeklärt ist, und in welchen sie immer wieder 
zurückfallen. Wenn rot z. B. sechsmal hintereinander 
herauskommt, so setzen sie auf schwarz und glauben 
damit einen sicheren Einsatz gemacht zu haben, weil, 
wie sie behaupten, es sehr selten ist, das rot siebenmal 
hintereinander herauskommt. 

Tatsächlich bleibt ihre Wahrscheinlichkeit auf Gewinn 

gleich — Die Beobachtung beweist zwar, daß die 

Serien von siebenmal rot hintereinander sehr selten sind; 
aber die Serien von sechsmal rot hintereinander, worauf 
dann schwarz folgt, sind ebenso selten. Sie haben die 
Seltenheit der Serien von siebenmal rot hintereinander 



204 ^> ''• ^^® Wahrscheinlichkeitsrechnung. 

bemerkt; aber sie haben nicht die Seltenheit der Serien 
von sechsmal rot hintereinander und einmal schwarz be- 
merkt, nur weil dergleichen Serien die Aufmerksamkeit 
weniger auf sich lenken. 

5. Die Wahrscheinlichkeit der Ursachen. Ich 
konmie jetzt zu den Problemen von der Wahrscheinlich- 
keit der Ursachen. Dieselben sind unter dem Gesichts- 
punkte der wissenschaftlichen Anwendung die wichtigsten. 
Wenn z. B. zwei Sterne auf der Himmelskugel einander 
sehr nahe sind, ist dann diese scheinbare Nähe ein 
reiner Zufall, und befinden sich diese Sterne, obgleich 
sie nahezu in derselben Gesichtslinie liegen, tatsächlich 
in sehr verschiedenen Entfernungen von der Erde, und 
sind sie folglich auch voneinander sehr weit entfernt? 
Oder besser gesagt, entspricht dies einer wirklichen 
Nähe? Diese Frage bezieht sich auf die Wahrscheinlich- 
keit der Ursachen. 

Ich erinnere daran, daß wir am Anfange aller Pro- 
bleme über Wahrscheinlichkeit von Wirkungen, die uns- 
bis jetzt beschäftigt haben, immer ein mehr oder minder 
berechtigtes Übereinkommen treffen mußten. Und wenn 
das Resultat meistens, bis zu einem gewissen Grade, 
von diesem Übereinkommen unabhängig war, so lag dies 
daran, daß wir gewisse Annahmen machten, welche uns 
erlaubten, z. B. die diskontinuierlichen Funktionen oder 
gewisse einfaltige Festsetzungen a priori zu verwerfen. 

Wir werden etwas Analoges wiederfinden, wenn wir 
uns mit der Wahrscheinlichkeit der Ursachen beschäfti- 
gen. Eine Wirkung kann durch die Ursache A oder 
die Ursache B hervorgebracht werden. Man hat die: 
Wirkung beobachtet; man verlangt die Wahrscheinlich- 
keit dafür, daß sie der Ursache A entspringt; das ist 
die Wahrscheinlichkeit der Ursache a posteriori. Aber 
ich könnte sie nicht berechnen, wenn nicht ein mehr 
oder minder berechtigtes Übereinkommen mich im vor- 



Wahrscheinlichkeit der Ursachen. 



205 



aus erkennen ließe, welches die Wahrscheinlichkeit a 
priori dafür ist, daß die Ursache A in Wirkung tritt; 
ich meine, die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses 
für jemanden, der die Wirkung noch nicht beobachtet hat. 
Um mich besser auszudrücken, komme ich auf das 
Beispiel des Ecart6- Spieles zurück, das ich weiter oben 
erwähnte; mein Gegner gibt zimi ersten Male und 
toumiert den König; welches ist die Wahrscheinlichkeit 
dafür, daß er ein Falschspieler sei? Die gewöhnlich 

o 

gelehrten Formeln ergeben — , ein offenbar sehr über- 
raschendes Resultat. Aber wenn man die Formeln näher 
prüft, bemerkt man, daß die Rechnung gemacht wurde, 
als hätte ich mich mit der Überzeugung an den 
Spieltisch gesetzt, daß mein Gegner ebenso gut ehr- 
lich, wie unehrlich sein könnte. Das ist eine törichte 
Hypothese, weil ich in solchem Falle gewiß nicht mit 
ihm gespielt haben würde; das erklärt die Absurdität 
der gezogenen Folgerung.^^) 

Das Übereinkommen über die Wahrscheinlichkeit 
a priori war ungerechtfertigt; darum hatte mich die Be- 
rechnung über die Wahrscheinlichkeit a posteriori zu 
einem unstatthaften Resultate geführt. Man sieht die 
Wichtigkeit dieses vorhergegangenen Übereinkommens; 
ich füge sogar hinzu, daß das Problem der Wahrschein- 
lichkeit a posteriori keinen Sinn hat, wenn man kein 
Übereinkommen getroffen hat; man muß ein solches 
immer herstellen, sei es ausdrücklich oder stillschweigend. 

Wir wollen zu einem Beispiele von wissenschaft- 
licherem Charakter übergehen. Ich will ein experimen- 
telles Gesetz bestimmen; wenn ich dieses Gesetz kennen 
würde, so wäre es durch eine Kurve dargestellt; ich 
mache eine bestimmte Anzahl von isolierten Beobach- 
tungen; jede von ihnen wird durch einen Punkt darge- 
stellt. Wenn ich diese verschiedenen Punkte erhalten 



2o6 IV, II. Die Wahrschemlichkeitsrechnung. 

habe, so lasse ich eine Kurve zwischen diesen Punkten 
hindurchgehen, indem ich mich bemühe, mich möglichst 
wenig von den Punkten zu entfernen und dennoch meiner 
Kurve eine regelmäßige Form zu bewahren, d. h. eine 
Form ohne Ecken, ohne zu starke Biegungen, ohne 
plötzliche Veränderung des Krümmungsradius. Diese 
Kurve stellt mir das wahrscheinliche Gesetz dar, und ich 
nehme nicht nur an, daß sie mich diejenigen Werte der 
Funktion kennen lehrt, welche zwischen den beobachteten 
liegen, sondern daß sie mir die beobachteten Werte 
selbst genauer als die direkte Beobachtung darstellt 
(darum zog ich die Kurve nahe an meinen Punkten vor- 
bei und nicht durch die Punkte selbst hindurch). 

Das ist ein Problem der Wahrscheinlichkeit der Ur- 
sachen. Die Wirkungen sind die von mir eingetragenen 
Messungen; sie hängen von der Zusammenwirkung zweier 
Ursachen ab: von dem wirklichen Gesetze der Erschei- 
nung und von den Beobachtungsfehlem. Wenn man 
die Wirkungen kennt, handelt es sich darum, die Wahr- 
scheinlichkeit dafar zu suchen, daß die Erscheinung 
einem gewissen Gesetze gehorcht, und dafür, daß die 
Beobachtungen mit gewissen Fehlem behaftet waren. 
Das wahrscheinlichste Gesetz entspricht dann der ge- 
zogenen Kurve, und der wahrscheinlichste Fehler einer 
einzelnen Beobachtung wird durch die Entfernung des 
ihr entsprechenden Punktes von der Kurve dargestellt. 

Das Problem hätte jedoch keinen Sinn, wenn ich 
mir nicht, noch vor der Beobachtung, eine Idee a priori 
über die Wahrscheinlichkeit dieses oder jenes Gesetzes 
zurechtgelegt hätte, und wenn ich nicht die verschiede- 
nen Möglichkeiten überdacht hätte, die zu Beobachtungs- 
fehlem Veranlassung geben können. 

Wenn meine Instrumente gut sind (und das weiß, 
ich, bevor die Beobachtung begonnen hat), gestatte ich 
meiner Kurve nicht, sich zu sehr von den Punkten^ 



Theorie der Fehler. 



207 



welche die rohen Messungen darstellen, zu entfernen. 
Wenn meine Instrumente jedoch schlecht beschaffen 
sind, könnte ich mich von den Punkten etwas weiter 
entfernen, um eine Kurve mit nicht allzu viel Biegungen 
zu erhalten; ich würde der Regelmäßigkeit ein größeres 
Opfer bringen. 

Warum versuche ich denn eine Kurve mit nicht all- 
zu starken Biegungen zu ziehen? Es geschieht, weil 
ich a priori ein durch eine stetige Funktion dargestelltes 
Gesetz (oder durch eine Funktion, deren höhere Diffe- 
rentialquotienten sehr klein sind), für wahrscheinlicher 
halte als ein Gesetz, das diesen Bedingungen nicht 
genügt. Ohne diesen Glauben hätte das Problem, von 
dem wir sprechen, keinen Sinn; die Interpolation wäre 
unmöglich; man könnte ein Gesetz nicht aus einer end- 
lichen Zahl von Beobachtungen ableiten; die Wissen- 
schaft würde dann aufhören zu existieren. 

Vor fünfzig Jahren hielten die Physiker unter sonst 
gleichen Umständen ein einfaches Gesetz für wahrschein- 
licher als ein kompliziertes Gesetz. Sie beriefen sich 
sogar auf dieses Prinzip zu Gunsten des Mariotteschen 
Gesetzes gegenüber den Experimenten von Regnault. 
Heutzutage haben sie sich von diesem Glauben losge- 
sagt; und doch, wie oft sind sie nicht dazu genötigt zu 
handeln, als ob sie noch diesen Glauben behalten hätten! 
Wie dem auch «ei, was von dieser Tendenz übrig bleibt, 
ist der Glaube an die Stetigkeit, und wir haben gesehen, 
daß die experimentelle Wissenschaft unmöglich wäre, 
wenn dieser Glaube verschwinden würde (vgl. S. I49flf.). 

6. Die Theorie der Fehler. — Wir werden so da- 
zu gefuhrt, von der Theorie der Fehler zu sprechen, 
welche sich direkt an das Problem von der Wahrschein- 
lichkeit der Ursachen anschließt. Auch hier konstatieren 
wir Wirkungen, nämlich eine gewisse Anzahl von nicht- 
übereinstimmenden Beobachtungen, und wir versuchen 



2o8 rV, II. Die "Wahrscheinlichkeitsrechnung. 

die Ursachen zu erraten, und diese liegen einerseits 
in dem wirklichen Werte der zu messenden Größe, 
andererseits in dem Fehler, der bei jeder einzelnen Be- 
obachtung gemacht wurde. Man muß berechnen, welches 
a posteriori die wahrscheinliche Größe jedes Fehlers 
und folglich der wahrscheinliche Wert der zu messenden 
Größe ist. 

Aber nach dem, was ich soeben auseinandersetzte, kann 
man diese Rechnung nicht unternehmen, wenn man nicht 
a priori, d. h. noch bevor man beobachtet, ein Gesetz 
für die Wahrscheinlichkeit der Fehler annimmt. Gibt 
es ein Fehlergesetz? 

Das von allen Rechnern angenommene Fehlergesetz 
ist das Gesetz von Gauß, welches durch eine gewisse 
transcendente Kurve dargestellt wird, die unter dem 
Namen „Glockenkurve" bekannt ist.^^ 

Vorerst ist es jedoch ratsam, sich an die klassische 
Unterscheidung zwischen den systematischen und den 
zufalligen Fehlem zu erinnern. Wenn wir eine Länge 
mit einem zu langen Metermaße messen, werden wir 
immer eine zu kleine Zahl herausbekommen, und es 
nützt nichts, die Messung öfter zu wiederholen; das ist 
ein systematischer Fehler. Wenn wir die Länge mit 
einem genauen Metermaße messen, können wir uns wohl 
täuschen, aber wir werden uns bald um mehr, bald um 
weniger täuschen, und wenn wir den Durchschnitt einer 
großen Anzahl von Messungen nehmen, wird sich der 
Fehler ausgleichen. Das sind zufallige Fehler. 

Es ist klar, daß die systematischen Fehler dem Ge- 
setze von Gauß nicht gehorchen können; aber befolgen 
die zufalligen Fehler dieses Gesetz? Man hat eine 
große Anzahl von Beweisen versucht; fast alle sind grobe 
Trugschlüsse. Man kann trotzdem das Gesetz von Gauß 
beweisen, indem man von folgenden Hypothesen aus- 
geht: der begangene Fehler ist die Resultante sehr vieler 



Systematische und zufallige Fehler. 20Q 

einzelner und unabhängiger Fehler; jeder dieser einzel- 
nen Fehler ist sehr klein und folgt außerdem irgend 
einem Wahrscheinlichkeitsgesetze, nur muß die Wahr- 
scheinlichkeit eines positiven Fehlers dieselbe sein wie 
die Wahrscheinlichkeit eines gleich großen Fehlers von 
entgegengesetztem Vorzeichen. Es ist klar, daß diese 
Bedingungen oft erfüllt werden, aber nicht immer; und 
wir können den Namen der zufalligen Fehler nur für 
die Fehler beibehalten, welche diesen Bedingungen ent- 
sprechen. 

Man sieht, daß die Methode der kleinsten Quadrate 
nicht in allen Fällen berechtigt ist; im allgemeinen miß- 
trauen die Physiker dieser Methode mehr als die Astro- 
nomen. Ohne Zweifel liegt dies daran, daß diese letz- 
teren, abgesehen von den systematischen Fehlem, die 
bei ihnen ebenso wie bei den Physikern vorkommen, 
mit einer äußerst wichtigen Fehlerquelle zu tun haben, 
die gänzlich vom Zufalle abhängt; ich meine die atmo- 
sphärischen Undulationen. Es ist sehr merkwürdig, den 
Meinungsaustausch zwischen einem Physiker und einem 
Astronomen inbezug auf Beobachtungsmethoden an- 
zuhören: Der Physiker ist davon überzeugt, daß eine 
gute Messung besser ist als viele schlechte, und be- 
schäftigt sich vor allem damit, die letzten systematischen 
Fehler mit äußerster Vorsicht zu entfernen, und der 
Astronom antwortet ihm darauf: „Aber Sie können ja 
dann nur eine kleine Anzahl von Sternen beobachten; 
die zufälligen Fehler werden sich nicht ausgleichen". 

Was sollen wir daraus entnehmen? Soll man damit 
fortfahren, die Methode der kleinsten Quadrate anzu- 
wenden? Wir müssen folgendes unterscheiden: wir 
haben alle systematischen Fehler, die wir vermuten 
konnten, entfernt; wir wissen wohl, daß es noch welche 
gibt, aber wir können sie nicht auffinden; dennoch 
müssen wir einen Entschluß fassen und einen definitiven 

Poincar6, Wissenschaft und Hyx)othese. I4 



2IO ^f II* ^6 Wahrschemlichkeitsreclmnng. 

Wert annehmen, welcher als der wahrscheinliche Wert 
betrachtet wird; es ist klar, daß man dafür am besten 
die Gaußsche Methode anwendet. Wir haben nur eine 
praktische, sich auf die subjektive Wahrscheinlichkeit be- 
ziehende Regel anzuwenden. Dagegen läßt sich nichts 
einwenden. 

Aber man will noch weiter gehen und behaupten, 
daß nicht nur der wahrscheinliche Wert so und so groß 
ist, sondern daß auch der wahrscheinliche, dem Resultate 
anhaftende Fehler so und so groß ist Das ist abso- 
lut unberechtigt; das würde nur richtig sein, wenn 
wir sicher wären, daß alle systematischen Fehler ausge- 
merzt sind, und davon wissen wir durchaus nichts. Wir 
haben zwei Serien von Beobachtungen; wenn wir die 
Regel der kleinsten Quadrate anwenden, so finden wir, 
daß der wahrscheinliche Fehler in der ersten Serie zwei- 
mal kleiner als in der zweiten ist. Die zweite Serie 
kann indessen besser wie die erste sein, weil die erste 
vielleicht von einem groben, systematischen Fehler beein- 
flußt ist. Alles, was wir sagen können, ist, daß die erste 
Serie wahrscheinlich besser als die zweite ist, weil 
ihr zufalliger Fehler geringer ist, und daß wir keinen 
Grund haben zu behaupten, der systematische Fehler 
sei für die eine Serie größer als für die andere, denn 
unsere Unwissenheit ist auf diesem Gebiete eine ab- 
solute. 

7. Schlußfolgerungen. — In den vorhergehenden 
Zeilen habe ich viele Probleme aufgestellt, aber keines 
davon gelöst. Ich bedaure dennoch nicht, diese Zeilen 
geschrieben zu haben, denn sie werden den Leser viel- 
leicht dazu veranlassen, über diese verwickelten Fragen 
nachzudenken.^) 

Wie man auch darüber denken mag, gewisse Punkte 
sind doch festgelegt. Um irgend eine Wahrscheinlich- 
keitsrechnung zu unternehmen und um dieser Rechnung 



Die Fresnelsche Theorie. 211 

einen Sinn zu geben, muß man als Ausgangspunkt eine 
Hypothese oder ein Übereinkommen zulassen, welches 
immer eine gewisse Willkürlichkeit hineinbringt. In der 
Wahl dieses Übereinkommens können wir uns nur von 
dem Prinzipe des zureichenden Grundes leiten lassen. 
Unglücklicherweise ist dieses Prinzip sehr unbestimmt 
und sehr dehnbar, und wir haben bei der nur kurzen 
Prüfung, der wir es unterzogen, bemerkt, daß es ver- 
schiedene Gestalten annimmt. Die Gestalt, welche es 
am häufigsten annahm, ist der Glaube an die Stetigkeit, 
ein Glaube, der schwer durch eine apodiktische Beweis- 
führung zu rechtfertigen ist, ohne den jedoch jede 
Wissenschaft unmöglich sein würde. Die Probleme, auf 
welche die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Recht an- 
gewandt werden kann, sind schließlich diejenigen, bei 
denen das Resultat unabhängig von der zu Anfang ge- 
machten Hypothese ist, wenn nur diese Hypothese der 
Bedingung der Stetigkeit genügt. 



Zwölftes Kapitel. 

Optik und Elektrizität. 

Die Fresnelsche Theorie. — Das beste Beispiel^), 
das wir wählen können, ist die Theorie des Lichtes und 
ihre Beziehung zur Elektrizitäts-Theorie. Wir verdanken 
Fresnel, daß die Optik der am weitesten vorgeschrittene 
Teil der mathematischen Physik ist; die sogenannte 
Theorie der Wellenbewegungen bildet für den Verstand 
ein wahrhaft befriedigendes Ganze; aber wir dürfen von 
ihr nicht verlangen, was sie nicht leisten kann. 

*) Dieses Kapitel ist die teilweise Reproduktion der Vorrede 
meiner beiden Werke: Theorie math^matique de la Inmi^re (Paris, 
Naud, 1889) und Öectricit6 et optique (Paris, Naud, 1901). 

14* 



212 IV, 12. Optik und Elektrizität. 

Die mathematische Wissenschaft hat nicht den Zweck, 
uns über die wahre Natur der Dinge aufzuklären; das 
würde ein unbilliges Verlangen sein. Ihr einziges Ziel 
ist, die physikalischen Gesetze miteinander zu verbinden, 
welche die Erfahrung uns zwar erkennen ließ, die wir 
aber ohne mathematische Hilfe nicht aussprechen könnten. 

Es kmnmert uns wenig, ob der Äther wirklich exi- 
stiert; das ist Sache des Metaphysikers; wesentlich für 
uns ist nur, daß alles sich abspielt, als wenn er exi- 
stierte, und daß diese Hypothese für die Erklärung der 
Erscheinungen bequem ist. Haben wir übrigens eine 
andere Ursache, um an das Dasein der materiellen Ob- 
jekte zu glauben? Auch das ist nur eine bequeme 
Hypothese; nur wird sie nie aufhören zu bestehen, wäh- 
rend der Äther eines Tages ohne Zweifel als unnütz 
verworfen wird. 

Aber auch an diesem Tage werden die Gesetze der 
Optik und die Gleichungen, welche sie in die Sprache 
der Analysis übertragen, richtig bleiben, wenigstens als 
erste Annäherungen. Es wird also immer nützlich bleiben, 
eine Lehre zu studieren, welche alle diese Gleichungen 
untereinander verknüpft. 

Die Theorie der Wellenbewegungen beruht auf einer 
molekularen Hypothese; für die einen, d. h. für die- 
jenigen, welche glauben, auf diese Art den Urgrund der 
Gesetze zu entdecken, ist es ein Vorteil; für die andern 
ein Grund mehr zum Mißtrauen; aber dieses Mißtrauen 
scheint mir ebensowenig gerechtfertigt zu sein wie die 
Illusion der ersteren. 

Diese Hypothesen spielen nur eine untergeordnete 
Rolle. Man könnte sie opfern; man tut es gewöhnlich 
nicht, weil die Darstellung an Klarheit verlieren würde; 
aber das ist auch der einzige Grund (vergl. S. 154). 

Und wirklich, bei näherer Betrachtung wird man 
sehen, daß man den molekularen Hypothesen nur zwei 



Die MaxwellscHe Theorie. 



213 



Dinge entlehnt: das Prinzip von der Erhaltung der 
Energie und die lineare Form der Gleichungen, welche 
das oberste Gesetz für die kleinen Bewegungen wie 
überhaupt für alle kleinen Veränderungen ist.^^) 

Das erklärt, warum die meisten Schlußfolgerungen 
Fresnels ohne Veränderungen fortbestehen, wenn man 
die elektro-magnetische Theorie des Lichtes anninmit. 

Die Maxwellsche Theorie. — Man weiß, daß Max- 
well zwei Abteilungen der Physik, die einander bis da- 
hin vollkommen fremd waren, durch ein enges Band mit- 
einander verknüpfte: Optik und Elektrizität. Die Optik 
Fresnels büßte nichts von ihrer Lebensfähigkeit ein, wenn 
sie derart mit einem umfassenderen Ganzen, mit einer 
höheren Harmonie verschmolzen wurde. Ihre verschie- 
denen Teile bestehen fort, und die gegenseitigen Be- 
ziehungen derselben bleiben stets die gleichen. Nur die 
Sprache, in welcher wir sie ausdrücken, hat sich ver- 
ändert, aber andererseits hat uns Maxwell andere Be- 
ziehungen, die bis jetzt noch nicht geahnt wurden, 
zwischen den verschiedenen Teilen der Optik und dem 
Gebiete der Elektrizität offenbart. ^^ 

Wenn ein französischer Leser das Buch von Max- 
well zum ersten Male öffnet, so mischt sich ein Gefühl 
des Unbehagens, oft sogar des Mißtrauens in seine Be- 
wunderung. Erst, nachdem er sich länger mit dem 
Buche beschäftigt hat, und nach Überwindung großer 
Schwierigkeiten verliert sich dieses Gefühl. Manch be- 
deutender Geist behält diese Gefühle jedoch immer. 

Warum führen sich die Ideen des englischen Ge- 
lehrten so schwer bei uns ein? Wahrscheinlich, weil die 
von den meisten gebildeten Franzosen erhaltene Er- 
ziehung sie besonders dazu beanlagt, die Genauigkeit 
und die Logik jeder anderen Eigenschaft vorzuziehen. 

Die alten Theorien der mathematischen Physik boten 
uns in dieser Hinsicht eine völlige Befriedigung. Alle 



2 14 ^' ^^* ^P^ '^^^ Elektrizität. 

unsere Meister von Laplace bis auf Cauchy sind in 
gleicher Weise vorgegangen. Indem sie von klar aus- 
gesprochenen Hypothesen ausgingen, leiteten sie aus 
ihnen mit mathematischer Strenge alle Folgerungen ab 
und verglichen sie darauf mit der Erfahrung. Sie schienen 
jedem Zweige der Physik dieselbe Exaktheit wie der 
Mechanik des Himmels geben zu wollen. 

Ein Verstand, der gewohnt ist, solche Vorbilder zu 
bewundem, ist schwer durch eine Theorie zu befriedigen. 
Er wird in einer solchen nicht nur den geringsten Schein 
eines Widerspruchs als unerträglich empfinden, sondern 
er wird verlangen, daß die verschiedenen Teile der 
Theorie logisch miteinander verbunden sein müssen, und 
daß man die gemachten Hypothesen einzeln ausspricht 
und ihre Anzahl auf ein Minimum beschränkt. 

Das ist nicht alles, er wird noch andere Forderungen 
stellen, die mir weniger vernünftig erscheinen. Hinter 
der Materie, die von unseren Sinnen wahrgenommen 
wird, und welche wir durch die Erfahrung kennen, ver- 
sucht er eine andere Materie zu sehen, welche in seinen 
Augen die einzig richtige ist, welche nur noch rein 
geometrische Eigenschaften besitzt und deren Atome nur 
mathematische, den alleinigen Gesetzen der Dynamik 
unterworfene Punkte sind. Und dennoch wird er sich 
gewissermaßen gegen seine eigene Überzeugung diese 
unsichtbaren und farblosen Atome bildlich darzustellen 
suchen und dieselben dadurch möglichst der gewöhn- 
lichen Materie nähern. 

Nur dann wird er völlig befriedigt sein und sich ein- 
bilden, das Geheimnis des Weltalls erforscht zu haben. 
Wenn diese Befriedigung auch eine trügerische ist", so 
ist es deshalb doch nicht minder schwer, ihr zu entsagen. 

Deshalb erwartet ein Franzose, wenn er Maxwells 
Buch öffnet, eine zusammenhängende Theorie zu finden, 
dio ebenso logisch und ebenso genau ist wie die auf 



Schwierigkeiten bei Maxwell. 215 

der Hypothese vom Äther beruhende Optik; er bereitet 
sich dadurch eine Enttäuschung, vor der ich den Leser 
bewahren möchte, indem ich ihn sofort davon in Kenntnis 
setze, was er bei Maxwell suchen soll und was er bei 
ihm nicht finden kann. 

Maxwell gibt keine mechanische Erklärung für die 
Elektrizität und den Magnetismus; er beschränkt sich 
darauf zu beweisen, daß diese Erklärung möglich ist. 

Er zeigt zugleich, daß die optischen Erscheinungen 
nur ein besonderer Fall der elektromagnetischen Erschei- 
nungen sind. Aus jeder Theorie der Elektrizität kann 
man also sofort eine Theorie des Lichtes ableiten. 

Das Umgekehrte geht leider nicht; es ist nicht immer 
leicht, aus einer vollkommenen Erklärung des Lichtes 
eine vollkommene Erklärung der elektrischen Erschei- 
nungen abzuleiten. Es ist besonders nicht leicht, wenn 
man von der Fresnelschen Theorie ausgehen will; es 
würde zweifellos nicht unmöglich sein; nichtsdestoweniger 
muß man sich fragen, ob man nicht gezwungen werden 
würde, bewunderungswürdigen Resultaten zu entsagen, 
welche man definitiv gesichert glaubte. Das scheint ein 
Schritt rückwärts zu sein, und mancher tüchtige Kopf 
wird sich zu solcher Entsagung nicht entschließen.^'') 

Wenngleich der Leser darein willigt, seine Hoffnun- 
gen zu beschränken, so wird er sich doch an anderen 
Schwierigkeiten stoßen; der englische Gelehrte versucht 
nicht ein einziges, bestimmtes und wohlgeordnetes Ge- 
bäude zu errichten, er scheint vielmehr eine große An- 
zahl provisorischer und voneinander unabhängiger Bauten 
aufzuführen, zwischen denen die Verbindung manchmal 
schwierig und oft unmöglich ist. 

Nehmen wir z. B. das Kapitel, in welchem er die 
elektrostatische Attraktion durch Druck- und Zugkräfte 
erklärt, welche in dem dielektrischen Medium herrschen. 
Dieses Kapitel könnte ausgelassen werden, ohne daß der 



2i6 rV, 12. Optik und Elektrizität. 

Rest des Buches weniger klar und weniger vollständig 
wäre, und andererseits enthält es eine Theorie, welche 
sich selbst genügt, und man kann sie verstehen, ohne 
auch nur eine der vorhergehenden oder der folgenden 
Zeilen zu lesen. Aber dieses Kapitel ist nicht nur un- 
abhängig von dem übrigen Werke; es ist schwer mit den 
fundamentalen Ideen des Buches in Einklang zu bringen. 
Maxwell selbst versucht nicht, diese Übereinstimmung 
herbeizuführen; er beschränkt sich darauf zu sagen: 
„I have not been able to make the next step, namely, to 
account by mechanical considerations for these stresses 
in the dielectric." 

Dieses Beispiel wird meinen Gedankengang ver- 
ständlich machen; ich könnte noch andere Beispiele an- 
fahren. Wer würde daran zweifeln, wenn er die Seiten 
liest, welche sich mit der magnetischen Drehung der 
Polarisations-Ebene beschäftigen, daß es eine Wesens- 
einheit zwischen den optischen und den magnetischen 
Erscheinungen gibt? 

Man soll sich nicht einbilden, jeden Widerspruch ver- 
meiden zu können; man muß sich darin finden. Zwei 
widersprechende Theorien können tatsächlich, voraus- 
gesetzt, daß man sie nicht miteinander vermengt und in 
ihnen nicht den Grund der Dinge erblickt, alle beide 
nützliche Untersuchungs -Werkzeuge sein, und vielleicht 
wäre die Lektüre Maxwells weniger anregend, wenn er 
uns nicht so viele Ausblicke in die verschiedensten 
Richtungen eröffnet hätte. 

Aber die fundamentale Idee ist dadurch etwas ver- 
kleidet, und zwar so sehr, daß sie in den meisten popu- 
lären Werken fast vollständig übersehen wird. 

Um ihre Wichtigkeit besser hervorzuheben, glaube 
ich erklären zu müssen, worin diese fundamentale Idee 
besteht. Dazu ist eine kurze Abweichung notwendig. 

Die mechanische Erklärung der physikalischen 



Mechanische Erklärung. 217 

Erscheinungen. — In jeder physikalischen Erscheinung 
gibt es eine gewisse Anzahl von Parametern, welche dem 
Experimente direkt zugänglich sind und durch dasselbe 
gemessen werden. Ich will sie die Parameter q nennen. 

Die Beobachtung läßt uns darauf die Gesetze von 
den Veränderungen dieser Parameter erkennen, und diese 
Gesetze lassen sich allgemein in die Form von Differential- 
gleichungen setzen, welche die Parameter q und die 
Zeit miteinander verbinden. 

Wie kann man eine mechanische Erklärung für eine 
solche Erscheinung geben? 

Man wird versuchen, sie entweder durch die Be- 
wegungen der gewöhnlichen Materie oder durch die Be- 
wegungen eines hypothetischen Fluidums oder mehrerer 
Fluida zu erklären. 

Diese Fluida werden von einer sehr großen Anzahl 
einzelner Moleküle gebildet, die ich m nennen will. 

Wann werden wir nun sagen, daß wir eine voll- 
kommene mechanische Erklärung für die Erscheinung 
haben? Das wird einerseits der Fall sein, wenn wir die 
Differentialgleichungen kennen, welchen die Koordinaten 
dieser hypothetischen Moleküle m genügen, dieselben 
Gleichungen, welche andrerseits den Prinzipen der Dy- 
namik konform sein müssen; andrerseits wird es ge- 
schehen, wenn wir die Relationen kennen, welche die 
Koordinaten der Moleküle m in Funktion der Parameter 
q definieren, welch letztere dem Experimente zugäng- 
lich sind. 

Diese Gleichungen müssen, wie ich bereits sagte, 
den Prinzipen der Dynamik und besonders dem Prinzipe 
von der Erhaltung der Energie und dem Prinzipe der 
kleinsten Wirkung konform sein. 

Das erste dieser beiden Prinzipe lehrt uns, daß die 
totale Energie konstant ist, und daß diese Energie sich 
in zwei Teile teilt: 



2i8 IV, 12. Optik und Elektrizität. 

1. Die kinetische Energie oder lebendige Kraft, 
welche von den Massen der hypothetischen Moleküle m 
und von ihren Geschwindigkeiten abhängt, und die ich 
T nennen werde. 

2. Die potentielle Energie, welche nur von den Koor- 
dinaten dieser Moleküle abhängt, und die ich ^nennen 
werde. Die Summe dieser beiden Energien T und U 
ist konstant. 

Was lehrt uns nun das Prinzip der kleinsten Wirkung? 
Es lehrt uns, daß das System, um von der Anfangslage, 
welche es im Zeitpunkte /^ einnimmt, zur Endlage, die 
es im Zeitpunkte /^ einnimmt, überzugehen, einen solchen 
Weg einschlagen muß, daß in dem Intervalle der Zeit, 
welche zwischen den beiden Zeitpunkten /^ und /^ ver- 
geht, der mittlere Wert der „Wirkung" (d. h. der Diffe- 
renz zwischen den beiden Energien T und U) so klein 
als möglich ist. Das erste dieser beiden Prinzipe ist 
übrigens eine Folge des zweiten. 

Wenn man die beiden Funktionen T und U kennt, 
so genügt dieses Prinzip, um die Gleichungen der Be- 
wegung zu bestimmen. 

Unter allen Wegen, welche den Übergang von einer 
Lage in die andere vermitteln, gibt es offenbar einen, 
für welchen der mittlere Wert der Wirkung kleiner ist 
als für alle anderen. Es gibt auch nur einen solchen 
Weg, und es folgt daraus, daß das Prinzip der kleinsten 
Wirkung hinreichend ist, um den eingeschlagenen Weg 
und folglich die Gleichungen der Bewegung zu bestimmen. 

Man erhält so die sogenannte erste Form der Glei- 
chungen von Lagrange. 

In diesen Gleichungen sind die unabhängigen Va- 
riabein die Koordinaten der hypothetischen Moleküle m\ 
aber ich setze jetzt voraus, daß man die Parameter q zu 
Variabein nimmt, weil sie der Erfahrung direkt zugäng- 
lich sind. 



Kinetische und potentielle Energie. 2 10 

Die beiden Teile der Energie müssen sich dann in 
Funktion der Parameter q und ihrer Diflferentialquotienten 
ausdrücken lassen; in dieser Gestalt erscheinen sie ofifen- 
bar dem Experimentator. Dieser sucht natürlich die 
potentielle und die kinetische Energie mit Hilfe der 
Größen, welche er direkt beobachten kann, zu definieren.*) 

Dies vorausgesetzt, wird das System stets von einer 
Lage zu einer anderen einen derartigen Weg verfolgen, 
daß die mittlere Wirkung ein Minimum sein wird. 

Es kommt nicht darauf an, daß T und U jetzt mit 
Hilfe der Parameter q und ihrer Diflferentialquotienten 
ausgedrückt werden; ebensowenig kommt es darauf an, 
daß wir gerade mittelst dieser Parameter die Anfangs- 
und Endlage definieren; das Prinzip der kleinsten Wir- 
kung bleibt immer richtig. 

Es sei hier gleich eingeschaltet, daß von allen Wegen, 
die von einer Lage zu einer anderen führen, es einen 
gibt, für den die mittlere Wirkung ein Minimum ist, und 
daß es nur den einen Weg gibt. Das Prinzip der kleinsten 
Wirkung genügt also, um die Diflferentialgleichungen zu 
bestimmen, welche die Veränderungen der Parameter q 
definieren. 

Die so erhaltenen Gleichungen sind eine zweite Form 
der Gleichungen von Lagrange.^^) 

Um diese Gleichungen zu bilden, brauchen wir nicht 
die Verbindungen zu kennen, welche die Parameter q 
mit den Koordinaten der hypothetischen Moleküle ver- 
binden, noch die Massen dieser Moleküle, noch den 
Ausdruck von U in Funktion der Koordinaten dieser 
Moleküle. Alles was wir kennen müssen, ist der Aus- 
druck von U in Funktion der q und derjenige von T 



*) Wir fügen hinzu, daß TJ nur von den Parametern g, T von 
den Parametern g und ihren Differentialquotienten inbezug auf 
die Zeit abhängt, und daß T ein homogenes Polynom zweiten 
Grades in Bezug auf diese Differentialquotienten ist. 



220 rV, 12. Optik und Elektrizität. 

in Funktion der g und ihrer Differentialquotienten, d. h.. 
die Ausdrücke der kinetischen Energie und der poten- 
tiellen Energie in Funktion der experimentellen Daten. 

Dann gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder die in 
obiger Weise hergestellten Lagrangeschen Gleichungen 
stimmen bei passender Wahl der Funktionen T und IT 
mit den Differentialgleichungen überein, welche man aus 
den Experimenten ableitet; oder es gibt keine solche 
Funktionen T und 17, für welche diese Übereinstimmung 
stattfindet. 

In diesem letzteren Falle ist es klar, daß eine 
mechanische Erklärung nicht möglich ist. 

Die notwendige Bedingung dafür, daß eine mecha- 
nische Erklärung durchführbar sei, liegt also in der 
Möglichkeit, die Funktionen T und C/ so zu wählen, 
daß sie das Prinzip der kleinsten Wirkung befriedigen,, 
welches das Prinzip der Erhaltung der Energie zur 
Folge hat. 

Diese Bedingung ist übrigens hinreichend; in der 
Tat: wir wollen voraussetzen, daß man eine Funktion 1/ 
der Parameter g gefunden hat, welche einen der Teile 
der Energie darstellt, daß ein anderer Teil der Energie, 
welche wir durch T darstellen, eine Funktion der g und 
ihrer Differentialquotienten ist, und daß sie ein homo- 
genes Polynom zweiten Grades inbezug auf diese 
Differentialquotienten ist, und endlich, daß die Glei- 
chungen von Lagrange, welche mit Hilfe dieser beiden 
Funktionen T und 17 gebildet sind, den Daten der Er- 
fahrung konform sind. 

Wie leitet man nun daraus eine mechanische Er- 
klärung ab? Man muß U als potentielle Energie eines^ 
Systems ansehen und T als die lebendige Kraft dieses 
selben Systems. 

Das ist, was 1/ betrifft, nicht schwierig; aber kann 



Unendlich viele Erklärungen. 2 21 

T als die lebendige Kraft eines materiellen Systems an- 
gesehen werden? 

Es ist leicht zu beweisen, daß das stets möglich ist, 
und zwar auf unendlich viele verschiedene Arten. Für 
weitere Einzelheiten verweise ich auf das Vorwort meines 
Werkes: Elektrizität und Optik. 

Wenn man also dem Prinzipe der kleinsten Wirkung 
nicht genügen kann, so gibt es keine mögliche mecha- 
nische Erklärung; wenn man dem Prinzipe genügen 
kann, so gibt es nicht nur eine Erklärung, sondern un- 
endlich viele Erklärungen, woraus hervorgeht, daß es 
unendlich viele gibt, sobald es eine gibt. 

Ich mache noch eine Bemerkung. 

Unter den Größen, welche das Experiment uns direkt 
nahe bringt, betrachten wir die einen als Funktionen 
der Koordinaten unserer hypothetischen Moleküle; das 
sind die Parameter q\ wir betrachten die anderen nicht 
nur als abhängig von den Koordinaten, sondern auch 
als abhängig von den Geschwindigkeiten oder, was auf 
dasselbe herauskommt, als Differentialquotienten der 
Parameter q oder als Kombinationen dieser Parameter 
und ihrer Diflferentialquotienten. 

Dann drängt sich uns die folgende Frage auf: Welche 
unter allen diesen experimentell gemessenen Größen 
wählen wir, um die Parameter q darzustellen? Welche 
von ihnen werden wir auswählen, um sie als Differential- 
quotienten dieser Parameter zu betrachten? Diese Wahl 
bleibt in sehr ausgedehntem Maße willkürlich, aber um 
eine mechanische Erklärung zu ermöglichen, ist es ge- 
nügend, wenn man sie so treffen kann, daß man mit 
dem Prinzipe der kleinsten Wirkung in Übereinstimmung 
bleibt. 

Und in dieser Weise hat Maxwell sich gefragt, ob 
er diese Wahl und die Auswahl der beiden Energien 
T und U so treffen kann, daß die elektrischen Erschei- 



222 IV, 12. Optik und Elektrizität. 

nungen diesem Prinzipe genügen können. Die Erfah- 
rung zeigt uns, daß die Energie eines elektromagnetischen 
Feldes sich in zwei Teile zerlegt, in die elektrostatische 
Energie und die elektrodynamische Energie. Maxwell 
erkannte folgendes: Wenn man annimmt, daß die erste 
die potentielle Energie U und die zweite die kinetische 
Energie T darstellt, wenn andererseits die elektrostatischen 
Ladungen der Konduktoren als Parameter q und die 
Intensitäten der Ströme als Differential-Quotienten anderer 
Parameter q betrachtet werden; unter diesen Bedingun- 
gen, sage ich, erkannte Maxwell, daß die elektrischen 
Erscheinungen dem Prinzipe der kleinsten Wirkung ge- 
nügen. Er war seitdem von der Möglichkeit einer 
mechanischen Erklärung überzeugt. 

Wenn er diese Idee am Anfange seines Buches klar 
ausgesprochen hätte, anstatt sie in einen Winkel des 
zweiten Bandes zu verbannen, so wäre sie den meisten 
Lesern nicht entgangen. 

Wenn also eine Erscheinung eine vollständig mechani- 
sche Erklärung zuläßt, so wird sie eine unendliche An- 
zahl anderer mechanischer Erklärungen gestatten, welche 
ebensogut von allen durch die Erfahrung geoffenbarten 
Einzelheiten Rechenschaft geben. 

Und das ist durch die Geschichte aller Teile der 
Physik bestätigt; in der Optik z. B. hält Fresnel die 
Vibration für senkrecht zur Polarisationsebene; Neumann 
hält sie für parallel zu dieser Ebene. Man hat lange 
ein „experimentum crucis" gesucht, welches zwischen 
diesen beiden Theorien entscheiden sollte, aber man hat 
ein solches nicht gefunden. 

Ebenso können wir, ohne das Gebiet der Elektrizität 
zu verlassen, konstatieren, daß die Theorie zweier Fluida 
und die Theorie eines Fluidums beide gleich gut von 
dem beobachteten Gesetze der Elektrostatik Rechenschaft 
geben. 



Anteil persönlicher Vorliebe. 22^ 

Alle diese Tatsachen erklären sich leicht dank den 
Eigenschaften der Lagrangeschen Gleichungen, welche 
ich erwähnte. 

Es ist jetzt leicht zu verstehen, welches die funda- 
mentale Idee Maxwells war. 

Um die Möglichkeit einer mechanischen Erklärung 
der Elektrizität zu beweisen, brauchen wir uns nicht vor- 
zunehmen, diese Erklärung selbst wirklich aufzufinden; 
es genügt uns, den Ausdruck für die beiden Funktionen 
T und U zu kennen, welche die beiden Teile der 
Energie sind, darauf mit diesen beiden Funktionen die 
Lagrangeschen Gleichungen zu bilden und dann diese 
Gleichungen mit den experimentellen Gesetzen zu ver- 
gleichen. 

Wie soll man unter allen diesen möglichen Erklärun- 
gen eine Wahl treffen, für die wir in den Experimenten 
keinen Anhalt finden? Es wird vielleicht ein Tag kom- 
men, an dem die Physiker diesen für die positiven 
Methoden unzugänglichen Fragen kein Interesse mehr 
schenken und sie den Metaphysikem überlassen. Dieser 
Tag ist noch nicht gekommen; der Mensch gesteht nicht 
so leicht ein, daß er den Grund der Dinge niemals er- 
kennen kann. 

Unsere Wahl kann also nur von Betrachtungen ge- 
leitet werden, bei denen der Anteil persönlicher Neigung 
und Vorliebe sehr groß ist; es gibt indessen Lösungen, 
welche von jedem ihrer Wunderlichkeit wegen verworfen 
werden, und es gibt wiederum Lösungen, welche jeder 
ihrer Einfachheit wegen bevorzugt. 

Was die Elektrizität und den Magnetismus betrifft, 
so enthält sich Maxwell jeder Wahl; aber nicht weil er 
grundsätzlich alles, was die positiven Methoden nicht 
nahe bringen können, verachtet; die Zeit, welche er der 
kinetischen Theorie der Gase widmete, legt davon Zeug- 
nis ab. Ich füge hinzu, daß, wenn er in seinem großen 



224 ^» ^3* ^® Elektrodynamik. 

Werke keine vollständige Erklärung entwickelt, er anderer- 
seits versucht, eine solche in einem Artikel des Philo- 
sophical Magazine zu geben. Die Fremdartigkeit und 
die Kompliziertheit der Hypothesen, welche er so machen 
mußte, veranlaßten ihn, darauf zu verzichten.*^ 

Derselbe Geist findet sich im ganzen Werke wieder. 
Alles Wesentliche, d. h. alles, was sämtlichen Theorien 
gemeinsam bleiben muß, ist klar beleuchtet worden; 
alles, was nur für eine besondere Theorie paßt, wird 
fast immer mit Stillschweigen übergangen. Der Leser 
findet sich somit einer fast inhaltlosen Form gegenüber, 
welche er für einen vorübergleitenden und nicht greif- 
baren Schatten halten möchte. Aber die Anstrengungen, 
welche er gewaltsam machen muß, zwingen ihn zum 
Denken, und schließlich begreift er das ganze Gebäude 
der oft etwas künstlichen Theorien, welche er früher 
lediglich bewunderte. 



Dreizehntes Kapitel. 

Die Elektrodynamik. 

Die Geschichte der Elektrodynamik ist gerade für 
unseren Standpunkt sehr lehrreich. 

Ampere hat sein unsterbliches Werk „Theorie des 
ph6nom^nes 61ectrodynamiques uniquement fond^e sur 
l'exp6rience" betitelt. Er bildete sich also ein, keine 
Hypothese gemacht zu haben; er hat, wie wir bald be- 
merken werden, trotzdem Hypothesen aufgestellt, aber 
er tat es, ohne es zu wissen. 

Diejenigen welche nach ihm kamen, bemerkten sie 
jedoch, weil ihre Aufmerksamkeit auf die schwachen 
Punkte der Amp^reschen Lösung gelenkt wurden. Sie 
machten neue Hypothesen, diesesmal mit vollem Be- 



Die Amp^resche Theorie. 22^ 

'wußtsein; aber wie oft mußte man sie ändern, bevor 
man zu dem klassischen Systeme von heute gelangte, 
welches vielleicht auch noch nicht definitiv ist; wir 
wollen darauf näher eingehen. 

I. Die Amp^resche Theorie. — Als Ampere die 
gegenseitigen Wirkungen der Ströme experimentell stu- 
dierte, so operierte er nur mit geschlossenen Strömen 
und konnte nicht anders operieren. 

Das geschah nicht, weil er die Möglichkeit der offe- 
nen Ströme leugnete. Wenn zwei Konduktoren mit ent- 
gegengesetzter Elektrizität geladen sind und wenn man 
sie durch einen Draht in Verbindung bringt, entsteht 
ein Strom, der von einem Konduktor zum anderen geht 
und welcher so lange dauert, bis die beiden Potentiale 
gleich geworden sind. Für die Auffassung, welche zur Zeit 
Amperes herrschte, war das ein offener Strom; man sah 
wohl den Strom vom ersten Konduktor zum zweiten 
libergehen, aber man sah ihn nicht vom zweiten zum 
-ersten Konduktor zurückkommen. 

Ströme dieser Art betrachtete Ampere als offene, 
z. B. die Entladungsströme der Kondensatoren; aber er 
konnte sie nicht zum Gegenstande seiner Experimente 
machen, weil ihre Dauer zu kurz ist. 

Man kann sich noch eine andere Art von offenen 
Strömen vorstellen. Ich setze zwei Konduktoren A und 
B voraus, welche durch einen Draht A ÜB verbunden 
sind. Kleine, in Bewegung geratene, leitende Massen 
setzen sich zuerst mit dem Konduktor B in Berührung 
und entnehmen ihm eine elektrische Ladung, sie ver- 
lassen die Berührung mit By setzen sich in Bewegung, 
indem sie den Weg BNA verfolgen, und, indem sie 
ihre Ladung mit sich tragen, kommen sie in Berührung 
mit A und geben dort ihre Ladung ab, welche nun zu 
B zurückgelangt , indem sie längs des Drahtes A ÜB 
geht. 

Poincar6, Wissenschaft nnd Hyix>tliese. 15 



220 IV, 13. Elektrodynamik. 

Man hat hier in gewissem Sinne einen geschlossenen 
Strom, weil die Elektrizität die geschlossene Kurve 
BNAUB beschreibt; aber die beiden Teile dieses 
Stromes sind sehr verschieden ; in dem Drahte A ÜB 
bewegt sich die Elektrizität im Innern eines festen 
Leiters in der Art eines Voltaschen Stromes, indem sie 
einen Ohmschen Widerstand überwindet und Wärme 
entwickelt; man sagt, daß sie sich durch Leitung 
fortbewegt; in dem Teile B NA ist die Elektrizität durch 
einen beweglichen Leiter übertragen; man sagt dann, 
daß sie sich durch Konvektion bewegt. 

Wenn der Konvektionsstrom als völlig analog mit 
dem Leitungsstrome erachtet wird, so ist der Strom 
B NA ÜB geschlossen; wenn im Gegensatze dazu der 
Konvektionsstrom nicht „ein richtiger Strom" ist und 
z. B. auf den Magnet nicht einwirkt, so bleibt nur der 
Leitungsstrom A ÜB übrig, und der ist offen. 

Wenn man z. B. die beiden Pole einer Holtzschen 
Maschine durch einen Draht verbindet, so überträgt die 
rotierende, mit Elektrizität beladene Scheibe von einem 
Pole zum anderen durch Konvektion Elektrizität, und 
diese gelangt durch Leitung im Innern des Drahtes zum 
ersten Pole zurück. 

Aber Ströme dieser Art sind sehr schwierig mit 
wahrnehmbarer Intensität zu verwirklichen. Mit den 
Mitteln, über welche Ampere verfugte, war es so gut wie 
unmöglich. 

Kurz, Ampere konnte das Vorhandensein zweier 
Arten von offenen Strömen erkennen, aber er konnte 
weder mit den einen noch mit den anderen operieren, 
weil sie zu wenig intensiv waren oder zu kurze Zeit 
dauerten. 

Das Experiment konnte ihm also nur die Wirkung 
eines geschlossenen Stromes auf einen geschlossenen 
Strom zeigen oder, streng genommen, die Wirkung eines 



Geschlossene Ströme. 22 7 

geschlossenen Stromes auf einen Stromteil, denn man 
kann einen Strom durch einen geschlossenen Weg 
gehen lassen, der sich aus einem beweglichen und einem 
festen Teile zusanmiensetzt. Man kann dann die Orts- 
veränderungen des beweglichen Teiles unter der Wirkung 
eines anderen geschlossenen Stromes studieren. 

Dagegen hatte Ampere kein Mittel, die Wirkung 
eines offenen Stromes zu studieren, weder inbezug auf 
einen geschlossenen Strom noch inbezug auf einen an- 
deren offenen Strom. ^^) 

I. Wirkung geschlossener Ströme. — In dem 
Falle der gegenseitigen Wirkung zweier geschlossenen 
Ströme wurden Ampere durch das Experiment auffallend 
einfache Gesetze geoffenbart. 

Ich erwähne hier flüchtig diejenigen, welche uns in 
der Folge nützlich sein werden: 

1. Wenn die Intensität der Ströme konstant 
erhalten wird und wenn die beiden Ströme nach 
irgend welchen Ortsveränderungen und Deformationen 
schließlich zu ihren Anfangslagen zurückkehren, so wird 
die Totalarbeit der elektrodynamischen Wirkungen Null 
sein. 

Mit anderen Worten: Es gibt ein elektrodynami- 
sches Potential der beiden Ströme, welches dem 
Produkte der Intensitäten proportional und von der Ge- 
stalt und der relativen Lage der Ströme abhängig ist; 
die Arbeit der elektrodynamischen Wirkungen ist gleich 
der Variation dieses Potentials. 

2. Die Wirkung eines geschlossenen Solenoids ist 
Null. 

3. Die Wirkung eines geschlossenen Stromes C auf 
einen anderen geschlossenen Voltaschen Strom C" hängt 
nur von dem „magnetischen Felde" ab, welches durch 
diesen Strom C erzeugt wird. In jedem Punkte des 
Raumes kann man in der Tat nach Größe und Rich- 

15* 



228 IV, 13. Ekktrodynaiiuk. 

taug eine gewisse Kraft definieren, welche die magne* 
tische Kraft heifit und welche folgende Eigenschaften 
besitzt: 

a) Die von C anf einen magnetischen Pol ansgeübte 
Kraft greift an diesem Pole an, sie ist gleich der mag- 
netischen Elraft, multipliziert mit der magnetischen Masse 
des Poles. 

b) Eine sehr kurze Magnetnad^ sucht die Richtung^ 
der magnetischen Kraft einzunehmen, und das Kräfte- 
paar, welches sie in diese Lage zurückzuführen sucht, 
ist proportional dem Produkte der magnetischen Kraft 
in das magnetische Moment der Nadel und in den 
Sinus des Ausschlagswinkels. 

c) Wenn der Stromkreis C seine Lage verändert, 
so wird die Arbeit der elektrodynamischen, von C auf 
C ausgeübten Wirkung gleich dem Zuwachse des „Flusses 
magnetischer Kraft*' sein, der diesen Strom kreuzt. 

U. Wirkung eines geschlossenen Stromes auf 
einen Stromteil. — Da Ampere einen eigentlich offenen 
Strom nicht verwirklichen konnte, so hatte er nur ein 
Mittel, die Wirkung eines geschlossenen Stromes auf 
einen Stromteil zu beobachten. 

Er operierte nämlich mit einem geschlossenen Strome 
C\ der sich aus zwei Teilen: einem festen und einem 
beweglichen Teile zusammensetzte. Der bewegliche Teil 
war z. B. ein beweglicher Draht a/3, dessen Enden a 
und ß längs eines festen Drahtes gleiten konnten. In 
einer Lage des beweglichen Drahtes ruhte das Ende a 
auf dem Punkte A des festen Drahtes und das Ende ß 
auf dem Punkte B des festen Drahtes. Der Strom 
circulierte von a nach ß, d. h. von A nach B längs des 
beweglichen Drahtes, und er kam darauf von B nach A 
zurück, indem er längs des festen Drahtes ging. Dieser 
Strom war also geschlossen. 

Nachdem der bewegliche Draht eine gleitende Be- 



Beweglicher Stromteil. 220 

wegung ausgeführt hatte, befand er sich in einer zweiten 
Lage. Hier ruhte das Ende a auf einem anderen 
Punkte A' des festen Drahtes und das Ende ß auf 
einem anderen Punkte B^ des festen Drahtes. Der Strom 
circulierte dann von a nach ß, d. h. von A' nach B' 
längs des beweglichen Drahtes, und er kam darauf von 
B' nach B zurück, dann von B nach A, schließlich von 
A nach A', immer längs des festen Drahtes. Der Strom 
war also wieder geschlossen. 

Wenn ein solcher Strom der Wirkung eines ge- 
schlossenen Stromes C unterworfen wird, so verändert 
der bewegliche Teil seine Lage, als ob er der Wirkung 
einer Kraft folgte. Ampere nimmt an, daß die schein- 
bare Kraft, welcher dieser bewegliche Teil AB unter- 
worfen ist und welche die Wirkung von C auf den 
Stromteil aß darstellt, dieselbe ist, als wenn aß von 
einem offenen Strome durchlaufen wurde, der in a und 
ß aufhört, während tatsächlich aß von einem geschlosse- 
nen Strome durchlaufen wird, der von ß nach a zurück- 
kehrt, indem er den festen Teil des Stromkreises durch- 
läuft. 

Diese Hypothese erscheint ziemlich natürlich, und 
Ampere machte sie, ohne sich dessen bewußt zu sein; 
nichtsdestoweniger ist sie nicht selbstverständlich, 
denn wir werden später sehen, daß Helmholtz sie ver- 
worfen hat. Wie dem auch sein mag, so konnte doch 
Ampere vermöge dieser Hypothese, obgleich er einen 
offenen Strom nicht verwirklichen konnte, die Gesetze 
der Wirkung eines geschlossenen Stromes auf einen 
offenen Strom oder selbst auf ein Stromelement aus- 
sprechen. 

Die Gesetze bleiben einfach: 

I. Die Kraft, welche auf ein Stromelement einwirkt, 
greift an diesem Elemente an; sie ist senkrecht zu dem 
Elemente und zur magnetischen Kraft und proportional 



230 rV, 13. Elektrodynamik. 

derjenigen Komponente dieser magnetischen Kraft, welche 
zum Stromelemente senkrecht ist. 

2. Die Wirkung eines geschlossenen Solenoids auf 
ein Stromelement bleibt Null. 

Aber es gibt kein elektrodynamisches Potential mehr, 
d. h. wenn ein geschlossener und ein offener Strom, 
deren Intensitäten konstant erhalten werden, in ihre An- 
fangslagen zurückkehren, so ist die geleistete Totalarbeit 
nicht Null. 

ni. Stetige Rotationen. — Unter den elektro- 
d3aiamischen Experimenten sind diejenigen am meisten 
bemerkenswert, bei denen man stetige Rotationen her- 
stellen konnte und die man öfters Experimente der 
„unipolaren Induktion" nennt. Ein Magnet kann sich 
um seine Achse drehen; ein Strom durchläuft zuerst einen 
festen Draht, tritt dann in den Magnet z. B. durch den 
Pol N ein, durchläuft die Hälfte des Magneten, verläBt 
ihn durch einen Gleitkontakt und kehrt in den festen 
Draht zurück. 

Der Magnet kommt so in stetige Rotation, ohne 
jemals eine Gleichgewichtslage einnehmen zu können. 
Das ist das Faradaysche Experiment. 

Wie ist dieses möglich? Wenn man mit zwei Strom- 
kreisen von unveränderlicher Form zu tun hat: einem 
festen Stromkreise C und einem anderen Stromkreise C', 
der um eine Achse beweglich ist, so kann dieser letztere 
niemals in stetige Rotation geraten; es existiert in der 
Tat ein elektrodynamisches Potential; es wird also um 
so mehr eine Gleichgewichtslage existieren, und zwar 
diejenige, wo das Potential ein Maximum ist. 

Die stetigen Rotationen sind also nur möglich, wenn 
der Stromkreis C sich aus zwei Teilen zusammensetzt: 
einem festen Teile und einem um eine Achse beweglichen 
Teile, wie es in dem Experimente Faradays der Fall 
war. Dennoch müssen wir einen Unterschied machen. 



Stetige Rotationen. 23 1 

Der Übergang des festen Teiles zum beweglichen Teile 
oder umgekehrt vollzieht sich entweder durch eine ein- 
fache Berührung (indem der gleiche Punkt des beweg- 
lichen Teiles beständig mit dem gleichen Punkte des 
festen Teiles in Berührung bleibt) oder durch eine 
gleitende Berührung (indem der gleiche Punkt des be- 
weglichen Teiles nacheinander mit verschiedenen Punkten 
des festen Teiles in Berührung kommt). 

Nur im zweiten Falle kann eine stetige Rotation 
stattfinden. Dabei ereignet sich Folgendes: Das System 
hat zwar das Bestreben, .eine Gleichgewichtslage einzu- 
nehmen; aber wenn diese eben erreicht wird, setzt der 
Gleitkontakt den beweglichen Teil mit einem neuen 
Punkte des festen Teiles in Verbindung; der bewegliche 
Teil ändert die Verbindungen im Systeme; er ändert 
also auch die Gleichgewichtsbedingungen, so daß die 
Rotation sich ohne Ende fortsetzen kann, indem die 
Gleichgewichtslage sozusagen vor dem Systeme, welches 
sie einzunehmen sucht, beständig flieht. 

Ampere nimmt an, daß die Einwirkung des Strom- 
kreises auf die beweglichen Teile von C' die gleiche 
ist, als wenn der feste Teil von C nicht existierte, und 
als ob folglich der Strom, welcher in dem beweglichen 
Teile circuliert, offen wäre. 

Hieraus schloß er also, daß die Wirkung eines ge- 
schlossenen Stromes auf einen offenen Strom oder um- 
gekehrt die Wirkung eines offenen Stromes auf einen 
geschlossenen Strom zu einer stetigen Rotation Veran- 
lassung geben kann. 

Aber dieser Schluß hängt von der Hypothese ab, 
welche ich hervorgehoben habe und die, wie ich weiter 
oben erwähnte, von Helmholtz nicht zugelassen wird. 

IV. Gegenseitige Wirkung zweier offenen Ströme. — 
Was die gegenseitige Wirkung zweier offenen Ströme und 
besonders diejenige zweier Stromelemente betriflft, so ver- 



2 22 rV, 13. Elektrodynamik. 

sagt jedes Experiment. Ampere nahm die Hjrpothese 
zu Hilfe. Er setzt voraus: i. daß die gegenseitige Wir- 
kung der beiden Elemente sich auf eine Kraft reduziert, 
welche in der Richtung ihrer geraden Verbindungslinie 
wirkt; 2. daß die Wirkung zweier geschlossenen Ströme 
die Resultante der gegenseitigen Einwirkungen ihrer ver- 
schiedenen Elemente ist, welche übrigens die gleichen 
sind, als ob diese Elemente isoliert wären. 

Bemerkenswert ist, daß Ampere auch hier wieder 
zwei Hjrpothesen macht, ohne sich dessen bewußt zu 
sein. 

Wie dem auch sei, wenn man diese beiden Hypo- 
thesen mit den Experimenten über geschlossene Ströme 
verbindet, so genügen sie, um das Gesetz der gegen- 
seitigen Wirkung zweier Elemente vollständig zu be- 
stimmen. 

Dann sind jedoch die meisten einfachen Gesetze, 
welchen wir in dem Falle der geschlossenen Ströme be- 
gegneten, nicht mehr richtig. 

Vor allem gibt es kein elektrodynamisches Potential; 
es existierte übrigens schon, wie wir oben gesehen haben^ 
in dem Falle eines geschlossenen Stromes, der auf einen 
offenen Strom einwirkt, nicht mehr. 

Femer gibt es, streng genommen, keine magnetische 
Kraft mehr. 

Und in der Tat haben wir von dieser Krafl weiter 
oben (S. 228) drei verschiedene Definitionen gegeben: 

1. durch die Wirkung auf einen magnetischen Pol; 

2. durch das Kräftepaar, welches die Richtung der 
Magnetnadel bestimmt; 

3. durch die Wirkung auf ein Stromelement. 

Nicht nur stimmen in dem Falle, der uns jetzt be- 
schäftigt, diese drei Definitionen nicht überein, sondern 
jede von ihnen verliert sogar ihren Sinn, und in 
der Tat: 



Offene Ströme. 



233 



1 . Ein magnetischer Pol ist nicht einer nur an diesem 
Pole angreifenden Kraft unterworfen. Wir haben tat- 
sächlich gesehen, daß eine Kraft, welche durch die 
Wirkung eines Stromelements auf einen Pol ausgeübt 
wird, nicht am Pole, sondern am Elemente angreift; sie 
kann andererseits durch eine Kraft ersetzt werden, welche 
am Pole angreift, und durch ein hinzutretendes Kräfte- 
paar. 

2. Das Kräftepaar, welches auf die Magnetnadel 
wirkt, beschränkt sich nicht mehr darauf, die Richtung 
derselben zu bestimmen, denn sein Moment inbezug 
auf die Längsachse der Nadel ist nicht Null. Es zerlegt 
sich in ein Paar, das die Richtung bestimmt, und in ein 
ergänzendes Paar, welches die stetige Rotation hervor- 
zubringen strebt, von der ich oben gesprochen habe. 

3. Schließlich ist die auf ein Stromelement ausge- 
übte Kraft nicht mehr senkrecht zu diesem Elemente. 

Mit anderen Worten: Die Einheit der magneti- 
schen Kraft ist verschwunden. 

Worin besteht diese Einheit? Zwei Systeme, welche 
dieselbe Wirkung auf einen magnetischen Pol ausüben, 
üben die gleiche Wirkung auf eine unendlich kleine 
Magnetnadel oder auf ein Stromelement aus, welche 
beide sich in demselben Raumpunkte befinden wie 
dieser Pol. 

Das ist richtig, wenn diese beiden Systeme nur ge- 
schlossene Ströme enthalten; es wird (nach Ampere) 
nicht mehr richtig sein, wenn diese beiden Systeme 
offene Ströme enthalten. 

Es genügt z. B. Folgendes zu bemerken: Wenn ein 
magnetischer Pol in A und ein Stromelement in B liegt 
und die Richtung des Elements mit der Verlängerung 
der Linie AB zusammenfallt, so wird dieses Element 
auf diesen in A liegenden Pol keine Wirkung ausüben, 
es wird jedoch eine solche auf eine im Punkte A be- 



234 ^* '3* Elektrodynamik. 

findliche Magnetnadel ausüben oder auf ein im Punkte 
A befindliches Stromelement. 

V. Induktion. — Man weiß, daß die Entdeckung 
der elektrodynamischen Induktion den unsterblichen 
Arbeiten Amperes bald folgte. 

Sobald es sich nur um geschlossene Ströme handelt, 
entsteht keine Schwierigkeit, und Helmholtz hat sogar 
bemerkt, daß das Prinzip von der Erhaltung der Energie 
genügen könnte, um die Gesetze der Induktion aus den 
elektrodynamischen Gesetzen Amperes abzuleiten. Aller- 
dings unter einer Bedingung, wie Bertrand uns zeigte, 
nämlich, daß man außerdem eine gewisse Anzahl von 
Hypothesen zuläßt. 

Dasselbe Prinzip gestattet diese Ableitung noch in 
dem Falle der offenen Ströme, obgleich man, wohlver- 
standen, das Resultat nicht der Kontrolle der Erfahrung 
unterwerfen kann, denn man kann solche Ströme nicht 
herstellen. 

Wenn man diese Art Analyse auf die Amp^resche 
Theorie der offenen Ströme anwenden will, so gelangt 
man zu Tatsachen, die wohl dazu geeignet sind, uns zu 
überraschen. 

Vor allem kann die Induktion nicht aus der Ver- 
änderung des magnetischen Feldes gemäß der den CJe- 
lehrten und Praktikern gleich gut bekannten Formel ab- 
geleitet werden, und in der Tat gibt es, wie wir schon 
gesagt haben, eigentlich kein magnetisches Feld mehr. 

Noch mehr. Wenn ein Stromkreis C der Induktion 
eines veränderlichen Voltaschen Systems ^ unterworfen 
wird, wenn dieses System S seine Stellung verändert 
und sich auf irgend welche Art deformiert und wenn 
die Intensität der Ströme dieses Systems gemäß irgend 
einem Gesetze variiert, wenn aber nach diesen Varia- 
tionen das System schließlich in seine Anfangslage zu- 
rückkehrt: so erscheint es natürlich vorauszusetzen, daß 



Die Helmholtzsche Theorie. 



235 



die mittlere elektromotorische Kraft, welche in dem 
Stromkreise C induziert wird, gleich Null ist. 

Das ist richtig, wenn der Stromkreis C geschlossen 
ist und wenn das System S nur geschlossene Ströme 
enthält. Wenn man die Amp^resche Theorie anniromt, 
ist es nicht mehr richtig, sobald offene Ströme vor- 
kommen. So würde die Induktion nicht mehr die Ver- 
änderung des Flusses der magnetischen Kraft im gewöhn- 
lichen Sinne dieses Wortes sein, sie könnte sogar nicht 
durch die Veränderung irgend eines anderen Etwas dar- 
gestellt werden. 

2. Die Helmholtzsche Theorie. — Ich habe bei 
den Folgerungen länger verweilt, zu denen Amperes 
Theorie und seine Erklärungsweise für die Wirkung 
offener Ströme Veranlassung gaben. 

Es ist schwer, den paradoxen und verkünstelten 
Charakter der Sätze zu verkennen, zu welchen man so 
geführt wird; man kommt schließlich zu dem Gedanken: 
„So kann die Sache nicht sein." 

Man begreift, daß Helmholtz sich veranlaßt fühlte, 
-etwas anderes zu suchen. 

Helmholtz verwirft die fundamentale Amp^resche 
Hypothese, daß nämlich die gegenseitige Wirkung zweier 
Stromelemente sich auf eine Kraft zurückführen läßt, 
welche in der Richtung ihrer Verbindungslinie wirkt. 

Er nimmt an, daß ein Stromelement nicht einer ein- 
zigen Kraft unterworfen ist, sondern einer Kraft und 
einem Kräftepaar. Diese Annahme gab zu der berühm- 
ten Polemik zwischen Bertrand und Helmholtz Veran- 
lassung. ^^^) 

I 

Helmholtz ersetzt die Amp^resche Hypothese durch 

die folgende: Zwei Stromelemente lassen iromer ein 
elektrodynamisches Potential zu, das einzig von ihrer 
Lage und Orientierung abhängt, und die Arbeit der 



236 rv, 13. Elektrod3mainik. 

Kräfte, welche sie aufeinander ausüben, ist gleich der 
Variation dieses Potentials. So kann sich Helmholtz 
ebensowenig wie Ampere der Hypothese enthalten; aber 
wenigstens macht er sie nicht, ohne sie deutlich auszu- 
sprechen. 

In dem dem Experimente allein zugänglichen Falle 
der geschlossenen Ströme stimmen die beiden Theorien 
überein; in allen anderen Fällen sind sie voneinander 
verschieden. 

Im Gegensatze zu Amperes Voraussetzungen ist vor 
allem die Kraft, welcher der bewegliche Teil eines ge- 
schlossenen Stromes unterworfen ist, nicht dieselbe, der 
dieser bewegliche Teil unterliegen würde, wenn er isoliert 
wäre und einen offenen Strom bildete. 

Wir wollen auf den Stromkreis C zurückkommen, 
von dem wir weiter oben sprachen und der von einem 
beweglichen Drahte aß gebildet wurde, welcher über 
einen festen Draht gleitet; in dem einzig realisierbarem 
Experimente ist der bewegliche Teil aß nicht isoliert, 
sondern bildet einen Teil eines geschlossenen Strom- 
kreises. Wenn der Teil von AB nach A' B' gelangt, 
so variiert das totale elektrodynamische Potential aus 
zwei Gründen: i. es erleidet einen ersten Zuwachs, weil 
das Potential von A' B' inbezug auf den Stromkreis C 
nicht dasselbe wie das Potential von ^i? ist; 2. es er- 
leidet einen zweiten Zuwachs, weil man es um die 
Pottentiale der Elemente AA' und BB' inbezug auf C 
vergrößern muß. 

Dieses doppelte Anwachsen stellt die Arbeit der 
Kraft dar, welcher der Teil AB scheinbar unter- 
worfen ist. 

Wenn im Gegenteil aß isoliert wären, so würde das 
Potential nur den ersten Zuwachs erleiden, und nur 
dieser erste Zuwachs würde ein Maß für die Kraft geben, 
welche auf AB einwirkt. 



I 



Solenoid und Magnet. 237 

In zweiter Linie kann es keine stetige Rotation ohne 
gleitende Berührung geben; und wirklich liegt darin, wie 
wir schon bei Gelegenheit der geschlossenen Ströme be- 
merkten, eine unmittelbare Folgerung der Existenz eines 
elektrodynamischen Potentials. 

In dem Faradayschen Experimente kann dieser be- 
wegliche Teil eine stetige Rotation erleiden, wenn der 
Magnet fest ist und wenn der außerhalb des Magneten 
verlaufende Teil des Stromes einen beweglichen Draht 
durchläuft. Aber damit ist nicht gesagt, daß der Draht 
eine Bewegung stetiger Rotation annehmen würde, wenn 
man die Berührungen des Drahtes mit dem Magneten 
aufhöbe und den Draht von einem offenen Strome durch- 
laufen ließe. 

Ich habe soeben gesagt, daß ein isoliertes Element 
nicht derselben Einwirkung unterliegt als ein bewegliches 
Element, das einen Teil eines geschlossenen Stromkreises 
ausmacht. 

Es gibt noch einen anderen Unterschied: Die Wir- 
kung eines geschlossenen Solenoids auf einen geschlosse- 
nen Strom ist gemäß der Erfahrung und nach beiden 
Theorien gleich Null; nach Ampere würde die Wirkung 
eines geschlossenen Solenoids auf einen offenen Strom 
gleich Null sein; nach Helmholtz wäre sie nicht gleich 
Null. 

Daraus entspringt eine wichtige Folgerung. Wir 
haben weiter oben drei Definitionen der magnetischen 
Kraft gegeben; die dritte hat hier keinen Sinn, weil ein 
Stromelement nicht mehr nur einer einzigen Kraft unter- 
worfen ist. Die erste Definition hat ebenfalls keinen 
Sinn für unsere jetzige Untersuchung. Denn was ist 
eigentlich ein magnetischer Pol? Es ist der Endpunkt 
eines linearen, unendlich kleinen Magneten. Dieser 
Magnet kann durch ein unendlich kleines Solenoid er- 
setzt werden. Damit die Definition der magnetischen 




238 rV> ^3» Elektrodynamik. 

Kraft einen Sinn behielte, ist es notwendig, daß die von 
einem offenen Strome auf ein unendlich kleines Solenoid 
ausgeübte Wirkung nur von der Lage des Endpunktes 
dieses Solenoids abhänge, d. h. daß die Wirkung auf 
ein geschlossenes Solenoid gleich Null ist. Wir haben 
gesehen, daß dem nicht so ist. 

Dagegen hindert uns nichts, die zweite Definition 
anzunehmen, welcher das Maß desjenigen Elräftepaares 
zu Grunde liegt, das eine Magnetnadel zu orientieren 
strebt. 

Aber wenn man die zweite Definition annimmt, so 
hängen weder die Wirkungen der Induktion noch die 
elektrodynamischen Wirkungen allein von der Verteilung 
der Kraftlinien dieses magnetischen Feldes ab. 

3. Die diesen Theorien anhaftenden Schwierig- 
keiten. — Die Helmholtzsche Theorie ist ein Fortschritt 
gegenüber der Amp^reschen Theorie; es bleibt indessen 
notwendig, alle Schwierigkeiten zu ebnen. In der einen 
wie in der anderen hat das Wort: „magnetisches Feld** 
keinen Sinn, oder wenn man ihm durch eine mehr oder 
weniger künstliche Festsetzung einen Sinn beilegt, so 
sind die gewöhnlichen, allen Elektrikern so vertrauten 
Gesetze nicht mehr anwendbar; so wird die in einem 
Drahte induzierte elektromotorische Kraft nicht mehr 
durch die Anzahl der Kraftlinien, welche diesen Draht 
treffen, gemessen. 

Und unsere Abneigung stammt nicht nur daher, daß 
es schwer ist, eingewurzelten Gewohnheiten in Sprache 
und Gedanken zu entsagen. Es spielt noch anderes 
mit. Wenn wir an die Femwirkungen nicht glauben, 
muß man die elektrodynamischen Erscheinungen durch 
eine Modifikation des Zwischenmediums erklären. Eben 
diese Modifikation nennt man magnetisches Feld, dann 
werden die elektrodynamischen Wirkungen nur von diesem 
Felde abhängen. 



Die Maxwellsche Theorie. 



239 



Alle diese Schwierigkeiten entstehen durch die 
Hypothese der offenen Ströme. 

4. Die Maxwellsche Theorie. — Solchergestalt 
waren die Schwierigkeiten der herrschenden Theorien, 
als Maxwell erschien, der sie alle mit einem Federstriche 
verschwinden ließ. Nach seinen Ideen gibt es nur ge- 
schlossene Ströme. 

Maxwell nimmt an, daß, wenn in einem Dielektrikum 
das elektrische Feld sich zu verändern beginnt, dieses 
Dielektrikum der Sitz einer besonderen Erscheinung 
wird, die auf das Galvanometer wie ein Strom wirkt 
und von Maxwell Verschiebungsstrom genannt- wird. 

Wenn dann zwei Leiter, welche entgegengesetzte 
Ladungen tragen, durch einen Draht miteinander in 
Verbindung gebracht sind, so herrscht in diesem Drahte 
während der Entladung ein offener Leitungsstrom; aber 
es entstehen zu gleicher Zeit in dem umgebenden 
Dielektrikum Verschiebungsströme, welche diesen Lei- 
tungsstrom schließen. 

Man weiß, daß die Maxwellsche Theorie zur Er- 
klärung der optischen Erscheinungen führt, indem letztere 
aus außerordentlich schnellen elektrischen Oszillationen 
bestehen. 

Zu dieser Zeit war eine solche Auffassung nichts als 
eine kühne Hypothese, welche sich auf keine Erfahrung 
stützen konnte. 

Nach Verlauf von zwanzig Jahren erhielten die Max- 
wellschen Ideen ihre experimentelle Bestätigung. Es 
gelang Hertz, Systeme elektrischer Oszillationen hervor- 
zubringen, welche alle Eigenschaften des Lichtes auf- 
weisen und sich von diesem nur durch die Wellenlänge 
unterscheiden, d. h. so, wie sich violett von rot unter- 
scheidet. Er verwirklicht gewissermaßen die Synthese 
des Lichtes. 

Man könnte sagen, daß Hertz nicht direkt die funda- 



240 rV> 13« Elektrodynamik. 

mentale Idee Maxwells, die Wirkung des Verschiebungs- 
stromes auf das Galvanometer, bewiesen hat. Das stimmt 
in gewisser Eünsicht; direkt hat er, alles in allem ge- 
nonunen, bewiesen, daß die elektromagnetische Induktion 
sich nicht momentan, wie man bisher annahm, fortpflanzt, 
sondern mit der Greschwindigkeit des Lichtes. 

Ob man voraussetzt, daß es keinen Verschiebungs- 
strom gibt und daß die Induktion sich mit der Ge- 
schwindigkeit des Lichtes fortpflanzt, oder ob man vor- 
aussetzt, daß die Verschiebungsströme Induktionswirkungen 
hervorbringen und daß die Induktion sich momentan fort- 
pflanzt, ist ganz das Nämliche. 

Das sieht man nicht im ersten Augenblick, aber man 
kann es durch eine Analyse beweisen, die ich unmöglich 
hier wiedergeben kann.^®^ 

5. Rowlandsche Experimente. — Wie ich weiter 
oben sagte, gibt es zwei Arten von offenen Leitungs- 
strömen: zuerst die Entladungsströme eines Konden- 
sators oder irgend eines Leiters. 

Es gibt auch Fälle, in denen elektrische Ladungen 
einen geschlossenen Weg beschreiben, indem sie sich 
in einem Teile des Stromkreises durch Leitung fort- 
bewegen und in einem anderen Teile durch Konvektion. 

Für die offenen Ströme der ersten Art konnte die 
Frage als gelöst betrachtet werden: sie wurden durch 
die Verschiebungsströme geschlossen. 

Für die offenen Ströme der zweiten Art erschien die 
Lösung noch einfacher; wenn der Strom geschlossen war, 
so konnte das, wie es schien, nur durch den Kon- 
vektionsstrom selbst geschehen. Dazu genügte es anzu- 
nehmen, daß ein „Konvektionsstrom" , d. h. ein in Be- 
wegung gesetzter geladener Leiter auf das Galvanometer 
einwirken könne. 

Aber die experimentelle Bestätigung fehlte. Es er- 
schien in der Tat schwer, eine genügende Intensität zu 



Rowlands Experimente. 24 1 

erlangen, selbst wenn man die Ladung und die Ge- 
schwindigkeit des Leiters so viel als möglich ver- 
größerte. 

Ein äußerst geschickter Experimentator, der Physiker 
Rowland, wurde zuerst dieser Schwierigkeit Herr oder 
schien sie wenigstens überwunden zu haben. Eine 
Scheibe erhielt eine starke elektrostatische Ladung und 
eine sehr große Rotationsgeschwindigkeit. Eine astatische 
Magnetnadel, die in die Nähe der Scheibe gestellt war, 
zeigte Ablenkungen. 

Das Experiment wurde von Rowland zweimal ge- 
macht, einmal in Berlin und einmal in Baltimore; es 
wurde später von Himstedt wiederholt. Diese Physiker 
glaubten sogar behaupten zu können, daß quantitative 
Messungen ausgeführt werden könnten. 

Tatsächlich ist seit zwanzig Jahren das Rowlandsche 
Gesetz von allen Physikern ohne Widerspruch zugelassen 
worden. 

Alles schien es übrigens zu bestätigen. Der Funken 
verursacht tatsächlich eine magnetische Wirkung; ist es 
nicht wahrscheinlich, daß die Entladung durch den 
Funken Teilchen zuzuschreiben ist, welche der einen 
Elektrode entrissen und mit ihrer Ladung auf die 
andere Elektrode übertragen werden? Ist nicht sogar 
das Spektrum des Funkens, in welchem man die Metall- 
streifen der Elektroden erkennt, ein Beweis dafür? Der 
Funke wäre also ein wirklicher Konvektionsstrom. 

Andererseits nimmt man bekanntlich an, daß die 
Elektrizität in einem Elektrolyten von bewegten Ionen 
mitgeführt wird. Der Strom in einem Elektrolyten wäre 
also dann ebenfalls ein Konvektionsstrom; er wirkt ja 
auch auf eine Magnetnadel. 

Dasselbe gilt für die Kathodenstrahlen; Crookes 
schrieb diese Strahlen der Wirkung einer sehr feinen 
Materie zu, die mit negativer Elektrizität geladen sei 

Poincar6, Wissenschaft und Hyi)othese. 16 



^ 



242 IV, 13. Elektrodynamik. 

und sich mit sehr großer Geschwindigkeit bewege, mit 
anderen Worten: er sah die Strahlen als Konvektions- 
ströme an. Diese Kathodenstrahlen werden durch den 
Magneten abgelenkt. Vermöge des Prinzipes der Wir- 
kung und Gegenwirkung müssen sie ihrerseits die Magnet- 
nadel ablenken. 

Zwar glaubte Hertz bewiesen zu haben, daß die 
Kathodenstrahlen keine negative Elektrizität mit sich 
führen und daß sie nicht auf die Magnetnadel wirken. 
Aber Hertz täuschte sich; vor allem gelang es Perrin, 
die von diesen Strahlen übertragene Elektrizität aufzu- 
fangen, deren Existenz Hertz leugnete; der deutsche 
Gelehrte scheint durch die Wirkung der X-Strahlen ge- 
täuscht zu sein, die damals noch nicht entdeckt waren. 
Femer hat man ganz neuerdings die Wirkung der 
Kathodenstrahlen auf die Magnetnadel vollkommen außer 
Zweifel gestellt. 

So wirken also alle diese Erscheinungen, die man 
als Konvektionsströme betrachtet (Funken, elektrolytische 
Ströme, Kathodenstrahlen), in gleicher Weise und gemäß 
dem Rowlandschen Gesetze auf das Galvanometer.^®^ 

6. Die Lorentzsche Theorie. — Man ging bald 
noch weiter. Nach der Lorentzschen Theorie wären 
die Leitungsströme selbst wirkliche Konvektionsströme: 
die Elektrizität bliebe untrennbar mit gewissen materiellen 
Teilchen, Elektronen genannt, verknüpft; die Bewegung 
dieser Elektronen durch das Innere der Körper soll die 
Voltaschen Ströme erzeugen, und der Unterschied der 
Leiter von den Nichtleitern soll darin bestehen, daß die 
einen von diesen Elektronen durchdrungen werden 
können, während die anderen die Bewegungen der 
Elektronen aufhalten. 

Die Lorentzsche Theorie ist sehr verlockend, sie 
gibt eine sehr einfache Erklärung für bestimmte Erschei- 
nungen, von denen die alten Theorien, selbst diejenige 



Die Lorentzsche Theorie. 



243 



Maxwells in ihrer ursprünglichen Form, keine genügende 
Rechenschaft geben konnten, z. B. von der Aberration 
des Lichtes, von der teilweisen Mitführung der Licht- 
wellen, von der magnetischen Polarisation, von dem 
Zeemanschen Experimente.^^) 

Es bestehen jedoch noch einige Einwürfe. Die in 
einem Systeme beobachteten Erscheinungen scheinen von 
der absoluten Translationsgeschwindigkeit des Schwer- 
punktes dieses Systems abhängig zu sein, was der Idee 
widerspricht, die wir uns von der Relativität des Raumes 
machen. Gestützt auf Cr6niieu, hat Lippmann diesen 
Einwurf in greifbare Form gebracht. Wir wollen zwei 
geladene Leiter voraussetzen, welche mit derselben Trans- 
lationsgeschwindigkeit begabt sind. Sie sind in relativer 
Ruhe; sie müssen indessen sich gegenseitig anziehen, 
wenn jeder von ihnen einem Konvektionsstrome äqui- 
valent ist, und man könnte, indem man diese Anziehung 
mißt, ihre absolute Geschwindigkeit messen. 

„Nein", würden die Anhänger von Lörentz erwidern, 
„was man dergestalt mißt, ist nicht ihre absolute Ge- 
schwindigkeit, sondern ihre relative Geschwindigkeit in- 
bezug auf den Äther, so daß das Prinzip der Rela- 
tivität gerettet ist." 

Was es auch mit diesem letzten Einwurfe für eine 
Bewandtnis haben mag, das Gebäude der Elektrodynamik 
schien, wenigstens in großen Umrissen, definitiv aufge- 
führt zu sein; alles erschien vollkommen befriedigend; 
die Theorien von Ampere und Helmholtz, welche für 
die nicht mehr existierenden offenen Ströme gemacht 
w£iren, schienen nur noch rein historisches Interesse zu 
bieten, und man hatte fast vergessen, zu welch unent- 
wirrbaren Verwicklungen diese Theorien führten. 

Diese Ruhe wurde gründlich durch die Cr6mieuschen 
Experimente gestört, welche dem einst von Rowland er- 

16* 



1 



244 ^* ^3* Elektrodjmamik. 

haltenen Resultate widersprachen oder wenigstens zu 
widersprechen schienen. ^®^) 

Zahlreiche Forscher haben sich angestrengt, die Frage 
endgültig zu lösen, und neue Experimente wurden unter- 
nommen. Welches Resultat werden sie ergeben? Ich 
werde mich wohl hüten, ein Prognostikum zu wagen, das 
zwischen dem Zeitpunkte, wo ich den Wechsel auf die 
Zukunft ausstelle, und dem Tage, wo dieser Band er- 
scheint, widerlegt werden könnte. 



Erläuternde Anmerkungen 

von F. Lindemann. 



Erster Teil, Zahl und Größe. 

i) Seite 6. Wegen einer eingehenden wissenschaft- 
lichen Begründung der elementaren Arithmetik sei auf 
folgende Werke verwiesen: 

H. Graßmann, Lehrbuch der Arithmetik, 1861; 
H. Hankel, Zur Theorie der komplexen Zahlensysteme, 

1867; 
E. Schröder, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 

Bd. I, 1873; 
G. Peano, Arithmetices principia nova methodo exposita, 

Turin 1889 und dessen Bearbeitung von Genocchi: 

Differentialrechnung, deutsch von Bohlmann und Schepp, 

1899; 
Tannery, Le^ons d'arithm6tique th6orique et pratique, 

Paris 1894. 
O. Stolz und J. A. Gmeiner, Theoretische Arithmetik, 

1900; 
Helmholtz, Zählen und Messen, erkenntnistheoretisch 

bearbeitet, 1887; Wissenschaftliche Abhandlungen 

Bd. 3, p. 356. 
2) S. 14. Dem widerspricht es scheinbzir, wenn 
Dedekind (Was sind und was sollen die Zahlen? 
Braunschweig 1888, § 59, 60, 80) einen Nachweis da- 
für gibt, daß „die unter dem Namen der vollständigen 
Induktion (oder des Schlusses von n auf » + i) bekannte 
Beweisart wirklich beweiskräftig ist.** Die Möglichkeit 
dieses Nachweises liegt in der Art und Weise, wie das 
Unendliche eingeführt („definiert**) und die an endlichen 
Ketten gemachten Operationen auf unendliche Ketten 
übertragen werden (a. a. O., § 64). Irgendwo kommt 
immer diese Geisteskraft in Frage, „welche überzeugt 




246 Anmerkungen i — 3. 

ist, sich die unendliche Wiederholung eines und des- 
selben Schrittes vorstellen zu können". Bei Stolz und 
Peano geschieht dies z. B. bei Aufstellung des Grund- 
satzes: „Wenn ein System von Zahlen, zu welchem die 
Zahl I gehört, die Eigenschaft hat, daß in demselben 
neben jeder darin vorkommenden Zahl die darauf folgende 
erscheint, so enthält es jede Zahl". 

3) S. 20. Besonders hat Kronecker es angestrebt, 
den Gebrauch irrationaler Zahlen aus der Algebra zu ver- 
bannen und alle Beweise allein mit rationalen Zahlen 
durchzufuhren, „die gesamte arithmetische Theorie der 
algebraischen Größen auf eine Theorie der ganzen ganz- 
zahligen Funktionen von Variabein und Unbestimmten 
zurückzuführen" (vgl. dessen Grundzüge einer arithmeti- 
schen Theorie der algebraischen Größen, Festschrift zu 
Kummers fünfzigjährigem Doktorjubiläum, Berlin 1882). 
Später ging Kronecker noch weiter, indem er die 
Existenz irrationaler Zahlen leugnete; so sagte er mir 
in seiner lebhaften und zu Paradoxen geneigten Art ein- 
mal: „Was nützt uns Ihre schöne Untersuchung über 
die Zahl jr? Wozu das Nachdenken über solche Probleme, 
wenn es doch gar keine irrationalen Zahlen gibt?" In 
diesem Sinne schreibt Kronecker in seiner Schrift 
„Über den Zahlbegriflf" (Grelles Journal Bd. loi): „Und 
ich glaube auch, daß es dereinst gelingen wird, den 
gesamten Inhalt aller dieser mathematischen Disziplinen 
(nämlich Algebra und Analysis, nicht Greometrie und 
Mechanik) zu „arithmetisieren", d. h. einzig und allein 
auf den im engsten Sinne genommenen Zahlbegriflf zu 
gründen, aber die Modifikationen und Erweiterungen 
dieses Begriflfes (ich meine hier namentlich die Hinzu- 
nahme der irrationalen, sowie der kontinuierlichen Größen) 
wieder abzustreifen, welche zumeist durch die Anwen- 
dungen auf Geometrie und Mechanik veranlaßt worden 
sind". Insbesondere erörtert Kronecker a. a. O., wie 
die algebraischen Zahlen überall da entbehrlich werden, 
wo nicht die Isolierung der untereinander konjugierten 
•erfordert wird, wobei dann weiterhin irrationale Wurzeln 
•algebraischer Gleichungen durch sogenannte „Isolierungs- 



Zum ersten Teil. 



247 



Intervalle" zu ersetzen sind. Seine Bestrebungen, zumal 
deren äußerste Konsequenzen, die er in mündlichen Er- 
örterungen gern betonte, wurden von anderen nicht 
durchaus gebilligt; Weierstraß äußert sich darüber 
z. B. in seinen Briefen an Frau Kowalewski (Compte 
rendu du deuxi^me congr^s international des math6matici- 
ens en 1900, Paris 1902). 

Nach einer Bemerkung Dedekinds (in der oben 
citierten Schrift, p. XI) hat schon Dirichlet sich mit 
dem Gedanken an solche „Arithmetisierung" der Mathe- 
matik beschäftigt; er schreibt darüber (und dürfte damit 
zugleich den Wert der Kronecker sehen Ideen und die 
Grenzen ihrer Berechtigung richtig bezeichnen): „Gerade 
bei dieser Auffassung [nämlich, daß die schrittweise Er- 
weiterung des Zahlbegriffes, die Schöpftmg der Null, der 
negativen, gebrochenen, irrationalen und komplexen Zahlen 
ohne jede Einmischung fremdartiger Vorstellungen (z. B. 
der meßbaren Größen) stets durch Zurückführung auf 
die früheren Begriffe (der ganzen Zahlen) herzustellen 
ist, und daß erst dadurch jene anderen Vorstellungen, 
z. B. der meßbaren Größen, zu völliger Klarheit erhoben 
werden können] erscheint es als etwas Selbstverständ- 
liches und durchaus nichts Neues, daß jeder, auch noch 
so fem liegende Satz der Algebra und höheren Analysis 
sich als ein Satz über die natürlichen (d. h. ganzen) 
Zahlen aussprechen läßt, eine Behauptung, die ich auch 
wiederholt aus dem Munde von Dirichlet gehört habe. 
Aber ich erblicke keineswegs etwas Verdienstliches dar- 
in — und das lag auch Dirichlet gänzlich fem — , 
diese mühselige Umschreibung wirklich vornehmen und 
keine anderen als die natürlichen Zahlen benutzen und 
anerkennen zu wollen. Im Gegenteil, die größten und 
fruchtbarsten Fortschritte in der Mathematik und anderen 
Wissenschaften sind vorzugsweise durch die Schöpfung 
und Einführang neuer Begriffe gemacht, nachdem die 
häufige Wiederkehr zusammengesetzter Erscheinungen, wel- 
che von den alten Begriffen nur mühselig beherrscht werden, 
dazu gedrängt hat". Dadurch ist nicht ausgeschlossen, 
daß das Zurückgehen auf die natürlichen Zahlen in 



248 Anmerkungen 4 — 8. 

manchen Fällen prinzipielles Interesse bietet. So liegt 
z. B. in Kroneckers oben mitgeteilter Äußerung über 
die Zahl it die Frage: Wie werden sich derartige kom- 
plizierte Grenzbetrachtungen gestalten lassen, wenn man 
den Gebrauch irrationaler Zahlen ausschließt? Wie hat 
man dann algebraische Irrationalitäten von transcen- 
denten zu unterscheiden? 

4) S. 20. Die hier gegebene Definition der irratio- 
nalen Zahlen schließt sich an die Darstellung von 
Tannery an (Introduction k la th6orie des fonctions 
d'une variable, Paris 1886, p. iflf.); dieselbe ist nahe 
verwandt mit der Dedekindschen Behandlung; letzterer 
spricht sich (vgl. die oben citierte Schrift, p. XII) selbst 
über die Unterschiede näher aus. Andere Theorien des 
Irrationalen sind von Weierstraß in seinen Vorlesungen 
(vgl. auch Thomae, Theorie der bestinmiten Integrale 
1875) und G. Cantor (Math. Annalen Bd. 5 und 21) 
aufgestellt. Eine übersichtliche Darstellung dieser Theorien 
findet man bei Pringsheim: Irrationale Zahlen und Kon- 
vergenz unendlicher Prozesse, Encyklopädie der mathe- 
matischen Wissenschaften, I A3. 

5) S. 22, Bei den besprochenen Autoren wird 
wesentlich darauf Gewicht gelegt, daß der ZahlbegriflF 
eingeführt und in alle Konsequenzen verfolgt werden 
kann, ohne daß die Zahl als Maß einer stetigen aus- 
gedehnten Größe gedacht wird. In der Tat entsteht 
dann schon bei Einführung der rationalen Zahl eine 
eigentümliche, aber deshalb nicht unüberwindliche 
Schwierigkeit; der rationale Bruch kann nicht mehr 
durch Teilung der Einheit in gleiche Teile definiert 
werden, sondern erscheint nur als ein von zwei ganzen 
Zahlen (Zähler und Nenner) abhängiges Symbol, vgl. 
Tannery loc. cit. p. VII der Vorrede und Kronecker, 
Grelles Journal Bd. loi, p. 346 f.; geht man (wie z. B. 
Weierstraß) von den Decimalbrüchen aus, so ver- 
schwindet diese Schwierigkeit von selbst. 

6) S. 22, Fechner faßte seine Arbeiten zusammen 
in dem Werke: Elemente der Psychophysik, 2 Bände, 
1860, neu herausgegeben von Wundt 1889. Das 



Zum ersten Teil. 



249 



Fe ebner sehe Gesetz ist eine Folge des vorher von 
H. Weber aufgestellten Gesetzes, naeh dem die Differenz 
zwiseben zwei Reizen {x und x -{- Jx, z. B. Gewichten, 
Tonhöhen, Liehtstärken) immer gleich stark empfunden 
wird, unabhängig von der absoluten Größe des Reizes, 
so daß, wenn Jy die Stärke der Empfindungsänderung 
bedeutet, die Gleichung 

Jy ^ a ' — 

X 

besteht oder durch Integration 

y =z a log X -\- b, 

wo.ö und b Konstanten bedeuten. Aus diesen Anfangen 
der Psychophysik (welche die Beziehungen zwischen 
Körper und Seele exakt formulieren wollte) hat sich in- 
zwischen eine umfangreiche Wissenschaft entwickelt, vgl. 
z. B. Wundts physiologische Psychologie und das zu- 
sammenfassende Werk von Foucault, La psychophysi- 
-que, Th^se pour le doctorat, Paris 1901. 

Für den Mathematiker dürfte eine Bemerkung von 
Laplace von Interesse sein, die auch zu obiger Formel 
bei einem Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung 
fuhrt; nach ihm (und Bernoulli) ist nämlich der Zu- 
wachs des moralischen Vorteils y, den ein Zuwachs dx 
des Vermögens x für den Besitzer dieses Vermögens 
mit sich bringt, direkt proportional zu dx und umgekehrt 
proportional zu x; so daß zwischen moralischem und 
materiellem Vermögen dieselbe Relation besteht wie 
zwischen Empfindung und Reiz. 

7) S. 26. Die Vorstellung der eine bestimmte 
Funktion darstellenden Kurve als Grenzfall eines „Funk- 
tionsstreifens" hat F. Klein eingehend besprochen: 
Sitzungsberichte der physik.-mediz. Sozietät zu Erlangen, 
1873, abgedruckt in Bd. 22 der Math. Annalen; vgl. 
auch Paschs Einleitung in die Differential- und Integral- 
rechnung, Leipzig 1882. 

8) S. 26. Ist die Länge der Quadratseite gleich 2 a und 
sind die Seiten den Koordinatenachsen parallel, während 



2 CO Anmerkungen 8 — 9. 

der Mittelpunkt im Anfangspunkte x = o, y = o liegt, 
so sind die Gleichungen des eingeschriebenen Kreises 
und der Diagonale bez. 

x^ -}_^2 s=3 a^ und >' = ^, 

woraus sich die Koordinaten |, ri des Schnittpunktes in 
der Form 

a 

ergeben, also irrational, wenn a rational gegeben war. — 
In ähnlicher Weise formuliert Dedekind (loc. cit.) die- 
sen Gedanken in folgenden Worten: „Wählt man drei 
nicht in einer Geraden liegende Punkte Ay By C nach 
Belieben, nur mit der Beschränkung, daß die Verhält- 
nisse ihrer Entfernungen A B, B C, A C algebraische 
Zahlen sind (d. h. Zahlen, die sich als Wurzeln alge- 
braischer Gleichungen mit rationalen Koeffizienten be- 
stimmen lassen), und sieht man im Räume nur diejenigen 
Punkte M als vorhanden an, für welche die Verhältnisse 
von MA, MBy MC zu AB ebenfalls algebraische Zahlen 
sind, so ist der aus diesen Punkten Jlf bestehende 
Raum, wie leicht zu sehen, überall unstetig; aber trotz 
der Unstetigkeit, Lückenhaftigkeit dieses Raumes sind 
in ihm, so viel ich sehe, alle Konstruktionen, welche in 
Euklids Elementen auftreten, genau ebenso ausführbar 
wie in dem voUkonmien stetigen Räume; die Unstetig- 
keit dieses Raumes würde daher in Euklids Wissenschaft 
gar nicht bemerkt, gar nicht empfunden werden. Wenn 
mir aber jemand sagt, wir könnten uns den Raum gar 
nicht anders als stetig denken, so möchte ich das be- 
zweifeln und darauf auftnerksam machen, eine wie weit 
vorgeschrittene, feine wissenschaftliche Bildung erforder- 
lich ist, um nur das Wesen der Stetigkeit deutlich zu 
erkennen und um zu begreifen, daß außer den rationalen 
Größenverhältnissen auch irrationale, außer den alge- 
braischen auch transcendente denkbar sind". 

9) S. 29. Vgl. P. du Bois-Reymond: Die allge- 
meine Funktionentheorie, Metaphysik und Theorie der 



Zum ersten Teil. 



251 



mathematischen Grundbegriffe, Tübingen 1882. Die ver- 
schiedenen Ordnungen des Unendlichkleinen werden auf 
S. 7 5 f. kurz besprochen. Die zahlreichen Arbeiten des 
genannten Verfassers beziehen sich direkt mehr auf die 
verschiedenen Ordnungen des Unendlichgroßen (woraus 
man durch Umkehrung auf das Unendlichkleine schließen 
kann) und auf die Besetzung der Geraden mit Verdich- 
tungsstellen verschiedener Ordnungen von „Punktmengen", 
wie sie für die Beurteilung von Integralen wichtig sind 
und mit Cantors Theorie der Punktmengen zusammen- 
hängen. — Auf S. 55 des erwähnten Werkes bespricht 
du Bois-Reymond auch den (zuerst von Heine in 
Bd. 74 von Grelles Journal gemachten) Versuch, die 
Zahlen rein formal (d. h. unabhängig von der Vorstellung 
meßbarer Größen) zu definieren, und verwirft ihn als un- 
fruchtbares Gredankenspiel; er stößt sich dabei besonders 
an die schon beim Rechnen mit rationalen Brüchen ent- 
stehende und oben unter 5) besprochene Schwierigkeit, 
sowie an das beim Übergange zur Anwendung der Zahlen 
auf Messung von Größen in der Tat nicht vermeidbare 
Axiom, wonach auch wirklich jedem Punkte der geraden 
Linie eine Zahl zuzuordnen ist, denn direkt beweisbar 
ist nur der Satz, daß jeder durch irgend ein Gesetz de- 
finierten Zahl ein Punkt mit beliebiger Genauigkeit zu- 
geordnet werden kann. Die neuere Entwicklung der 
Mathematik geht dahin, die rein arithmetische Begrün- 
dung der Analysis (unabhängig von geometrischen Vor- 
stellungen) inmier mehr zu bevorzugen, da sich so wesent- 
liche Erleichterungen für alle mit Grenzbegriflfen ope- 
rierenden Beweise ergeben. — Eine wesentlich andere 
Frage ist es, ob sich diese arithmetische Behandlung 
auch für den Anfanger aus didaktischen Rücksichten 
empfiehlt, oder ob es angezeigt ist, den Anfanger in 
Kürze denjenigen Gang durchmachen zu lassen, den die 
historische Entwicklung der Wissenschaft an die Hand 
gibt, wie es z. B. der Verfasser des vorliegenden Werkes 
oben auf S. 5 empfiehlt und wie es F. Klein mit be- 
sonderem Nachdrucke verlangt hat (Über Arithmetisierung 
der Mathematik, Göttinger Nachrichten, 1895). Den ent- 




2^2 Anmerkungen lo — 12. 

gegengesetzten Standpunkt vertritt Pringsheim (Über den 
Zahl- und Grenzbegriflf im Unterricht, VI. Jahresbericht 
der deutschen Mathematiker- Vereinigung, 1898, und: Zur 
Frage der Universitäts-Voriesungen über DifFerentiabrech- 
nung, ib. VII, 1899). ^^® Frage ist eine wesentlich prak- 
tische und wird je nach Begabung und Erfahrung des 
einzelnen Dozenten immer verschieden beantwortet werden; 
vielleicht empfiehlt es sich am meisten, keine der beiden 
Auffassungen über der anderen ganz zu vernachlässigen; 
auch Pringsheim hebt die Notwendigkeit hervor, das 
Bedürfnis der betr. abstrakten Betrachtungen dem An- 
fanger durch ein Beispiel (etwa die Auflösung der Gleichung 
x^ = 2) fühlbar zu machen, ihn also auf seine bisherige 
(auch geometrische) Erfahrung zu verweisen. — Unend- 
lich kleine Größen gebrochener Ordnung kommen schon 
bei Leibniz vor. (Math. Schriften Bd. 2, p. 30oflf.) 

10) S. 31. Nachdem Riemann und Schwarz 
Funktionen konstruiert hatten, welche für gewisse Werte 
von Xf die in jedem noch so kleinen Intervalle unbe- 
grenzt oft wiederkehren, keinen bestinmiten endlichen 
Differentialquotienten haben, hat Weierstraß zuerst eine 
stetige Funktion angegeben, die an keiner Stelle einen 
bestimmten Differentialquotienten hat, die also durch 
eine Kurve ohne Tangenten dargestellt wird, und zwar 
in einem Briefe an P. du Bois-Reymond, der in des 
letzteren Abhandlung „Versuch einer Klassifikation der 
willkürlichen Funktionen" (Grelles Journal Bd. 79, 1875) 
veröffentlicht wurde. Andere Beispiele hat Darboux ge- 
geben: Memoire sur les fonctions discontinues , Annales 
de r^cole normale, 2. Serie, t. 4, 1875. 

11) S. 33. Der Begriff des Querschnittes ist von 
Riemann bei seinen Arbeiten über algebraische Funk- 
tionen und deren Integrale und über die damit zusanmien- 
hängenden und zu deren Veranschaulichung dienenden 
„Riemannschen Flächen" eingeführt (Grelles Journal, Bd. 54, 
1857; Gesammelte Werke, Leipzig 1876) und wird seit- 
dem allgemein angewandt; vgl. die Darstellung bei C. Neu- 
mann, Theorie der Ab eischen Integrale, Leipzig 1865, 
2. Auflage 1884). — Die Angaben des Textes wird 



Zum ersten Teil. 



253 



man sich an Beispielen klarmachen, indem man das 
physikalische Kontinuum wieder durch das mathematische 
Kontinuum ersetzt, also z. B. ein Kontinuum von einer 
Dimension durch eine Kurve. Eine solche wird durch 
eine diskrete Anzahl von Punkten (die zusammen den 
Querschnitt darstellen) in getrennte Teile zerlegt, so eine 
Gerade durch einen Punkt, ein Kreis durch zwei Punkte 
u. s. f. Gehört dann der Punkt A dem einen Teile, der 
Punkt B dem andern Teile an, so kann man von A 
nach B längs der zerlegten Kurve C nur gelangen, in- 
dem man einen Punkt des Querschnittes überschreitet. 
Besteht der Querschnitt gelbst nicht aus diskreten Punkten, 
sondern aus einer stetigen Punktfolge (Kurve), so hatte 
das zerschnittene Gebilde zwei Dimensionen; so wird 
eine Ebene durch eine gerade Linie, eine Kugel durch 
einen ebenen Schnitt (Kreis) in getrennte Kontinua zer- 
legt, femer unser Raum durch eine Ebene (Kontinuum 
von zwei Dimensionen) in zwei getrennte Kontinua von 
je drei Dimensionen u. s. f. — Der Begriff einer «-fach 
ausgedehnten Mannigfaltigkeit wurde von Riemann in 
der unten unter 15) citierten Abhandlung fixiert. 

12) S. 34. Als Begründer der sogenannten Analysis 
Situs ist Leibniz zu nennen; diesem Teile der Geo- 
metrie gehört z. B. der Euler sehe Satz an (Nov. Comm. 
Petrop. 4, 1752), nach dem zwischen der Anzahl y* der 
Flächen, e der Ecken und k der Kanten eines Polyeders 
die Relation 

k =/+ e— 2 

besteht, denn dieser Satz gilt auch noch, wenn die 
Flächen verbogen, die Kanten verzerrt werden; er hängt 
in der Tat mit der Theorie Riemannscher Flächen (in 
der auch beliebige Verbiegungen und Verzerrungen als 
irrelevant behandelt werden) enge zusammen. Die Ana- 
lysis Situs wurde durch Listing (Der Zensus der räum- 
lichen Komplexe, Göttinger Abhandlungen, 1861), Rie- 
mann (loc. cit.), Schläfli (Grelles Journal, Bd. 5, An- 
nali di matematica, 5) und Klein (Math. Annalen, Bd. 7, 
9 und 10) weiter entwickelt. 



254 Anmerkungen 13 — 15. 



Zweiter Teil, Der Raum. 

13) S. 36. Der Grundsatz: „Zwei Größen, die einer 
und derselben dritten gleich sind, sind untereinander 
gleich'' ist rein analytisch, wenn man ihn (wie es in 
modernen elementaren Büchern meist geschieht) auf 
Zahlengrößen bezieht. Wenn dieser Satz aber auch unter 
Euklids Axiomen erscheint und wenn man bedenkt, 
daß dem Altertume die Identifizierung von geometrischen 
Größen mit Zahlen vollkommen fernlag, so muß man 
jenem Grundsatze bei Euklid eine rein geometrische 
Bedeutung beilegen, wie ich in meiner Darstellung der 
nicht -Euklidischen Geometrie (Vorlesungen über Geo- 
metrie unter Benutzung der Vorträge von Alfred Clebsch,. 
2. Bandes i. Teil, Leipzig 1891, p. 555) näher ausge- 
führt habe. Der Satz ist nichts anderes als eine Defi- 
nition der Gleichheit geometrischer Figuren, die nicht 
direkt aufeinander gelegt werden können; denn durch 
das vierte Axiom von Euklid werden solche Figuren als 
gleich definiert, die man durch Bewegung zur Deckung 
bringen kann. Über diese „Bewegungen" vgl. unten An- 
merkung 24. 

14) S. 37. Lobatschewskys erste Arbeiten wurden 
1829 — 38 in Kasan veröffentlicht, dann 1837 in Bd. 17 
von Grelles Journal; seine Theorie der Parallelen ist 
in Ostwalds Klassiker- Bibliothek wieder abgedruckt; 
Bolyais Hauptwerk erschien 1832; auch Gauß, der mit 
letzterem in Verbindung stand, beschäftigte sich mit ähn- 
lichen Gedanken in seinen Briefen an Schumacher 
(aus dem Jahre 1831). Über die Geschichte des Problems 
vgl. Stäckel und Engel: Die Theorie der Parallellinien 
von Euklid bis auf Gauß, Leipzig 1895, und von den- 
selben Verfassern: Urkunden zur Geschichte der nicht- 
Euklidischen Geometrie, Leipzig 1899, femer: Brief- 
wechsel zwischen Gauß und Bolyai, herausgegeben von 
Schmidt und Stäckel, Leipzig 1899. Ein Verzeichnis 
aller Schriften über nicht -Euklidische Geometrie findet 
sich in der von der Universität Klausenburg heraus- 



Zum zweiten Teil. 



255 



gegebenen Festschrift: Libellus post saeculum quam 
Joannes Bolyai de Bolya anno 1802 a. D. Claudiopoli 
natus est ad celebrandam memoriam eins immortalem . . . . 
editus, Claudiopoli, 1902. 

15) S. 37. Die genannte Abhandlung Riemanns 
wurde von ihm am 10. Juni 1854 bei dem zum Zwecke 
seiner Habilitation (als Privatdozent) veranstalteten Kol- 
loquium mit der philosophischen Fakultät in Göttingen 
vorgelesen. Dadurch erklärt sich der fragmentarische 
Charakter, indem analytische Entwicklungen für diesen 
Zweck möglichst vermieden werden mußten. Die Ab- 
handlung wurde 1867 aus dem Nachlasse ihres Verfassers 
durch R. Dedekind zuerst veröffentlicht: Abhandlungen 
der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göt- 
tingen, Bd. 13, abgedruckt in Riemanns gesammelten 
Werken, Leipzig 1876, S. 254 flf.; vgl. auch ib. S. 384, 
wo Dedekind im Anschlüsse an eine andere Arbeit 
Riemanns einige analytische Erläuterungen gibt. 

Beltramis Abhandlung (Teoria fondamentale degli 
spazii di curvatura constante) erschien 1868: Annali di 
matematica, Serie 11, t. 2 (vgl. dessen Opere matematiche). 
Die Arbeit von Helmholtz (Über die Tatsachen, die 
der Geometrie zu Grunde liegen) ist gleichfalls 1868 ver- 
öffentlicht: Nachrichten der kgl. Gesellschaft der Wissen- 
schaften zu Göttingen, Bd. 15 (vgl. dessen Wissenschaft- 
liche Abhandlungen, Bd. 2, 1883); derselbe hat auch 
versucht, seine Anschauungen in allgemein verständlicher 
Weise darzulegen: Über den Ursprung und die Bedeu- 
tung der geometrischen Axiome (Vorträge und Reden, 
Bd. 2, Braunschweig 1884). 

Durch die Arbeiten von F. Klein (Über die soge- 
nannte nicht-Euklidische Geometrie, Math. Annalen Bd. 4, 
1871; Bd. 6, 1873; Bd. 7, 1874; Bd. 37, 1890), die 
sich an Cayleys Verallgemeinerung der Maßbestimmungs- 
Funktion (A sixth memoir upon quantics, Philosophical 
Transactions, vol. 149, 1859; CoUected papers, vol. 2) 
anschlössen, hat die Behandlung der betreffenden Pro- 
bleme neue Bahnen eingeschlagen; vgl. meine Darstel- 
lung dieser Theorien in dem Werke: Vorlesungen über 



i 



256 Anmerkungen 16 — 19. 

Geometrie, bearbeitet unter Benutzung der Vorträge von 
A. Clebsch, Bd. II, Teil i, Leipzig 1891; femer Kil- 
ling: Die nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer 
Behandlung, Leipzig 1885. 

16) S. 39. In populärer und teilweise humoristischer 
Weise ist die Geometrie der zweidimensionalen Wesen 
behandelt in dem Werke: Flatland, A romance of many 
dimensions by A Square, London 1884. — Zweidimen- 
sionale Wesen haben natürlich große Schwierigkeiten im 
Studium der Geometrie, denn eine gezogene Linie ver- 
deckt ihnen alles, was sich auf der einen Seite dieser 
Linie befindet; andererseits würden vierdimensionale 
Wesen mit Ebenen und Kugeln in analoger Weise leicht 
operieren (durch dem Lineal und Zirkel analoge Instru- 
mente), wie wir es mit geraden Linien und Kreisen tun. 
17) S. 40. Die Euklidische, Lobatschewskysche und 
Riemannsche Geometrie werden nach Klein in folgender 
Weise charakterisiert: In der ersten (der parabolischen 
Geometrie) verhalten sich die unendlich fernen Punkte 
wie Punkte einer Ebene (nach Poncelet), in welcher sich 
ein ausgezeichneter imaginärer Kegelschnitt befindet, der 
nach Chasles und Laguerre zur Definition der Winkel 
dient; in der zweiten (der hyperbolischen Geometrie) 
haben wir statt der Ebene eine reelle, nicht geradlinige 
Fläche zweiter Ordnung als Repräsentanten der unend- 
lich fernen Punkte, in der dritten (der elliptischen Geo- 
metrie) eine imaginäre Fläche zweiter Ordnung. Der 
Satz, daß zwei Punkte ihre gerade Verbindungslinie ein- 
deutig bestimmen, gilt gleichmäßig in allen drei Geo- 
metrien. Im dritten Falle kann man durch eine quadra- 
tische Transformation eine weitere Geometrie herstellen, 
bei der jedem Punkte ein anderer eindeutig derartig 
zugeordnet ist, daß beide zusammen eine gerade Linie 
nicht bestimmen. Wenn man die Riemannsche Geo- 
metrie der Ebene sich nach Riemann und Beltrami 
auf einer Fläche konstanten Krümmungsmaßes (insbeson- 
dere auf der Kugel) veranschaulicht (vgl. S. 4 1 ff. des 
obigen Textes), so hat man diesen Fall vor sich, in dem 
durch zwei Punkte unendlich viele gerade Linien hin- 



Zum zweiten Teil. 



257 



durchgehen können (wie auf der Kugel unendlich viele 
größte Kreise durch zwei diametral gegenüberliegende 
Punkte). Killing hat a. a. O. gezeigt, daß nie mehr 
als zwei Punkte einander so zugeordnet sein können; 
deshalb ist im Texte des vorliegenden Werkes von „zwei 
möglichen Formen" der Riemannschen Geometrie die 
Rede. Dieses Verhalten der Geometrie auf der Kugel 
hat Helmholtz zu der irrigen Ansicht geführt, daß eine 
solche paarweise Zuordnung der Punkte notwendig mit 
den Vorstellungen der Riemannschen Geometrie ver- 
bunden sei ; und diese Ansicht findet man seitdem häufig 
vertreten, insbesondere z. B. bei Erdmann (Die Axiome 
der Geometrie, eine philosophische Untersuchung der 
Riemann-Helmholtzschen Raumtheorie, Leipzig 1877). 
Riemann selbst spricht sich nicht darüber aus, welche 
der beiden möglichen Formen ihm vorgeschwebt hat. 
Diese beiden Formen unterscheiden sich auch dadurch, 
daß bei der ersten der Raum durch eine Ebene (die 
Ebene durch eine gerade Linie) nicht in zwei getrennte 
Teile zerlegt werden kann, während dies in der zweiten 
Form möglich ist; vgl. mein oben erwähntes Werk, 
S. 527 flf. 

18) S. 40. Man beachte, daß das Wort „parallel" 
in der Lobatschewskyschen Geometrie in doppeltem Sinne 
gebraucht wird. Entweder man nennt zwei Linien pa- 
rallel, wenn sie sich nicht schneiden; dann gibt es un- 
endlich viele Parallele zu einer gegebenen Geraden durch 
einen gegebenen Punkt. Oder man nennt sie parallel, 
wenn sie sich im Unendlichen schneiden (d. h. wenn die 
eine bei Drehung um den festen Punkt diejenige Grenz- 
lage erreicht, bei welcher der Schnittpunkt sich ins Un- 
endliche entfernt); dann gibt es nur zwei solche Paral- 
lele, aber außerdem noch unendlich viele Gerade, welche 
die gegebene Gerade nicht schneiden, und die man als 
ultraparallel bezeichnen könnte. Die im Texte er- 
wähnte Unterscheidung von „unbegrenzt" und „unend- 
lich" hat Riemann a. a. O. eingeführt. 

19) S. 43. Es seien x, y, z die rechtwinkligen Ko- 
ordinaten eines Punktes in unserem Euklidischen Räume 

Poincar6, 'Wissenschaft und Hypothese. I7 



\ 



258 Anmerkung 19. 

und ^, ri, i die analogen Koordinaten im Lobatschewsky- 
sehen Räume (vgl. über die Definition der letzteren das 
oben unter 15) citierte Werk: Vorlesungen über Geometrie, 
Bd. II, p. 5 1 8 fif) ; dann ist die im Texte des vorliegenden 
Werkes durch deis „Wörterbuch" zum Ausdruck gebrachte 
Beziehung zwischen beiden Räumen durch die Formeln 



^»_|-^«_|-Ä» — >&»' '' x^ + y* + z^ — k^' 



? = 



2y 



:v« + ^» + z«_>&« 

analytisch dargestellt. Hieraus erhält man 
Die Auflösung der Gleichungen (i) orgibt also 

(3) ^=^' >' = p, 



Der Einfachheit halber nehmen wir « = jS = y = >&• 
Reelle Werte von Xj y, z erhält man also nur dann,, 
wenn die Bedingung 

(4) (Ä?+i)'-|*-i?'-i>o 

erfüllt ist, d. h. wenn der Punkt J, 1^, f innerhalb der 
(nicht geradlinigen) Fläche zweiter Ordnung 

(5) (*?+i)»-|»-ij'-i=o 

gelegen ist, so daß die von ihm an diese Fläche zu 
legenden Tangenten imaginär sind. In der Loba- 
tschewskyschen Geometrie stellt diese Fläche die unend- 
lich fernen Punkte des Raumes dar, so daß alle Punkte 
dieses Raumes erschöpft sind, wenn |, 1^, f der Bedin- 



Zum zweiten Teil. 



259 



gung (4) unterworfen werden; vgl. die Anmerkung 17. 
Wählt man in (3) das positive Vorzeichen der Quadrat- 
wurzel, so entspricht der Gesamtheit von Punkten §> 1?» ? 
des Lobatschewskyschen Raumes die Gesamtheit der 
Punkte in demjenigen „Halbraume" der Euklidischen Greo- 
metrie, welcher durch die Bedingung « > o dargestellt 
wird. Der „Fundamentalebene" « = o des Euklidischen 
Raumes entspricht die „Fundamentalfläche" (unendlich 
ferne Fläche) zweiter Ordnung, die durch (5) ge- 
geben war. 

Eine Kugel des Euklidischen Raumes, welche die 
Fundamentalebene s » o orthogonal schneidet (deren 
Mittelpunkt also in der Ebene s » o liegt), ist durch die 
Gleichung 

(6) x^ +y + 0«-2Är-2 3j/ + a« + 3« — r« = o 
dargestellt. Sie geht vermöge (i), wo wieder 

zu nehmen ist, in die Gleichung 

(7) «$ + »i? + J»f + I =0, 
also in eine Ebene über, wenn 

, , a h a» + J« 4. >&« _ r* 
(7a) « = -p ^ = -p ^= 2^ 

gewählt wird. Eine zweite Kugel 

(8) j»;« + >/^ + 2« — 2a^x— ih^y + a^ + h^ - r^« = o 
führt ebenso zu einer zweiten Ebene 

(9) «iS + z'iiy + tt'if + I =0, 
wenn 

(9a) u^ f, v^ -1, ^^1 - ^ ^ ^^ ^- 

Ist die Entfernung ihrer Zentren kleiner als die Summe 
der Radien, d. h. ist 

(10) {a - a,y +(b- 3J» < (r ± r,)», 

SO schneiden sich beide Kugeln in einem Kreise, der 

17* 



260 Anmerkung 19. 

in einer zu = o senkrechten Ebene liegt; ihm ent- 
spricht im Lobatschewskyschen Räume die Schnittlinie 
der beiden Ebenen (7) und (9). Ist die Bedingung (10) 
nicht erfüllt, so schneiden sich die Kugeln nicht, also 
auch die zugeordneten Ebenen schneiden sich nicht, 
d. h. die Werte von |, rj, f, welche den Gleichungen (7) 
und (9) genügen, sind solche, denen im Lobatschewsky- 
schen Räume keine Punkte entsprechen, indem die- 
selben die verlangte Ungleichung (4) nicht befriedigen; 
diese Wertetripel stellen (nach Kleins Ausdrucksweise, 
vgl. S. 471 f. meines oben erwähnten Werkes) „ideale 
Punkte" des Raumes dar. Berühren sich die Kugeln 
(6) und (8), so haben sie einen reellen Punkt in der 
Fundamentalebene 2 = gemeinsam; den Ebenen (7) 
und (9) ist also auch ein Punkt der (unendlich fernen) 
Fundamentalfläche (5) gemeinsam, d. h. den Werten 
von I, riy f, welche den Gleichungen (7) und (9) ge- 
nügen, entsprechen im allgemeinen keine Punkte des 
Lobatschewskyschen Raumes, ausgenommen ein ein- 
ziges Tripel |, t^, f, das einen unendlich fernen Punkt 
liefert: die Ebenen (7) und (9) sind einander parallel 
(sie schneiden sich in einer von „idealen" Punkten er- 
füllten Geraden, welche die Fundamentalfläche (5) be- 
rührt). 

Die Gleichung der Fläche (5) in Ebenenkoordinaten 
Uf Vy w ist bekanntlich 

(11) Ä^(«* + z;* + i) — ikw = o. 

Die Bedingung dafür, daß sich durch die Schnittlinie 
zweier Ebenen zwei imaginäre Tangentenebenen an die 
Fläche (5), bezw. (11) legen lassen, ist (vgl. z. B. S. 197 
meines oben genannten Werkes): 

(12) lP^GL<o, 

wenn 

G^k^{u^ + v^+ i)---2kw, 

(13) L = k^{u^^ + v^^ + i) — 2kw^ , 
^=s k^(^u^ + vv^ + i) — k{w + w^) 



Zum zweiten Teil. 26 1 

gesetzt wird. Führt man hier die Werte (7a), bez. (9a) 
ein, so wird: 

(14) G^r\ L^r^, 

und die Bedingung (12) ergibt 

((<z - «j)« +(b- b^' - r» - r,^y < 4r%», 

was mit der Bedingung (10) übereinstimmt. Lassen sich 
aber durch eine Gerade imaginäre Tangentenebenen an 
eine nicht geradlinige Fläche zweiter Ordnung legen, so 
sind die Schnittpunkte dieser Fläche mit jener Geraden 
reell, und so ergibt sich wieder die Ungleichung (10) 
als Bedingung dafür, daß sich die Ebenen (7) und (9) 
in wirklichen Punkten des Lob atschewsky sehen Raumes 
schneiden (und somit als identisch mit der Bedingung, 
daß sich die zugeordneten Kugeln in einem reellen 
Kreise durchdringen) ; die wirklichen Punkte J, t^, f liegen 
zwischen beiden reellen Schnittpunkten der Geraden mit 
der Fundamentalfläche (5) ; außerhalb dieser Schnittpunkte 
ergeben sich „ideale" Punkte der Geraden. 

Die Bedingung für den Parallelismus der beiden 
Ebenen ist 

(15) H^^GL, 

und dieselbe ist identisch mit der Bedingung für die 
Berührung beider Kugeln, nämlich 

(16) (« _ a^)S + (Ä _ ij« = (r ± r,)«. 

Diese Bedingung der Berührung ergibt sich auch, 
wenn man von dem Winkel beider Kugeln ausgeht, d. h. 
dem Winkel, welchen die Tangentialebenen der Kugeln 
in einem Punkte ihrer Schnittkurve miteinander ein- 
schließen. Ist x^yj z ein Punkt der Schnittkurve und 
werden mit X, F, Z laufende Koordinaten bezeichnet, 
so sind die Gleichungen der beiden Tangentialebenen 
für die Kugeln (6) und (8) 

{x - a){X-a) + {y- b){r-- ^) + « . Z- r« « o, 



262 Anmerkung 19. 

(x - a,){X- Ol) + Cy - d^){y- b,) + z- Z-r^' - o; 
ihr Winkel q) wird also bestimmt durch: 

{x — a)(x— g^) + 0. — 3)(^ -^ b^) 4- g« 

cos CD = . = . z=z 

oder infolge der Gleichungen (6) und (8): 

/ \ r*+r* — b* — a* — a* — b* + 2{aa.+bb.) 

(17) COS 9 = — '— ^ ^ ' ^ — i-t; — y.. 

Im Falle der Berührung ist cos g) = -}- i, und daraus 
ergibt sich wieder die Bedingung (16). 
Vermöge (14) erhält man aus (17) 

(18) cos flp = , ; 

das ist aber genau der Ausdruck, welcher sich in der 
Lobatschewskyschen Geometrie für den Winkel zweier 
Ebenen (7) und (9) ergibt, wenn man (r, Hf L gemäß 
(13) durch die Koordinaten dieser Ebenen ausdrückt. 
Damit ist die sechste Angabe des im Texte aufgestellten 
„Wörterbuches" bestätigt. Die siebente Angabe erledigt 
sich dadurch, daß in der Lobatschewskyschen Geometrie 
die Entfionung zweier Punkte J, 1^, f und J^^, ly^, f^ durch 
den Ausdruck 

gemessen wird, wenn P, Q, R durch die Gleichung^i 

definiert werden, und daß der im Argumente des Loga- 
rithmus stehende Ausdruck eben gleich dem Doppel- 
verhältnis ist, welches die beiden gegebenen Punkte mit 
den beiden Punkten bilden, in denen ihre Verbindungs- 
linie die Fundamentalfläche (5) schneidet. Das Doppel- 
verhältnis der vier Punkte mit den Koordinaten g, iy, f 
des ersten, ^^, ri^, f^, des zweiten, 



Zum zweiten Teil. 263 

£+^li n + ^ni f + Ui 



i + l ' i+x * i+X 



des dritten, 



' , ,, , , ., , ' , °^ des vierten 

I + X ' I + X * I + i 

Punktes wird dabei durch den Quotienten X : X' gegeben. 
Die entsprechenden vier Punkte im Euklidischen Räume 
liegen auf einem Kreise, der die Ebene z = o orthogonal 
schneidet, und ihr Doppelverhältnis sei wieder durch 
den gleichen Quotienten definiert; diese vier Punkte 
haben nach (3) die Koordinaten x, yj z und x^, y^f z^ 
für den ersten und zweiten Punkt, femer 

woraus sich^Tjj^g, z^ ergeben, wenn man X durch JL' er- 
setzt. 

Projizieren wir die beiden Punkte x, y, z und x^^y^, z^ 
in die Ebene = 0, so entstehen hier Punkte mit den 
Koordinaten x,y und x^,y^. Die Verbindungslinie der 
letzteren ist ein Durchmesser des betrachteten Kreises; 
und die Endpunkte des Durchmessers haben die Koordi- 
naten ^2» -^2» ^®^' ^3*J^s' ^^^ diesem Durchmesser haben 
wir also die vier Punkte mit den Koordinaten 

V ^"Si' ^ f + xSi' »""f + i'Si' 

Das Doppelverhältnis dieser vier Punkte ist in der Tat 
gleich XiX\ Wenn also in der siebenten Angabe des 
„Wörterbuches" von dem „Doppelverhältnisse dieser vier 
Punkte des Kreises" gesprochen wird, so ist damit das 
Doppelverhältnis ihrer Projektionen auf die Fundamental- 
ebene 2f = o gemeint, nicht etwa im Sinne der synthe- 
tischen Geometrie das Doppelverhältnis der vier Strahlen, 
welche die vier Punkte mit einem beliebigen fünften 
Punkte desselben Ejreises verbinden. 



264 Anmerkung 19. 

Die vierte und fünfte Angabe unseres Wörterbuches 
erledigt sich durch die folgende Betrachtung. Die 
Gleichung einer beliebigen Kugel des EukUdischen 
Raumes ist 

(19) x^ -\-y^ + 2^ — * 2ax — 2hy — icz 

Nach (i) ist die linke Seite gleich 

wenn 



a h a«-j-j»_|_t»4.^«_r 



s 



«o = — T» 2^0 = — r» «;, 



gesetzt wird. Drücken wir also z nach (3) durch S, iy, f 
aus, so entsteht die Gleichung derjenigen Fläche, welche 
der Kugel (19) im Lob atschewsky sehen Räume zugeord- 
net wird, in der Form: 

(20) Ä»(i + «ol + v^n + ^V)*= f*[(*f + 1)* - 1* -'»* - 1] • 

Es ist dies die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung, 
welche die Fundamentalfläche (5) längs ihres Schnittes 
mit der Ebene 

(21) u^l + z'o'»? + «'o? + I = o 

berührt; das ist aber eine Kugel im Sinne der Loba- 
tschewskyschen Geometrie (vgl. S. 495 f. u. 521 f. meines 
oben erwähnten Werkes). Der Mittelpunkt der Kugel 
ist der Pol der Ebene (21) inbezug auf die Fläche (5). 

Einer Kugel ist also in der Tat eine Kugel 
zugeordnet und somit einem Kreise (als Schnitt 
zweier Kugeln) wieder ein Kreis (Kegelschnitt, 
der die Fundamentalfläche in zwei Punkten be- 
rührt). 

Einer Ebene des Euklidischen Raumes 

Ax-^ By-\- Cz^ D^o 
entspricht nach (3) die Fläche 

(22) (A\ + ^1, + 2)?)> = C\{n + I)* - I* - tj* - I], 
also eine Kugel, für welche die Ebene des Berührungs- 



Zum zweiten Teil. 265 

kegelschnittes durch den Punkt 5==o, i? = o, f = o hin- 
durchgeht, welcher selbst auf der Fundamentalfläche (also 
unendlich fem) liegt. Der Mittelpunkt der Kugel {22) 
liegt demnach in der Tangentialebene dieses unendlich 
fernen Punktes, gehört also zu den oben erwähnten 
idealen Punkten des Lobatschewskyschen Raumes. 

Schneidet die Kugel (19) die Ebene z = o in einem 
imaginären Kreise, so ist der unendlich ferne Kegel- 
schnitt der nicht-Euklidischen Kugel (20) imaginär; diese 
Kugel selbst liegt ganz im Endlichen; ihr Mittelpunkt 
ist ein wirklicher Punkt. Wird die Ebene z = o von 
der Kugel (19) in einem reellen Kreise getroflfen, so ist 
der unendlich ferne Kegelschnitt der Kugel (20) reell, 
und er teilt diese Fläche in zwei Teile; der eine Teil 
entspricht der Kugel (19), der andere Teil derjenigen 
Kugel des Euklidischen Raumes, welche aus (19) her- 
vorgeht, wenn man c durch — c ersetzt, und welche auch 
in den Halbraum > o hineinragt. Berühren sich die 
Ebene 2 = und die Kugel (19), so wird auch die 
Fläche (5) von der Kugel (20) berührt; der unendlich 
ferne Kegelschnitt der letzteren zerfallt in zwei imaginäre 
Erzeugende; die Kugel selbst ist eine Grenzfläche, deren 
Eigenschaften ich (a. a. O. S. 500 flf.) näher angegeben 
habe, indem ich insbesondere zeigte, daß diese Fläche 
in der nicht-Euklidischen Greometrie zur Darstellung einer 
komplexen Variabein dieselben Dienste leistet, wie die 
sogenannte Gaußsche Ebene in unserer Euklidischen 
Geometrie. 

Interpretiert man die Größen g, rj, ^ direkt im Euklidi- 
schen Räume als rechtwinklige Koordinaten, so entspricht 
jedem Punkte g, rj, i des Lobatschewskyschen Raumes 
ein Punkt im Innern einer durch (5) dargestellten Fläche 
zweiter Ordnung; jeder Ebene eine Ebene, jeder Geraden 
eine Gerade, so daß die sogenannte projektivische Geo- 
metrie des Euklidischen Raumes von der projektivi- 
schen Geometrie des nicht -Euklidischen Raumes nicht 
verschieden ist, und sich hier ein entsprechendes 
Wörterbuch aufstellen ließe; insbesondere kann als be- 
grenzende Fläche eine Kugel gewählt werden; dann 



266 Anmerkung 19. 

entsteht die schon von Beltrami benutzte Abbildung 
(Annali di matematica, Serie U, t 2), auf welche sich 
auch Helmholtz in seinem erwähnten populären Vor- 
trage bezieht. Jedem metrischen oder projektivischen 
Satze der Lobatschewskyschen Geometrie entspricht ein 
projektivischer Satz der gewöhnlichen (jeometrie; auch 
hier ist deshalb der Schluß zu machen, dafi unsere Eukli- 
dische (jeometrie einen Widerspruch in sich enthalten 
müßte, wenn dies mit der nicht-Euklidischen Geometrie 
der Fall wäre, wie ich dies a. a. O. S. 552 flf. näher aus- 
geführt habe. Dabei ist zu beachten, daß die Koordi- 
naten ^, t}, ^ sowohl in der Euklidischen als in der nicht- 
Euklidischen Geometrie nach den Arbeiten von v. Stand t. 
Klein, Fiedler und de Paolis definiert werden kön- 
nen, ohne daß dabei von den Begriffen der Entfernung 
oder des Winkels Gebrauch gemacht würde. 

Um den Zusammenhang mit Riemanns und Bel- 
trami s Untersuchungen herzustellen, muß man den Aus- 
druck des Bogenelementes ds aufstellen, der auch 
weiter unten noch benutzt wird. Führt man homogene 
Koordinaten ein, ersetzt also ^, t^, ^ bez. durch £ : r, 17 : r, 
f:r, so wird die Gleichung der Fundamentalfläche (5) 

i' + ri' + ^'-{k^ + ^y-0. 

Die absoluten Werte dieser Koordinaten kann man durch 
eine beliebige Festsetzung fixieren, hier am einfachsten 
durch die Bedingung 

l» + V + «*-(*? + ^)' = -c«, 

wo dann zwischen den Dififerentialen die Relation 
5^5 + ridri + xdx - (Äf + r) {kd^ + ^r) = o 

erfüllt ist. Für das Linienelement erhält man dann (vgl. 
a. a. O. S. 478 und 524): 

dQ^ = d\^ + dr\^ + dx^ — (kdS + dx)^. 

Die Gleichungen (3), in denen wieder a = |3 = y = Äzu 
nehmen ist, ergeben dann: 



Zum zweiten Teil. 207 

und nach einigen Umformungen: 

. dx^ + dy^ + dz^ 
-\Si^dii^C^^{{kl^x)di-i{kdi^dx)Y-{xd^-^dzf\ 

also mit Hilfe der dritten Gleichung (3) 



(23) da^ ^ j, ^ — = -i 



ds^ 



Um auf die üblichen Formeln zu kommen, müssen 
wir den Halbraum » > o in das Innere einer Kugel mit 
dem Radius i überführen, was durch eine Transforma- 
tion mit reziproken Radien geschieht. Sei diese Kugel 
durch die Gleichung 

jpJ+ 1^ + Z«= I 
dargestellt, so setzen wir 

F^=:X^+ F\ Q^ = x^ +y , 

/>+/Z=?i4^., wo /=/^, 
also 

^* + ^' = fMrJ+Tp' ^^' + ^^ = [p« + {. + !)«]«' 



Es wird also 

y 2 __äs* __ dX* + dV* + dZ* 

Hat die Kugel den Radius i? und bezeichnet r die Ent- 
fernung des Punktes X, V, Z von ihrem Mittelpunkte 
(r« = Z« + 1^ + Z^, so wird 

(24) d^^ (I.-.V ' 



208 Anmerkungen 20 — 22. 

und damit ist der Riemannsche Ausdruck für das Bogen- 
element einer dreifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit kon- 
stanter Krümmung erreicht. 

Für Z=o erhält man das Bogenelement einer Fläche 
konstanter Krümmung im Gaußschen Sinne, wobei X 
und y die Parameter der geodätischen Linien auf dieser 
Fläche bedeuten, und damit das im Texte erwähnte 
Bei tramische Resultat betreffend die Veranschaulichung 
der Lobatschewskyschen Geometrie durch Flächen kon- 
stanten Krümmungsmaßes. 

Letzteres ist hier im Sinne von Gauß zu nehmen 
(Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1828, 
Gesammelte Werke Bd. 4). Für die neuere Entwicklung 
der Theorie der Flächen konstanten Krümmimgsmaßes 
sei z. B. auf die Lehrbücher von Bianchi (Vorlesungen 
über Differentialgeometrie, deutsch von Lukat, Leipzig 
1899) oder S cheffers (Einleitung in die Theorie der 
Flächen, Leipzig 1902) verwiesen. 

Ersetzt man k^ durch — k^, so ergibt sich die Rie- 
mannsche Geometrie; auch für sie kann in ähnlicher 
Weise das System der Ebenen auf ein System von Kugeln 
der Euklidischen Geometrie abgebildet werden, die eine 
gewisse imaginäre Ebene (allgemeiner eine gewisse feste 
imaginäre Kugel) orthogonal schneiden. 

20) S. 44. Setzt man in den Formeln der vorher- 
gehenden Anmerkung ^ = o und vertauscht die Buch- 
staben ^^ mit 2, ri mit f, so entsteht aus (i): 

2X 2 

b = ^J I ..J i« > V 



^«4.^«_>&«' '/ jc* + ^* — >&*' 
und aus (3) 

Den geraden Linien einer Lobatschewskyschen Ebene 
werden die Kreise zugeordnet, welche in der ^r^^-Ebene 
die Achse ^ = o orthogonal schneiden, soweit sie in der 
Halbebene ^^ > o liegen. Auf die Untersuchung von sol- 
chen Kreisen und den aus ihnen gebildeten Figuren 
(Überführung der letzteren ineinander durch lineare Trans- 



Zum zweiten Teil. 200 

formation der komplexen Variabein x + (y) beziehen sich 
die Arbeiten von Poincar6 und Klein über Gruppen 
von linearen Transformationen der komplexen Veränder- 
lichen x-{'ty und über die linearen Differentialgleichungen 
zweiter Ordnung, welche mit diesen Gruppen zusammen- 
hängen. Besonders die Ausdrücke für das Bogenelement 
und den Flächeninhalt kommen dabei in Betracht. Die 
(zuerst seit 1881 in den Comptes rendus des s6ances 
de racad6mie des sciences im Auszuge veröffentlichten) 
Arbeiten von Poincar6 findet man ausführlicher in den 
Acta mathematica, Bd. i, 3» 4 und 5; die von Klein in 
den Mathematischen Annalen Bd. 21 (1882, besonders 
S. 179 flf.) und 40 (1892); vgl. auch Klein und Fricke, 
Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funk- 
tionen, Leipzig 1897. 

21) S. 44. Wie man ein solches Wörterbuch durch 
Übersetzung der nicht - Euklidischen Geometrie in die 
projektivische Geometrie des Euklidischen Raumes her- 
stellen kann, ist schon in Anmerkung 19) erwähnt (S. 265). 

22) S. 45. Implizite Voraussetzungen macht man 
z. B. auch bei den Gesetzen der Anordnung, insbeson- 
dere beim Begriffe „zwischen"; vgl. Pasch, Vorlesungen 
über neuere Geometrie, Leipzig 1882; ebenso wird das 
sogenannte Ar chimedi sehe Axiom meist implizite voraus- 
gesetzt, welches aussagt, daß ein Teil einer Strecke AB von 
A aus in der Richtung auf B wiederholt abgetragen, stets 
nach einer endlichen Anzahl von Abtragungen zu einem 
Punkte führt, der über B hinaus liegt (oder: eine Größe 
kann so oft vervielfältigt werden, daß sie jede andere 
ihr gleichartige übertrifft); vgl. Veronese, Grundzüge der 
Geometrie, deutsch von Schepp, und Stolz: Berichte 
des naturw.-mediz. Vereins in Innsbruck, XII, i88y2, und 
Math. Annalen Bd. 39, 1891. Das Axiom ist evident, 
wenn man die geometrischen Größen durch Zahlen dar- 
gestellt hat (wie in der analytischen Geometrie), wird 
aber gebraucht, um eine solche analytische Darstellung 
zu vermitteln (kann aber vermieden werden, wenn man 
die Einführung der Koordinaten auf rein projektivische 
Methoden stützt, vgl. S. 445 f. meines obigen Werkes 



270 Anmerkiingeii 23 — 24. 

und die Verbesserung dazu am Schlüsse). Für die ebene 
Geometrie hat Hubert gezeigt, daß dieses Axiom in 
der Tat von den übrigen Axiomen unabhängig ist, in- 
dem er eine Geometrie konstruierte, die von diesem 
Axiome unabhängig besteht (vgl. dessen Grundlagen der 
Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Ganß- 
Weber- Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899). Nimmt 
man dagegen die Geometrie des Raumes zu Hilfe (d. h. 
betrachtet man die Ebene als Schnitt einer dreidimen- 
sionalen Mannigfaltigkeit), so läßt sich das Archime- 
dische Axiom beweisen, vgl. Schur, Math. Annalen 
Bd. 55, 1900, wo ein Hyperboloid benutzt wird). In 
der Tat wird auch bei direkter Begründung der projek- 
tivischen Geometrie ein Satz aus der Geometrie des 
Raumes benutzt (vgl. S. 439 meines obigen Werkes und 
dazu die Verbesserung am Schlüsse), 

Insbesondere behandelt Hilbert (a. a. O. S. 43 fif.) 
die Sätze über inhaltsgleiche Dreiecke, die bei Euklid 
(Buch I, Satz 39) nach ihm nur durch Berufung auf 
einen allgemeinen Größensatz gelingt (t6 okov rov fUQOvg 
(isiiov iartv); nach der oben (S. 254) gemachten Bemerkung 
ist dies aber nicht ein allgemeiner Größensatz, sondern 
ein spezieller Grundsatz zur Definition des B^^riffes 
„größer" geometrischer Figuren; vgl. oben Anmerkung 13. 
Auch Schur (Sitzungsberichte der Dorpater naturforschen- 
den Gesellschaft, 1892, und Math. Annalen Bd. 57) hebt 
hervor, daß zum exakten Beweise der Flächen^eichheit 
zweier Figuren ein neues (sonst stillschweigend voraus- 
gesetztes) Axiom nötig sei, nach welchem eine Fläche 
keinem ihrer Teile inhaltsgleich sein kann; nach meiner 
Auffassung ist jener Grundsatz Euklids mit diesen 
Axiome identisch. 

2^) S. 47. Fast genau so definiert z. B. P. du Bois- 
Reymond die Gerade (vgl. S. 97 f. in dessen oben citier- 
tem Werke), aber unter weniger scharfer Trennung von 
Axiom und Definition; Euklids Definition: „eine ge- 
rade Linie liegt gleichmäßig zwischen zwei Punkten" ist 
auch nur verständlich und finchtbar, wenn man sie in 
gleichem Sinne auffaßt. 



Zum zweiten Teil. 



271 



24) S. 47. Die in den letzten Entwicklungen vom 
Verfasser mit Recht gerügte Unklarheit inbezug auf die 
Definition von Gleichheit und Bewegung findet sich ins- 
besondere auch in allen mir bekannten deutschen Lehr- 
büchern der Elementar-Geometrie. Anders ist es aber, 
wenn man Euklids Darstellung im Originale zu Rate 
zieht. Durch die mit Unrecht als allgemeine Größen- 
axiome bezeichneten Sätze führt er die Beurteilung der 
Gleichheit, des „größer" und des „kleiner" auf Bewegung 
zurück; vgl. oben die Anmerkung 13. Wie man aber 
eine Bewegung auszuführen hat, lehrt der zweite Satz im 
ersten Buche Euklids; denn dort wird gezeigt, wie man 
eine gegebene Strecke durch Konstruktion mittelst ELreis 
und Lineal von einer Stelle der Ebene an eine beliebige 
andere Stelle übertragen kann; Konstruktionen mit Elreis 
und Lineal aber sind vorher in den Postulaten ausdrück- 
lich als ausfuhrbar vorausgesetzt. Dadurch ist es mög- 
lich, ein durch seine drei Seiten gegebenes Dreieck an 
eine beliebige Stelle der Ebene zu bringen, somit den 
betr. Kongruenzsatz (Satz 8 bei Euklid) zu beweisen und 
dann auch die in Satz 23 gelehrte Winkelübertragung 
auszuführen. Hierdurch ist also auf Grund der Postu- 
late genau definiert, wie eine „Bewegung" in jedem ein- 
zelnen Falle auszuführen ist; in der Tat enthält der 
zweite Satz des Euklid nichts anderes als den wich- 
tigen Satz unserer Kinematik, daß jede Bewegung der 
Ebene auf eine Rotation (eventuell Parcillelverschiebung, 
d. h. Rotation um einen unendlich fernen Punkt) zurück- 
geführt werden kann. Dieser Satz aber gehört unbedingt 
an den Beginn eines jeden elementaren Lehrbuches; und 
es ist bedauerlich, wenn die hohe Bedeutung desselben 
in modernen Darstellungen der Elementar-Geometrie sro 
gänzlich verkannt wird, daß man ihn mit Stillschweigen 
übergeht (vgl. S. 556 meines oben erwähnten Werkes). 
Tut man dieses, so muß man sillerdings bei der Be- 
wegung von Dreiecken in der Ebene (also schon bei 
den Koilgruenzsätzen) von neuem auf direkte Anschauimg 
zurückgreifen, was nach Aufstellung der Definitionen, 
Postulate und Axiome nicht mehr geschehen soll (wenig- 



27 2 Anmerkungen 25 — 26. 

stens nur noch in heuristischem Interesse geschehen 
darf). 

25) S. 48. Diese „vierte Geometrie" entsteht, wenn 
man annimmt» daß wir uns in demjenigen Teile des 
Raumes befinden, von dessen Punkten reelle Tangenten- 
kegel an die unendlich ferne Fläche zweiter Ordnung 
gelegt werden können, was z. B. immer eintritt, wenn 
diese Fläche geradlinig vorausgesetzt wird. 

26) S. 48. Vgl. Lie, Theorie der Transformations- 
gruppen, Bd. 3, Leipzig 1893, S. 521. Ich kann dies 
Werk nicht eitleren, ohne auf die Kritik einzugehen, die 
Lie darin an meiner Bearbeitung der nicht-Euklidischen 
Geometrie übt. Schon in der Vorrede (S. XIII) sagt er, 
daß sich bei mir (und anderen) eine Reihe von groben 
Fehlem fanden, die darin ihren Grund hätten, daß die 
Verfasser nur mangelhafte oder gar keine gruppentheore- 
tischen Kenntnisse besäßen. Allerdings baut Lie seine 
Theorie darauf auf, daß er die Bewegungen durch ihre 
Gruppeneigenschaft definiert; aber deshalb ist es doch 
nicht unerlaubt, von anderen Definitionen auszugehen, 
aus denen dann umgekehrt die Gruppeneigenschaft folgt; 
und das ist der von mir eingeschlagene Weg, bei dem 
von Gruppentheorie in der Tat gar nicht die Rede ist. Der 
von mir befolgte Gedankengang ist vielmehr kurz folgender: 

Nachdem die Koordinaten eines Punktes im Räume 
definiert sind, ohne daß der Begrifi" der Entfernung oder 
des Winkels angewandt wurde, und nachdem damit die 
projektivische Geometrie in vollem Umfange begründet 
war, handelte es sich darum, zu den spezielleren Sätzen 
der metrischen Geometrie durch Einführung von „Winkel" 
und „Entfernung" überzugehen. Zuerst entstand die Frage: 
Welche Transformationen der Koordinaten sollen als Be- 
wegungen definiert werden? Ich charakterisierte sie durch 
folgende Eigenschaften 

a) Jeder Punkt geht wieder in einen Punkt über. 

b) Jede Ebene geht wieder in eine Ebene über. 

c) Jeder Punkt kann in jeden andern durch Bewe- 
gung übergeführt werden, ebenso jede Gerade (es gibt 
keine ausgezeichneten Punkte oder Richtungen). 



Zum zweiten Teil. 



273 



Für den Fall, daß reelle unendlich ferne Punkte 
existieren, ist hiermit alles bestimmt (d. h. Bewegung, 
Entfernung und Winkel sind definiert), wenn man noch 
die weitere Festsetzung macht: 

d) Es kann durch Bewegung kein Punkt verschwin- 
den und keiner neu entstehen (d. h. unendlich 
ferne und ideale Punkte bleiben unendlich fem, 
bez. ideal). 

Die hyperbolische Geometrie ist hiermit erledigt, und nur 
der Grenzfall, wo die unendlich ferne Fläche in eine 
Doppelebene ausartet, bedarf noch der näheren Be- 
trachtung. 

Wenn keine unendlich fernen Elemente existieren, 
ist auf jeder Geraden eine Involution als gegeben vor- 
auszusetzen, die jedem Punkte einen zweiten zuordnet, 
so daß sich beide bei einer gewissen Bewegung mit- 
einander vertauschen; die Festsetzung d) ist dann durch 
die folgende zu ersetzen: 

d') Die auf den verschiedenen Geraden bestimmten 
Involutionen gehen durch Bewegung ineinander 
über. 
Dann ist auch für die elliptische Geometrie alles erledigt. 

Man kann auch die zu d') dualistische Festsetzung 
machen, daß durch jeden Strahl eine ausgezeichnete 
Ebenen-Involution gegeben ist und daß alle diese Invo- 
lutionen durch Bewegung ineinander übergehen (was dem 
Euklidischen Postulate entspricht, nach dem alle rechten 
Winkel einander gleich sind). Dies gilt gleichmäßig für 
die elliptische, hyperbolische und parabolische Geometrie; 
dieselben werden dann durch die unendlich fernen Punkte 
nachträglich unterschieden. 

Artet die imaginäre Fundamentalfläche in einen Kegel- 
schnitt aus, so entsteht der Grenzfall der parabolischen 
Geometrie; in dieser müssen noch die Ähnlichkeits- 
transformationen von den Bewegungen getrennt werden, 
was durch die Festsetzung geschieht, daß der Kreis eine 
geschlossene Kurve sei (wie es auch Euklid ausdrück- 
lich postulieren muß). 

Poincare, Wissenschaft und Hypothese. 18 



274 AnmerkuDg 26. 

Besonders dieser letztere Punkt gibt Lie Veranlassimg 
zu seiner Kritik, welche aber nur auf einem Mißverstand- 
nisse beruht: Lie definiert die Bewegungen als eine 
Untergruppe der projektiven Gruppe (Kollineationen), die 
von sechs Parametern abhängt. Die Ähnlichkeitstransfor- 
mationen im Räume hängen aber von sieben Parametern 
ab und enthalten als einzig mögliche Untergruppe die 
Bewegungen; letztere sind also bei Lie schon dadurch 
definiert, daß die Zahl der Parameter vorgegeben war, 
so daß Lie keine weitere Festsetzung braucht. Bei mir 
dagegen ist nirgends verlangt, daß die Bewegungen von 
nur sechs Parametern abhängen sollen; zum Schlüsse 
mußte daher in der parabolischen Geometrie noch eine 
Festsetzung hinzukommen. 

Bei Lie und mir sind also verschiedene Ausgangs- 
punkte gewählt, die Resultate stimmen aber überein. 
Betrachtet man die ebene Geometrie allein (unab- 
hängig vom Räume), so hat auch Lie noch die Fest- 
setzung nötig, daß der Kjreis (d. i. der Ort der Punkte, 
welche von einem festen Punkte gleiche Entfernung 
haben: Axiom der Monodromie von Helmholtz) eine 
geschlossene Kurve ist; denn in der Ebene erlauben 
die Ähnlichkeitstransformationen noch Untergruppen 
(vgl. auch S. 565 in dem Aufsatze von Klein, Math. 
Annalen Bd. 37). 

Was Lie a. a. O. S. 529 gegen meine Darstellung 
einwendet, bezieht sich nur auf eine Bemerkung über 
Helmholtz und eine andere über Lie selbst. Ich hatte 
geäußert, Helmholtz setze implicite voraus, daß die 
Bewegungen durch lineare Transformationen darstellbar 
seien; nur unter dieser Voraussetzung war es mir näm- 
lich gelungen, die Helmholtz sehen Rechnungen einiger- 
maßen zu verstehen; und darin stimmt Lie mit mir voll- 
kommen überein (geht sogar noch weiter, indem er die 
Helmholtzschen Entwicklungen überhaupt für verfehlt 
erklärt, wie auch Klein äußert: „Helmholtz hat hier 
wie allerwärts in genialer Weise die richtigen allgemeinen 
Gesichtspunkte erfaßt, die Einzelausführung aber be- 
friedigt nur wenig", Math. Annalen Bd. 50); die Differenz 



Zum zweiten Teil. 



275 



liegt nur darin, daß er eine von mir bei dieser Gelegen- 
heit citierte Stelle aus Helmholt z' populären Vorträgen 
anders versteht als ich, worauf es hier aber gar nicht 
ankommt. 

Was endlich meine Bemerkung über Lie betrifft, so 
lag mir bei Abfassung des Werkes (1890) nur die Arbeit 
von Lie aus dem Jahre 1886 vor, von welcher er selbst 
sagt (a. a. O. S. 399), daß sie die Resultate nur an- 
deutet, und die keine Beweise enthielt; so ist es be- 
greiflich, daß ich die betr. Stelle (über das erwähnte 
Monodromieaxiom) nicht richtig verstand. Ich schrieb 
damals an Lie, mit dem ich bis dahin in steter Ver- 
bindung stand, und bat ihn um Mitteilung einer etwa 
in nächster Zeit erscheinenden Fortsetzung, die dann 
auch noch 1890 erschien, mir aber erst später zugäng- 
lich wurde, da ich von Lie keine Antwort erhielt. 

Um nun zur Sache zurückzukehren, muß beachtet 
werden, daß die Liesche Gruppentheorie sich nur auf 
Zahlenmannigfaltigkeiten bezieht, also erst dann zur An- 
wendung kommen kann, wenn man die Punkte des 
Raumes schon durch Koordinaten ausgedrückt hat; dann 
aber ist man in der projektiven Geometrie schon so weit 
vorgedrungen, daß der von mir eingeschlagene Weg 
(oder ein ähnlicher) mindestens der einfachere ist. 

Hilbert hat ein System von Axiomen aufgestellt, 
das ebenfalls auf dem Begriffe der Gruppe beruht, aber 
die (von Lie benutzte) Diflferentiierbarkeit der die Be- 
wegung vermittelnden Funktionen nicht voraussetzt (Math. 
Annalen Bd. 56, 1902). 

Es wurde soeben bemerkt, daß in der Ebene, wenn 
die projektivische Geometrie als gültig erkannt ist, noch 
Gruppen von Bewegungen möglich sind, bei denen der 
Kreis keine geschlossene Kurve i§t und dann nur durch 
eine logarithmische Spirale ersetzt werden kann. Letztere 
Bemerkung findet ihre Bestätigung in den Formeln, welche 
Hilbert (London, Math. Society, vol. 35) für die dort 
studierten (nicht- Archimedischen) Geometrien aufstellt, 
bei denen die projektivische Greometrie erhalten bleibt. 

Endlich macht Lie (a. a. O. S. 8iof.) noch einen 

18* 



276 Anmerkungen 27 — 30. 

sachlichen Einwurf, indem er sagt: ,,Lindeinanii be- 
zeichnet diese Punkte (die bei der Bewegung einer Ge- 
raden in sich fest bleiben) als die unendlich fernen 
Punkte der betreffenden Geraden, er setzt aber still- 
schweigend voraus, daß ein Punkt, der in diesem Sinne 
unendlich femer Punkt einer Geraden ist, auch auf jeder 
anderen durch ihn gehenden Geraden unendlich fem 
sei." Diese Bemerkung ist nicht richtig; denn ich setze 
fest (S. 465 u. 540 a. a. O.), daß sich schneidende Linien 
durch Bewegung wieder in sich schneidende übergehen, 
also sich nicht schneidende in sich nicht schneidende; 
das heißt aber: wirkliche Punkte bleiben wirklich, ideale 
Punkte bleiben ideal, also auch die Grenzpunkte zwischen 
beiden (d. h. die unendlich fernen Punkte) bleiben solche 
Grenzpunkte (d. h. unendlich fem). Die betr. Voraus- 
setzung ist also nicht stillschweigend gemacht; vielmehr 
habe ich über diesen Punkt bei der Ausarbeitung sehr 
eingehend nachgedacht. 

27) S. 49. Riemann charakterisiert eine in einer 
Zahlenmannigfaltigkeit mögliche Geometrie im allge- 
meinen durch die Art und Weise, wie sich das Bogen- 
element ds durch die Differentiale dx^ der Koordinaten 
ausdrückt, denn von dieser Funktion hängen nach Gauß 
wesentliche Eigenschaften des Raumes ab. Wie in 
Gleichung {2^) der Anmerkung 19) angegeben wurde, 
ist für die hyperbolische und elliptische Geometrie ds^ 
stets positiv und symmetrisch in den drei fundamentalen 
Richtungen. Setzt man ganz allgemein 

ds^ =r ^ ^ q).j,dx.dx^ = 9>ii^^i^ + 2(p^^dx^dx^ + . . . , 

WO die (p^ Funktionen der Koordinaten x. sind, so ist 
im allgemeinen keine oder nur eine beschränkte Beweg- 
lichkeit in der betr. Geometrie möglich. Auf einen 
solchen Fall hatte Clifford aufmerksam gemacht, und 
Klein hat diesen Gedanken weiter durchgeführt (Verschie- 
bung einer Fläche zweiter Ordnung in sich, welche die ima- 
ginäre Fundamentalfläche des Riemannschen Raumes in 
vier imaginären Erzeugenden schneidet, und demnach nur 



Zum zweiten Teil. 



277 



zwei Klassen von Bewegungen in sich, nämlich „rechts 
und links gewundene", zuläßt, vgl. S. 371 meines er- 
wähnten Werkes und ausführlicher Klein: Math. Annalen 
Bd. 37). Die Verallgemeinerung dieses Beispiels führt 
auf diejenigen Gruppen von linearen Transformationen 
der komplexen Ebene, welche Poincar6 studiert hat und 
die mit Systemen von Kreisen zusammenhängen, welche 
einen festen Kreis (z. B. eine feste Gerade) orthogonal 
schneiden; vgl. oben Anmerkung 20). Weiter ausgeführt 
ist dies von Killing: Math. Annalen Bd. 39; vgl. auch 
Klein: Zur ersten Verteilung des Lobatschewsky-Preises, 
Kasan 1897 (auch Math. Annalen Bd. 50). — Andere 
Geometrien hat Hubert studiert (a. a. O. und Procee- 
dings of the London mathematical Society, vol. 35), femer 
Minkowski (Greometrie der Zahlen, Heft i, Leipzig 1896); 
hier gibt es im allgemeinen keine Bewegungen mehr, aber 
die gerade Linie bleibt die kürzeste Linie. 

28) S. 51. Die sogenannte projektivische Geometrie 
beschäftigt sich mit denjenigen Sätzen, welche bei be- 
liebigen Projektionen oder Kollineationen ungeändert 
bleiben, und welche daher mit der Theorie der alge- 
braischen Formen und deren Invarianten, bez. Kovarian- 
ten aufs engste zusammenhängen; der metrischen Geo- 
metrie rechnet man die übrigen Sätze zu. Vgl. die 
lichtvolle Darstellung dieser und ähnlicher Verhältnisse 
in Kl eins Programmabhandlung: Vergleichende Betrach- 
tungen über neuere geometrische Forschungen, Erlangen 
1872 (abgedruckt in Bd. 43 der Math. Annalen). — 
Manche allgemeine Fragen der hier und im vorstehen- 
den behandelten Art findet man auch bei Holder be- 
sprochen: Anschauung und Denken in der Geometrie, 
Akademische Antrittsvorlesung, Leipzig 1900. 

29) S. 52. Die Rolle, welche unsere eigenen Ge- 
sichts- und Tastempfindungen bei Ausbildung der Raum- 
anschauung spielen, wird im folgenden (S. 54 ff^.) ein- 
gehender besprochen, ebenso (S. 62 ff.) die Rolle der 
festen Körper. 

30) S. 53. In der Tat kann man sich durch an- 
dauernde Beschäftigung mit vierdimensionaler Geometrie 



278 AnmerkuDgen 30 — 33. 

eine solche Gewandtheit in der betrejQfenden geometri- 
schen Schlußweise aneignen, daß man sich fast der 
Täuschung hingibt, wirklich mit vier Dimensionen zu 
operieren. Teils findet dies darin seine Erklärung, daß 
jedes geometrische Gebilde, das im Räume von vier 
Dimensionen liegt, selbst mindestens drei Dimensionen 
besitzt, so daß es auf unseren Raum bezogen („abge- 
bildet") werden kann, und daß man so unsere gewöhn- 
liche Geometrie auf jenes Gebilde zu übertragen ver- 
mag, teils darin, daß die geometrischen Schlüsse für 
den Raum von vier Dimensionen eigentlich rein logischer 
Natur sind und durch den Gebrauch geometrischer 
Worte sich nur scheinbar in geometrisches CJewand 
kleiden. Etwas anderes ist es, wenn man sich die Punkte 
der vierdimensionalen Welt durch eine „Abbildung" auf 
die geraden Linien unseres Raumes überträgt; denn 
letztere bilden tatsächlich eine vierdimensionale Mannig- 
faltigkeit. Man betrachtet dann nicht den Punkt, son- 
dern die gerade Linie als erzeugendes Element für 
räumliche Konstruktionen, und das ist in der neueren 
Geometrie ein äußerst fruchtbares Prinzip gewesen; die 
Begründung dieser sogenannten Liniengeometrie verdankt 
man Plücker (Neue Geometrie des Raumes, Leipzig 
1868 und 1869; vgl. auch die entsprechenden Kapitel 
in meinem mehrfach citierten Werke) ; für die Beziehungen 
zur vierdimensionalen Geometrie vgl. Klein: Math. 
Annalen Bd. 5, 1872, für die historische Entwicklung 
der Disziplin und überhaupt der neueren Geometrie: 
C leb seh: Zum Gedächtnis an Julius Plücker, Ab- 
handlungen der kgl. Gresellschaft der Wissenschaften 
zu Göttingen 1872; femer: R. F. A. Clebsch, Ver- 
such einer Darlegung und Würdigung seiner wissen- 
schaftlichen Leistungen, Math. Annalen Bd. 7; d'Ovidio: 
Uno sguardo alle origini ed allo sviluppo della mate- 
matica pura, Discorso in occasione della solenne aper- 
tura degli studi nella R. Universiti di Torino, 4. Novem- 
ber 1889; und A. Cayley: Presidential Address Report 
of the Brit. Association for the advancement of science, 
Southport meeting, London 1883. 



Zum zweiten Teil. 



279 



3^) S. 53. Das in den beiden letzten Forderungen 
gebrauchte Wort „identisch" bedarf wohl noch näherer 
Erklärung; es entsteht hier dieselbe Schwierigkeit, wie 
bei dem Begriflfe der Gleichheit, vgl. oben die Anmer- 
kung 24. Die Forderung der Homogenität sagt aus, 
daß jeder Punkt mit jedem andern Punkte durch „Be- 
wegung" zur Deckung gebracht werden kann, die Forde- 
rung der Isotropie, daß alle durch einen Punkt gehen- 
den Geraden durch Drehung um diesen Punkt zur 
Deckung gebracht werden können. Helmholtz stellt 
statt dessen die Forderung (a. a. O.), daß der Raum 
eine „in sich kongruente" Mannigfaltigkeit sei, Graß- 
mann fordert, daß gleiche Konstruktionen, an verschiede- 
nen Orten und nach verschiedenen Richtungen des 
Raumes ausgeführt, zu kongruenten Figuren fuhren, Rie- 
mann drückt dasselbe durch die Forderung eines kon- 
stanten Krümmungsmaßes aus; wie ich (a. a. O. S. 548) 
betont habe, ist Euklids Postulat, wonach alle rechten 
Winkel einander „gleich" (d. h. durch Bewegung inein- 
ander überführbar) sind, mit dieser Forderung der Homo- 
genität und der Isotropie des Raumes äquivalent. — - 
Auch weiter unten (S. 65 des obigen Textes) werden 
diese Forderungen auf gewisse Bewegungen zurückge- 
führt. 

32) S. 54. Daß in der Tat durch die Empfindungen 
der Netzhaut allein niemals eine dritte Dimension er- 
kannt werden könnte, hat besonders Th. Lipps gegen- 
über andern Theorien scharf betont: Psychologische 
Studien, Heidelberg 1885. Für verschiedene Theorien 
der Raumvorstellung sei hier außerdem auf folgende 
Werke verwiesen: 

Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik, 
Bd. I, 1868, Bd. 2, 1869; 

Wundt, Logik, Bd. 2, 1883; 

Stumpf, Über den psychologischen Ursprung der Raum- 
vorstellung, 1873; 

B. Erdmann, Die Axiome der Geometrie, 1877 (vgl« 
o. S. 257). 

33) S. 56. Wenn durch Störung der hier voraus- 



28o Anmerkungen 34 — 36. 

gesetzten konstanten Beziehung zwischen Konvergenz- 
und Akkomodationsempfindungen eine vierte Variable 
zur Verfügung gestellt wird, so werden wir die Inter- 
pretation derselben nach außen verlegen und zur An- 
nahme einer vierten Dimension geführt, falls uns nicht 
durch andere Beobachtungen (z. B. des Tastsinnes) be- 
reits die Dreizahl der Dimensionen gesichert erscheint. 
Ist letzteres der Fall, so wird unser Verstand die ver- 
fügbare Variable benutzen, um die Deutung imd Orien- 
tierung des Gesichtsbildes im Räume mehr zu präcisieren, 
als es sonst möglich wäre. Besteht also keine konstante 
Beziehung zwischen den beiden Muskelempfindungen, so 
wird sich ein neues Hilfsmittel der Beobachtung, etwa 
ein „Ferntastsinn", bemerkbar machen, vermöge dessen 
wir befähigt sind, Entfernungen direkt durch das Auge 
abzuschätzen. Die Existenz eines solchen Femtastsinnes 
hat auf Grund anderweitiger Überlegungen G. Hirth be- 
hauptet: Das plastische Sehen als Rindenzwang, München 
1892 (La vue plastique fonction de r6corce c6r6brale, 
traduit par L. Arr6at, Paris 1893); vgl. dazu gehörige 
mathematische Ansätze in einer Anmerkung der Schrift 
desselben Verfassers: Energetische Epigenesis (Merksystem 
und plastische Spiegelungen), München 1898. 

34) S. 56. Auch in bezug auf den Tastsinn sei 
auf obige Werke verwiesen. Für die Beziehungen des- 
selben zum Gesichtssinne sind von besonderem Interesse 
die daselbst erwähnten Erfahrungen an Blindgeborenen, 
denen durch Operation im späteren Leben, wo die 
Raumanschauung allein auf Grund des Tastsinnes bereits 
ausgebildet war, die Möglichkeit des Sehens verschafft 
ward. 

35) S. 68. Der Brechungsindex ist proportional zu 
dem Verhältnisse der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten in 
den beiden Medien. Diese Geschwindigkeit ist gleich 
dem Bogenelemente ds der beschriebenen Kurve, divi- 
diert durch das Zeitelement dt\ ist nun da das Bogenelement 
eines Kreises, welcher die Fundamentalebene 2 = 
rechtwinklich schneidet, so haben wir nach Gleichung (24) 
der obigen Anmerkung 19 



^(y2 = 



Zum zweiten Teil. 28 1 

ds^ = {dX)^ + {dF)^ + ((/Z)8, 



Die Vorstellung des Textes ist die, daß der Lichtstrahl 
in jedem Elemente seiner Bahn so gebrochen wird, als 
wenn er aus dem leeren Räume in ein Medium einträte, 
dessen Brechungsindex proportional zu {R^ — r^ ~ ^ 
ist; dieser Index ist dann nach obiger Formel auch 

proportional zu — -; und folglich ist da Bogenelement 

eines Kreises, wie es soeben angenommen wurde. Einem 
in der Euklidischen Welt lebenden Beobachter würden 
die Lichtstrahlen kreisförmig vorkommen; ein nicht-Eukli- 
disches Wesen dagegen würde den Eindruck geradliniger 
Fortpflanzung des Lichtes haben. 

36) S. 69. Wie die folgenden Erörterungen zeigen, 
ist diese Bezeichnung deshalb gewählt, weil eine in der 
nicht -Euklidischen Welt vor sich gehende Bewegung 
einem Beobachter der Euklidischen Welt so erscheinen 
würde, als ob die Körper gemäß dem supponierten 
Temperaturgesetze Veränderungen erlitten. In der Tat 
soll die Länge eines Lineals seiner absoluten Temperatur 
und diese dem Ausdrucke R^ — r^ proportional sein, 
wobei r in Euklidischer Weise gemessen ist. Zwei 
Längenelemente ds und d's, die den Werten r und r 
entsprechen, genügen also der Bedingung 

ds : d's = i?« - r« : i?2 - /»; 

das ist aber dieselbe Relation, welche aus der Formel 
(23) der obigen Anmerkung 19 hervorgeht; denn für 
eine unveränderte Länge da der nicht-Euklidischen Geo- 
metrie haben wir an zwei verschiedenen Stellen 

, ds d's 

da = 



ie» — ;.» ie» — r 



s 



Durch das Bild der Temperaturänderung erreicht der 
Verfasser hier die gleiche Veranschaulichung, wie sie 
Helmholtz durch Bezugnahme auf das Innere einer 



282 Anmerkmigen 37—39. 

Kugel nach Beltrami darl^ und mittelst des Sehens 
durch eine passend geschliffene Konvexlinse verständ- 
lich zu machen sucht (vgl. dessen erwähnten popu- 
lären Vortrag), wie ja auch Poincar6 die Lichtbrechung 
in gleichem Sinne zu Hilfe nimmt; vgl. die vorhergehende 
Anmerkung 35. 

37) S. 71. Solche dreidimensionale Perspektiven 
von vierdimensionalen Körpern sind in der Tat durch 
V. Schlegel 1884 für die sechs regulären Körper, 
welche im Räume von vier Dimensionen möglich sind, 
hergestellt und sind durch den Buchhandel zu beziehen. 
£s sind dies i. das Fünf z eil, begrenzt von 5 r^^alären 
kongruenten Tetraedern, 2. das Achtzeil, b^^nzt von 
8 kongruenten Würfeln, 3. das Sechzehn z eil, beg^nzt 
von 16 kongruenten regulären Tetraedern, 4. das Vier- 
undzwanzigzell, b^jenzt von 24 kongruenten regulären 
Oktaedern, 5. das Sechshundertzeil, b^jenzt von 600 
kongruenten regulären Tetraedern, 6. das Hundert- 
zwanzigzell, begrenzt von 120 kongruenten regulären 
Dodekaedern. Vgl. Schlegel: Nova Acta der Kais. 
Leop. Carol. Akademie, Bd. 44, Nr. 4, sowie Katalog 
mathematischer Modelle fui den höheren mathematischen 
Unterricht, Verlagshandlung von Martin Schilling in Halle 
a. S. 1903. 

38) S. 74. Als Parallaxe bezeichnet man bekannt- 
lich den dritten Winkel eines Dreiecks, dessen Ecken 
durch den Fixstern *$* und durch die Endpunkte A und 
B eines Durchmessers der Erdbahn gebildet sind, wo- 
bei dieser dritte Winkel dem Durchmesser gegenüber 
liegt. Ist 

so folgt 

y = 7r — (a + |3), 

und wenn 2 r den Durchmesser der Erdbahn bezeichnet, 
so lassen sich die Entfernungen AS und BS berechnen. 
Steht der Stern ungefähr senkrecht über der EkUptik, 
so kann AS=BS genommen werden, und man kann 



Zum zweiten Teil. 283 

ci z= n ^= 

wählen; die Entfernung q berechnet sich dann aus der 
Hälfte des betrachteten Dreiecks nach der Formel 

weshalb auch — —^ als Parallaxe bezeichnet wird. Be- 

2 

deutet nun F den Inhalt des Dreiecks ABS, so ist in 

der Lobatschewskyschen Geometrie (vgl. z. B. S. 494 

meines erwähnten Werkes): 

/'=4^2(jr — a — /3 — y), 
also 

TT - (a + /3) = — , + y, d. h. > o, 
und in der Riemannschen Geometrie (vgl. a. a. O. S. 519) 

also 

TT — (a + jS) — y T^ , d. h. < o , wenn y sehr klein ist. 

Unter Parallaxe ist also im Texte die Differenz 7C — {a-\-ß) 
zu verstehen. , 

Da sich dpr Winkel y einer direkten Messung ent- 
zieht, so bleibt der Vergleich mit der Erfahrung genau 
genommen stets unbefriedigend. Man kann nur durch 
Hinzufügen weiterer plausibler Voraussetzungen zu einem 
Resultate gelangen wollen; vgl. Schwarzschild: Über 
das zulässige Krümmungsmaß des Raumes, Vortrag auf 
der Versanmilung der Astronomischen Gesellschaft zu 
Heidelberg 1900. 

Überlegungen, welche den zunächst folgenden des 
Textes analog sind, findet man auch in dem (sonst in 
mathematischer Beziehung wenig zuverlässigen) Werke 
von Schmitz-Dumont: Die mathematischen Elemente 
der Erkenntnistheorie, Berlin 1878, S. 434. 

39) S. 81. Die betreffenden Darlegungen Newtons 



284 Anmerkungen 40 — 42. 

findet man z. B. bei Mach wiedergegeben (Die Mechanik 
in ihrer ^Entwicklung historisch-kritisch dargestellt, 2. Aufl., 
Leipzig 1889, S. 211 ff.), der auch die Unmöglichkeit, 
auf einen absoluten Raum zu schließen, bespricht; vgl. 
femer: Pearson, The Grammar of science, 2*^ ed., Lon- 
don 1900, S. 533. 

40) S. 84. Bei dieser Überlegung ist ay der Radius 
eines Kreises mit dem Mittelpunkte O, dem ein reguläres 
Sechseck mit den Ecken A^ B, C, 2?, E, F eingeschrieben 
ist; hier ist (bei der ersten Reihe von Feststellungen) 
AB^ nC^ CD^DE^EF==^a^, und da die Seite 
des regulären Sechsecks gleich dem Radius ist, auch 
aj3 — ay. Dieser Satz gilt aber nicht mehr in der 
nicht-P2uklidischen Geometrie, denn er beruht wesentlich 
auf dem Satze, wonach die Summe der Winkel eines 
Dreiecks gleich zwei Rechten sein muß; und letzterer 
ist in der nicht-Euklidischen Geometrie nicht gültig; vgl. 
oben Anmerkung 38. Bei der zweiten Reihe von Fest- 
stellungen kann daher ay nicht mit AB oder BC etc. 
zur Deckung gebracht werden. 

41) S. 87. Dies ist .ein anderer Ausdruck dafür, 
daß sich alle Bewegungen in der analytischen Geometrie 
durch Transformationen darstellen lassen, die von sechs 
veränderlichen Größen stetig abhängen. Sind nämlich 
.r, ^, z die Koordinaten eines Punktes im Innern eines 
festen Körpers in der ersten Lage und X^ Y, Z die 
Koordinaten desselben Körperpunktes nach Ausführung 
einer Bewegung, so ist immer: 

X == a^x + h^y + c^z + d^ , 

Y =-a^x -\r hy + ^8^ + 4 ' 
Z ^a^x Ar h^ + ^3^ + 4 , 

wo zwischen den neun Größen ö, ^, c folgende sechs 
Bedingungen bestehen: 

H^ + ^1' + q' = I » 



Zum zweiten Teil. 285 

«2^8 + hh + Vs = o , 
S^i + ^s^i + ^3^1 = o . 
Mittelst dieser Gleichungen lassen sich sechs der neun 
Größen a, by c durch die übrigen drei ausdrücken; zu 
letzteren treten noch die Konstanten d^^ d^, d^, so daß 
in der Tat sechs Parameter verfügbar sind. Pie Zahl 
sechs bleibt in der nicht-Euklidischen Geometrie unver- 
ändert; die Bewegungen sind alsdann durch diejenigen 
linearen Transformationen dargestellt, welche die Fläche 
der unendlich fernen Punkte in sich überführen; vgl. 
oben Anmerkung 26 und S. 3 56 ff. meines mehrfach er- 
wähnten Werkes. 

Um die Anzahl der Parameter durch Erfahrung fest- 
zustellen, braucht man nur die Tatsache zu beobachten, 
daß ein starrer Körper vollkommen festgelegt ist, wenn 
man einen Punkt (drei Konstanten), eine durch ihn 
gehende Linie (zwei weitere Konstanten) und eine durch 
letztere gehende Ebene (eine sechste Konstante) fest- 
hält. Dabei ist vorausgesetzt, daß man die Zahl der 
Dimensionen des Raumes bereits kennt. 

42) S. 89. Was man unter einer Gruppe von Ope- 
rationen versteht, wurde schon oben kurz angedeutet 
(S. 66). Eine Untergruppe dieser Gruppe ist ein System 
von Operationen, die für sich eine Gruppe bilden und 
in der gegebenen Gruppe enthalten sind. So bilden 
alle Drehungen eines festen Körpers um einen festen 
Punkt eine Untergruppe der umfassenderen Gruppe aller 
Bewegungen, denn jede Drehung ist eine Bewegung, 
und zwei successive Drehungen um denselben festen 
Punkt lassen sich durch eine dritte Drehung ersetzen. 
So bilden alle Bewegungen und alle Spiegelungen (an 
beliebigen Ebenen) zusammen eine Gruppe; in letzterer 
ist die Gruppe aller Bewegungen als Untergruppe ent- 
halten; die Spiegelungen für sich bilden aber keine 
Untergruppe, denn zwei nacheinander ausgeführte Spiege- 
lungen sind durch eine Bewegung (nicht wieder durch 
eine Spiegelung) zu ersetzen. 



286 Anmerkung 43. 



Dritter Teü, Die Kraft. 

43) S. 92. In der citierten Abhandlung kommt 
Poincar6 zu folgenden Schlüssen: 

„Wir haben keine direkte Anschauung von der Gleich- 
zeitigkeit zweier Zeitdauern, ebensowenig von der Gleich- 
heit. — Wir behelfen uns mit gewissen Regeln, die wir 
beständig anwenden, ohne uns davon Rechenschaft zu 
geben. — Es handelt sich dabei um eine Menge kleiner 
Regeln, die jedem einzelnen Falle angepaßt sind, nicht 
um eine allgemeine und strenge Regel. — Man könnte 
dieselben auch durch andere ersetzen, aber man würde 
dadurch das Aussprechen der Gesetze in der Physik, 
Mechanik und Astronomie außerordentlich umständlich 
machen. — Wir wählen also diese Regeln nicht, weil sie 
wahr, sondern weil sie bequem sind, und wir können 
sie in folgendem Satze zusammenfassen: Die Gleichzeitig- 
keit zweier Ereignisse oder die Ordnung ihrer Aufein- 
anderfolge und die Gleichheit zweier Zeitdauern müssen 
so definiert werden, daß der Ausspruch der Naturgesetze 
möglichst einfach wird; mit anderen Worten: Alle diese 
Regeln und Definitionen sind nur die Frucht eines un- 
bewußten Opportunismus." 

Newton (dessen Anschauung man z. B. bei Mach 
reproduziert findet: Die Mechanik in ihrer Entwicklung, 
2. Aufl., Leipzig 1889, S. 207) setzte die Existenz einer 
„absoluten Zeit" voraus; d'Alembert, Locke u. a. hoben 
den relativen Charakter aller Zeitmaße hervor; vgl. die 
historischen Angaben bei A. Voß in dem Artikel über 
die Prinzipien der rationellen Mechanik (Enzyklopädie 
der math. Wissenschaften, IV, i). Nach de Tillys 
Angabe (Sur divers points de la philosophie des sciences 
math6matiques ; Classe des sciences de rAcad6mie R. 
de Belgique, 1901) definiert z. B. Lobatschewsky die 
Zeit als eine „Bewegung, welche geeignet ist, die anderen 
Bewegungen zu messen". Auch eine solche Definition 
setzt voraus, daß es eine Bewegung gibt, die zum Messen 
der (also aller) anderen Bewegungen geeignet ist; und 



Zum dritten Teil. 287 

wann ist eine Bewegung „geeignetes ^^s Maß anderer 
zu dienen? Vielleicht kann die folgende analytische 
Erörterung hier zur Klärung beitragen. 

Wir betrachten z. B. das Fallgesetz eines schweren 
Punktes auf der Erdoberfläche; dasselbe ist bekanntlich 
durch die Differentialgleichung: 

(0 ^=-^ 

vollständig dargestellt, wenn z eine vertikal nach oben 
gemessene Koordinate, / die Zeit, g die Beschleunigung 
der Schwere bedeutet. Führen wir nun ein anderes 
Zeitmaß r ein, so wird r eine Funktion von / sein: 

r = 9(/), /=a>(r), 

und die Gleichung (i) nimmt, wenn wir r einfuhren, 
folgende Gestalt an: ^ 

« [wJ(S-J*"w)— ^' 

wo O' und ^" den ersten und zweiten Differentialquo- 
tienten der Funktion ^(r) nach r bezeichnen. Die ein- 
fache Form der Gleichung (i) beruht also wesentlich auf 
der Wahl eines für die Gesetze des Falles „geeigneten" 
Zeitmaßes; jede andere Art der Zeitmessung würde zu 
wesentlich komplizierterem Ansätze führen; dadurch ist 
die Zeit / vor der Zeit r ausgezeichnet. Dieses Zeitmaß 
wird praktisch durch eine Uhr, etwa eine Pendeluhr, ge- 
geben; die Bewegung des Pendels wird selbst wieder 
durch die Fallgesetze bedingt; wir messen also in (i) 
eine Fallerscheinung durch eine andere Fallerscheinung, 
und deshalb ist die Einfachheit des Resultates nicht auf- 
fallig. Anders ist es, wenn wir eine durch eine Feder 
getriebene Uhr anwenden; hier ist es eine nicht selbst- 
verständliche Tatsache, daß das Zeitmaß für das Ab- 
laufen der Feder zur Beobachtung des freien Falles 
geeignet ist; immerhin wird der richtige und gleichmäßige 
Gang der Federuhr nur durch Vergleichung mit einer 
Pendeluhr reguliert, und dadurch wird dieses Zeitmaß 



288 Anmerkungen 43—45- 

auf das vorhergehende reduziert. Auf die gewählte Zeit- 
einheit, die der Rotation der Erde um ihre Achse ent- 
lehnt ist, kommt es hierbei nicht an; wir bestimmen 
allerdings die Länge des Sekundenpendels nach dieser 
Einheit, könnten aber auch mit gleichem Erfolge umge- 
kehrt eine beliebig gewählte Pendellänge zur Definition 
der Einheit verwenden. Anders ist es, wenn man zu 
kosmischen Problemen übergeht. Die Bewegung eines 
Planeten (jir, y) um die im Anfangspunkte stehende 
Sonne mit der Masse ni wird durch die Gleichungen 

, . d*x m X d}y my 

definiert, welche das Newtonsche Gravitationsgesetz dar- 
stellen (r = yx* -f y*). Erfahrungsmäßig genügt auch 
hier dasselbe Zeitmaß, das beim freien Falle eingeführt 
wurde; denn alle aus den Gleichungen (3) zu ziehenden 
Folgerungen stimmen (auch wenn man die Störungen 
der anderen Planeten berücksichtigt) hinreichend mit 
den Beobachtungen überein, so daß man keine Veran- 
lassung hat, eine andere Zeit r einzuführen und die 
obige Transformation anzuwenden. Analog verhält es 
sich mit allen bekannten Erscheinungen ; es genügt inmier, 
die Komponenten der Beschleunigung durch die Aus- 

d^x d*y d*z 

drücke ^-^, ^> ;^ zu messen, und es ist überflüssig, 
die allgemeineren Ausdrücke 



/d^x dx „. \\ I , 



statt dessen einzuführen. In diesem Sinne kann man 
erfahrungsmäßig von einer absoluten Zeit sprechen, 
d. h. einer Zeit, die zur Beschreibung aller bisher be- 
obachteten Erscheinungen gleichmäßig bequem ist, aller- 
dings mit dem Vorbehalte, diese Vorstellung der ab- 
soluten Zeit sofort aufzugeben, wenn nun Tatsachen oder 
feinere Beobachtung alter Tatsachen dazu führen sollten, 
für irgendeine Erscheinung durch eine Funktion 0(r) 
ein neues Zeitmaß r einzuführen, so daß für diese £r- 



Zum dritten Teil. 28q 

scheinung die Beschleunigung durch j^ statt durch -^ 

dargestellt wird (d. h. das Produkt aus Masse und Be- 

schleunigungskomponente -j~i ^^^^ ^^ Funktion des 

Ortes des bewegten Punktes und anderer fester oder 
bewegter Punkte darstellen läßt). Aber auch dann würde 
man wohl versuchen, die entstehende Schwierigkeit 
durch Modifikation der anderen Annahmen, eventuell 
durch Hinzufügung weiterer fingierter Punkte und Kräfte 
(vgl. weiterhin die analogen Erörterungen auf S. 95 ff. 
beim Trägheitsgesetz) zu beseitigen, ehe man sich ent- 
schließt, bei verschiedenen Erscheinungen verschiedene 
Zeitmaße anzuwenden. Durch diese Überlegung kommt 
man zu wesentlich derselben Auffassung, welche Poin- 
car6 a. a. O. mit dem Worte Opportunismus charak- 
terisiert. 

44) S. 92. Die Mechanik im nicht-Euklidischen Räume 
ist in der Tat schon ziemlich ausgebildet; vgl. darüber: 
Schering, Die Schwerkraft im Gaussischen Raum, 
Göttinger Nachrichten 1870 und 1873; de Tilly, 
Etudes de m6canique abstraite, M6moires publi6s par 
rAcad6mie R. de Belgique, t. 21, 1868; Lindemann, 
Über unendlich kleine Bewegungen und Kraftsysteme 
bei allgemeiner Maßbestimmung, Inauguraldissertation, 
Erlangen 1873 (Math. Annalen, Bd. 7); Killing, Die 
Mechanik in den nicht-Euklidischen Raumformen, Grelles 
Journal, Bd. 98, 1884; Heath, On the dynamics of a 
rigid body in elliptic space, Philosophical Transactions 
of the R. Society, London 1884; de Francesco, 
Alcuni problemi di Meccanica in uno spazio di cur- 
vature constante, Atti d. R. Accademia d. Scienze fis. e 
mat. di Napoli, Serie II, vol. 10, 1900. 

45) S. 94. Sind n Punkte gegeben, deren jeder 
durch drei rechtwinklige Koordinaten x, j/, z bestimmt 
wird, so haben wir die 3« Größen 

welche als Funktionen der Zeit / zu betrachten sind. 

Poincar^, Wistentchaft und Hypothese. 19 



2QO Anmerkungen 45 — 46. 

Die Geschwindigkeit Vi eines Punktes or,-, yiy Zi wird 
durch den ersten Dififerentialquotient bestimmt; es ist 

<■) '.•-Q)'+(S)Ve)'-(^)*. 

wo dann dsi das Bogenelement der vom Punkte o:,-, j/,-, «,* 
beschriebenen Bahnkurve darstellt. Die Differential- 

dx^ dy^ dz^ 

quotienten -^j ~Jii ~7i sind die „Komponenten der Ge- 
schwindigkeit" in Richtung der drei Achsen. Ebenso 
wird die Beschleunigung des Punktes in die der „Kom- 

d^x^ d}y^ dh^ 

ponenten" --, , -^, -^ (zweite Dififerentialquotienten 

der Koordinaten nach der Zeit) zerlegt. Die auf den Punkt 
in jedem Moment wirkende Beschleunigung würde durch 
die Summe der Quadrate gegeben sein; sie wird aber 
durch die momentane Geschwindigkeit des Punktes 
(deren Richtung im allgemeinen eine andere ist als die 
Richtung der „wirkenden" Beschleunigung) modifiziert, 
und die wirklich in jedem Momente dt längs der Bahn 

stattfindende Beschleunigung wird durch -r^ gemessen 

und aus (i) durch Differentiation nach der Zeit ge- 
wonnen : 

ds ' d*S' dX' d*x. dy. d^y- dz- d^z- 
^^ 'di"di*^~dt'di*^'d7'~di*^'dt' li*' 

Die Grundgleichungen der analytischen Mechanik sind 
nun von der folgenden Form: 

d*x^. 
d\ 

d. h. es bestehen für 1' = i, 2, 3 • • • « im ganzen 3» 
solche „Differentialgleichungen zweiter Ordnung"; auf 



Zum dritten Teil. 



291 



den rechten Seiten stehen Funktionen /^, die nur von 
den Koordinaten der n bewegten Punkte abhängen; die 
Faktoren nii sind die „Massen" der n Punkte. Es ist 
als Erfahrungstatsache zu betrachten, daß sich die Kom- 
ponenten der Beschleunigungen in dieser Weise als 
Funktionen des Ortes der bewegten Punkte (Moleküle) 
darstellen lassen, denn die aus den Gleichungen (3) 
durch Integration gezogenen Folgerungen stimmen mit 
den beobachteten Tatsachen überein. Diese Aussage 
bezieht sich auf eine umfangreiche Klasse von Problemen 
der klassischen Mechanik, z. B. auf alle diejenigen, bei 
denen es sich nur um sogenannte (anziehende oder ab- 
stoßende) Zentralkräfte handelt. Bei anderen Problemen 
treten auf den rechten Seiten der Gleichungen (3) neben 
den Koordinaten noch die ersten Dififerentialquotienten 
(also die Komponenten der Geschwindigkeiten) auf, so 
daß sie von der Form werden: 



TJlt 



d^x. / dxj^ dy^ dzj\ 

57* = ^n \^k,yk. Zk\ -^, ^, ^;, 

rf*7,. „ ( _ d^k ^yk ^^k\ 



^yi ( 

(4) mi -^ = Fi^ \xk,yk, Zk\ 



TJlt 



dt' dt' dtj' 
d\. / dxj^ dyf^ dzj\ 

d? = ^'s r*'-^*' "*' -äT' li' -dt)' 



WO rechts der Index k geschrieben ist, um anzudeuten, 
daß die 3» Koordinaten und die 3« Geschwindigkeits- 
komponenten der n Punkte in den Funktionen F gleich- 
zeitig auftreten. Diese Gleichungen (4) finden z. B. An- 
wendung, wenn verzögernde Reibungskräfte mit in Be- 
tracht zu ziehen sind. Der Ausspruch des Textes, daß 
„die Beschleunigung vom Orte und von den Geschwindig- 
keiten der bewegten Moleküle abhängt", findet in den 
Gleichungen (4) seinen mathematischen Ausdruck, In- 
betreff" der Entdeckung und Formulierung des Träg- 
heitsgesetzes durch Galilei sei auf das erwähnte Werk 
von Mach verwiesen (p. 130). 

46) S. 95. Im ersten Falle, wo die Lage eines 
Körpers sich nicht ändert, wenn er keiner Kraft unter- 

19* 



2Q2 Anmerkungen 46 — 47. 

worfen ist, würden also die Differentialgleichungen (3) 
bezw. (4) durch die folgenden zu ersetzen sein: 



(5) 





^/ni^kj yk^ »*), 


""'dt 


^/ti{xk,yk, Zk), 


^' dt 


^Ai^kyyk, »>fe), 



m 



also durch Differentialgleichungen erster Ordnung. Im 
zweiten Falle, wo die Änderung der Beschleunigung 
eines Körpers von Lage, Geschwindigkeit und Beschleuni- 
gung dieses Körpers und der anderen Körper abhängt, 
hätten wir die Differentialgleichungen dritter Ordnung: 

^t-d?—^n\^k,ykyZky a^f at' dt' dt^ ' dt^ * di^J* 

,,v '^V,- „ ( ^*k ^yk ^^k ''S ^yk ^«A 

^'_- w i ^j^ ^n_^H ^^* ^yk ^'^k\ 

'^^»""^'«V*^*'-^*'^*' dt' dt'li' dF*'d?*'dt^J' 

Wirken keine „Kräfte" (d. h. sind keine Umstände vor- 
handen, die eine Änderung der Beschleunigung veran- 
lassen können), so wären die rechten Seiten der Glei- 
chungen (6) durch Null zu ersetzen, und wir hätten die 
Differentisdgleichungen : 

d^x^' d^y^. dh^ 

JF^^' 'd?^^' 'd?'^^' 
deren Integration zu den Formeln 

yt = a\'fi + b\t + /,-, 

führt, wo mit a, by c, a\ b\ c\ d\ b'\ c" Integrationskon- 
stanten bezeichnet sind; diese Formeln würden aussagen, 
dafi sich alle Punkte auf Parabeln bewegen (statt auf 



Zum dritten Teil. 



293 



geraden Linien, wie es das tatsächlich geltende Träg- 
heitsgesetz verlangt). 

47) S. 96. Nimmt man die Ebene aller Planeten- 
bahnen zur ^-l^Ebene, so kann bei dieser Voraus- 
setzung die Gleichung einer einzelnen Bahn in der 
Form 

geschrieben werden, wo dann r den Radius des betr. 
Kreises bezeichnet. Man eliminiert letzteren durch Diffe- 
rentiation nach der Zeit: 

dx , dy 

und in dieser Gleichung läge ein für alle Planeten 
gültiges Gesetz. Der fingierte Astronom würde daraus 
schließen, daß 

zu setzen ist, ^o /{x^y) eine noch nicht näher bekannte 
Funktion von x und y bezeichnet. Ninmit man aber 
an, daß es sich tatsächlich um Bewegungen nach dem 
Newtonschen Gesetze handelt (welches allerdings den 
fingierten Astronomen nicht bekannt ist), so können sich 
die Planeten in den Kreisen nur mit gleichförmiger Ge- 
schwindigkeit bewegen. Führt man also Polarkoordinaten 
r, tp ein, so würden die fingierten Astronomen aus ihren 
Beobachtungen die weitere Bedingung 

-5? = ^ = Konst. 
dt 

ableiten, so ' daß die Bewegung den beiden Gesetzen 

dr dtp , 

^^^' di"^^ 
genügte. Da nun 

so würden sie also /{x,y) = k setzen und die G^ei* 
chungen 



2Q4 Anmerkangen 48 — 53. 

dx i. ^y jL 

als fundamentale Differentialgleichungen för die Planeten- 

bewcgung betrachten. 

48) S. 100. Die hier erwähnten Werke sind die 
folgenden: Newton, Philosophiae naturalis Prindpia 
mathematica, London 1687; Thomson und Tait, Hand- 
buch der theoretischen Physik (1867, deutsch von Helm- 
holtz und Wertheim, Braunschweig 187 1); Kirchhoff, 
Vorlesungen über mathematische Physik, Mechanik, 
Leipzig 1876. Die von Newton geschaffenen Grund- 
lagen der analytischen Mechanik sind besonders ein- 
gehend von Volk mann besprochen: Einjfuhrung in das 
Studium der theoretischen Physik, insbesondere in das 
der analytischen Mechanik, Leipzig 1900, und: Ober 
Newtons „Philosophiae naturalis principia mathematica'* 
und ihre Bedeutung für die Gegenwart; Schriften der 
physikalisch-ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg i.Pr. 
1898. Vgl. auch die erwähnten Schriften von Mach und 
Voß sowie Pearson, The Granunar of Science, 2ü^ ed. 
London 1900, und de Tilly, Essai sur les principes 
fondamcntaux de la g6om6trie et de la m6canique, 
M6moires de la soci6t6 des sciences physiques et natu- 
relles de Bordeaux, 2**"® S6rie, t. 3, 1878. 

49) S. 102. Das Prinzip der Gleichheit von Wirkung 
und Gegenwirkung hat Newton an die Spitze der 
Mechanik gestellt; vgl. die Erörterungen darüber sowie 
über die Begriffe von Klraft und Kausalität bei Volk- 
mann a. a. O. p. 36 ff. und Wiedemanns Annalen Bd. 66, 
1898, sowie Mach a. a. O. p. 185. 

50) S. 104. Die Differentialgleichungen für die Be- 
wegung eines Planeten (or, ^) um die im Anfangspunkte 
ruhende Sonne sind bekanntlich: 

wenn m die Masse des bewegten Planeten ist und nach 
dem New ton sehen Gesetze / ==^ kmm gewählt wird, wo 
k eine rein numerische Konstante (deren Wert von der 



Zum dritten Teil. 



295 



Wahl der Masseneinheit abhängt) bedeutet und ;;/' die 
Masse der Sonne bezeichnet. Die Integration der Glei- 
chungen ist von dem speziellen Werte der Konstanten f 
ganz unabhängig; es bleiben also auch die Kepler- 
schen Gesetze gültig. Die Integration jener Gleichungen 
liefert für die Umlaufszeit T des Planeten den Ausdruck 

/ ' 
wo a die halbe große Achse der Ellipse bezeichnet. 
Sind T und a aus den Beobachtungen bekannt, so kann 
man also aus ihnen die Verhältnisse der Massen ver- 
schiedener Planeten berechnen, denn f fallt dabei her- 
aus (wobei natürlich die gegenseitigen „Störungen" ver- 
nachlässigt sind). 

51) S. 106. Vgl. Hertz, Die Prinzipien der Mechanik 
in neuem Zusanmienhange dargestellt, Leipzig 1894 (Ge- 
sammelte Werke Bd. 3) , Seite 1 1 . „Die systematische 
Konstruktion der Kräfte (d. i. Beschleunigungen) auf 
Grund einer rein kinetischen Theorie, welche von 
J. J. Thomson in allgemeinen Zügen skizziert war, im 
einzelnen durchgeführt zu haben, ist das eine Haupt- 
verdienst der Hertz sehen Mechanik; das andere (mehr 
formale) besteht in der außerordentlich anschaulichen 
Form, in der Hertz die Geometrie der »-dimensionalen 
Mannigfaltigkeit für seine Zwecke gedeutet hat, sowie in dem 
von ihm eingeführten konsequenten System von Begriffen" 
(vgl. Voß a. a. O.). Andererseits ist zu beachten, daß 
die Einwürfe, welche Hertz gegen die bisherige Dar- 
stellung der Mechanik erhebt, durch andere Arbeiten 
(Voß, Math. Annalen Bd. 25, 1885; Routh, Dynamik 
Bd. 2, § 445, 1892, deutschvonSchepp; Holder, Göttin- 
ger Nachrichten 1896) entkräftet sind; vgl. auch Volk- 
mann, Die gewöhnliche Darstellung der Mechanik und 
ihre Kritik durch Hertz, Zeitschrift f. d. physik. u. chemi- 
schen Unterricht, Jahrg. 14, 1901, sowie die vierte Auflage 
des erwähnten Werkes von Mach, 1897, p. 271. 

52) S. 109. Der hier gekennzeichnete anthropo- 
morphe Standpunkt liegt uns heute fem; doch ging 



296 Anmerkungen 53—55. 

z. B. Kepler so weit, dafi er sich Erde und Sonne als 
lebende Wesen vorstellte (Opera ommia ed. Frisch, 
Bd. 6 p. 174, Bd. 5 p. 253 flf.); die betreffenden Stellen 
sind von Pixis in seiner Inauguraldissertation (Kepler 
als Geograph, München 1899) zusammengestellt. Analoge 
Gedanken in modernerer Form finden sich bei Fechnet 
(Zend-Avesta, i. Th., Leipzig 1851) und Riemann (vgl. 
dessen Nachlaß in seinen Gesammelten mathematischen 
Werken) ; das Denken ist nach ihm Bildung neuer „Geistes- 
masse*'; die in die Seele eintretenden Geistesmassen er- 
scheinen uns als Vorstellungen; die Ursachen der Ver- 
änderungen auf der Erde werden in einem fortschreiten- 
den Denkprozesse der „Erdseele" gesucht. Der Begriff 
solcher Geistesmasse ist mit Cliffords „mindstuff" ver- 
wandt: On the nature of things-in-themselfs (Lectures 
and Essays, 2^ ed. p. 284, London 1886). Ähnlichen 
Ideen begegnen wir femer in den Monaden von Leib- 
niz und dem Keimplasma von Weis mann bei dessen 
Theorie der Vererbung. 

53) S. HO. Diese experimentelle Prüfung des Ge- 
setzes vom Parallelogramm der Kräfte durch gespannte 
Fäden führte Wilhelm Weber in seinen damals be- 
rühmten Vorlesungen über Experimentalphysik in Göttingen 
tatsächlich aus. Das Verfahren erinnert an die Art und 
Weise, wie Lagrange das Prinzip der virtuellen Ge- 
schwindigkeiten (d. h. die allgemeinsten Gesetze für das 
Gleichgewicht von Kräften) durch Konstruktionen mittels 
Flaschenzügen beweisen wollte, ein Verfahren, das g^en- 
wärtig als unzureichend betrachtet wird; vgl. darüber 
den mehrfach erwähnten Aufsatz von Voß. 

54) S. 119. In der Vorrede zur editio princeps des 
berühmten Werkes „de revolutionibus" von Copper- 
nicus (so schrieb er selbst seinen Namen) findet sich 
in der Tat die Anschauung „es ist bequemer voraus- 
zusetzen, daß die Erde sich dreht" vertreten, und zwar 
in dem Satze: „Cum autem unius et eiusdem mötns, 
variae interdum hjrpotheses sese offerant (ut in motu 
solis excentricitas et epicyclium) astronomus eam potissi- 
mum eripiet, quae comprehensu sit quam facillima; 



Zum dritten Teil. 



297 



philosophus fortasse veri similitudinem magis requiret." 
Man darf hieraus aber nicht schließen, daßCoppernicus 
auf dem Standpunkte modemer Natur-„Beschreibung" 
gestanden habe; denn diese Vorrede wurde durch 
Osiander beim Drucke des Werkes untergeschoben 
und ist nicht von Coppernicus verfaßt; sie sollte nur 
das Werk vor Verfügungen schützen, die ja in der Tat 
nicht ausblieben. Osiander hatte in diesem Sinne dem 
Coppernicus Vorschläge gemacht, die aber von letzterem 
(nach Keplers Beicht) abgewiesen wurden, da er 
seine innerste Überzeugung vor aller Welt kundtun müsse. 
Vgl. die betr. Darstellung bei Prowe, Nicolaus Copper- 
nicus, I. Bandes 2. Teil, Berlin 1883, p. SiQff. 

55) S. i2oflF. Die Differentialgleichungen für die 
Bewegung eines Planeten (x, y) um die im Anfangs- 
punkte stehende Sonne (mit der Masse m) sind oben 
unter (3) in Anmerkung 43) mitgeteilt; aus ihnen folgt 
durch Litegration erstens der „Satz von der lebendigen 
Kraft": 

<■) s(Ä)+(gn-T+'. 

wo h eine Konstante ist, und zweitens der „Flächen- 
satz" : 

/ V dy dx 

wo c die „Flächenkonstante" bedeutet (zweites Kepler- 
sches Gesetz). Führt man durch die Gleichungen 

^ 8E r cos gj, ^^ =K r sin 9) 

Polarkoordinaten r, gj ein, so werden diese beiden Glei- 
chungen 

<4) r''^-. 

wobei der Winkel ^ die „absolute Länge" des Planeten 
definiert. Eliminiert man 9 aus beiden Gleichungen, so 
CTgibt sich: 



2()H Anmerkung 55. 

<« 10' + r5 - T + *. 

und hierauii durch Differentiation: 

. . dr d*r r* fn 

In dicHcr Differentialgleichung zweiter Ordnung kommt 
noch flic Flächenkonstante c vor; um sie zu eliminieren, 
mü«»cn wir die Gleichung in der Form 

schreiben un<l nochmals differenzieren; das gibt 

W '\udt^ + '\d?) -^^'\Tt)d? + '^Tt-''^ 

lYm P^ntfcrnung des Planeten von der Sonne hängt also 
(wenn man sie direkt, d. h ohne den Winkel 97 zu be- 
nutzo.n, als Funktion der Zet / darstellen will) von einer 
Differentialgleichung dritter Ordnung ab; die Lösung 
einer solchen a))er ist erst bestimmt, wenn für einen be- 
liebigen Zeitpunkt (für die „Anfangszeit*') nicht nur die 

Jr 
Werte von r und r- gegeben sind, sondern auch der 

Wert von - ,• 
dt^ 

Unsere fingierten Astronomen würden die Bewegung 
des Planeten zunächst durch die Differentialgleichung (8) 
darstellen; sie würden dann finden, daß dieselbe durch 
die viel einfachere Gleichung (7) integriert werden kann; 
sie würden femer (da wir annehmen können, daß ihnen 
die Methoden der analytischen Geometrie bekannt sind) 
herausfinden, daß der Integrationskonstante c eine sehr 
einfache Bedeutung zukommt, wenn man eine Ellipse 
als Bahnkurve voraussetzt und demnach den Winkel (p 
einführt; und dadurch würden sie zu den Gleichungen 
(3) und (4) gelangen können. 

Wenn sie so weit gekommen sind, werden sie die 
Konstante c nicht mehr als e ne „wesentliche" betrachten ; 
vorher aber werden sie es tun müssen, d. h. bis dahin 



Zum dritten Teil. 



299 



werden sie an Stelle des Newtonschen Gesetzes das 
komplizierte, durch die Gleichung (7) dargestellte An- 
ziehungsgesetz, das noch die Konstante c als eine schein- 
bar wesentliche enthält, für das einfachste halten, das 
zur Beschreibung der Planetenbewegung dienen kann, 
und das sich auch als Differentialgleichung zweiter 
Ordnung darstellt. 

Betrachtet man gleichzeitig mehrere Planeten, so 
werden die weiterhin im Texte erwähnten Symmetrie- 
verhältnisse das Vorzeichen der Flächenkonstante be- 
stimmen. Letztere wird für verschiedene Planeten ver- 
schiedene Werte haben, für alle aber gleiches Vorzeichen ; 
doch gibt es Kometen, die sich in entgegengesetzter 
Richtung bewegen, für die also das Unwesentliche des 
Vorzeichens bemerkbar wird. Sind demnach unsere 
fingierten Astronomen nicht durch obige analytische Be- 
trachtung dazu geführt, die Konstante c zu eliminieren 
(d. h. als „unwesentliche" zu betrachten), so wird ihnen 
diese Symmetriebetrachtung dazu Veranlassung geben. 

Wollte man auch die in das Newtonsche Gesetz 
eingehende (negative zweite) Potenz der Entfernung als 
eine unwesentliche Konstante betrachten, so müßte man 
sie durch eine beliebige Potenz (= ^ -f i) ersetzen und 
dann letztere durch Differentiation eliminieren. Die 
Differentialgleichungen der Bewegung sind dann: 

d^x , m X d^y m y 

An Stelle von (1) und (2) erhält man: 
femer an Stelle von (5): 

-:[©' + 5] = j + *. 

und durch Differenzieren an Stelle von (6): 

dr d*r c* , m 



300 Anmerkimgcn 56 — 57. 



- ar a'r _, 1 ^ s 



also an Stelle von (7) : 

dt dt* ^ r* 
und an Stelle von (8): 

'■c-;s+Ct9^+3^(I-;)'S-*(*-')ä-°- 

Hieraus müßte man durch nochmalige Differentiation eine 
Gleichung vierter Ordnung: 

dr ä*ry 

m 



\ dt dt*) , ,,, ... . ... 

-^t '- + Hk - 2)(k - I) ;j - O 



ableiten. Die Elimination von k aus diesen beiden 
Gleichungen würde nur durch Einfuhrung transzendenter 
Funktionen möglich sein (deren Einfuhrung durch noch- 
maliges Differenzieren und Aufsteigen zu einer Gleichung 
fünfter Ordnung vermieden werden könnte). Das 
resultierende Anziehungsgesetz würde also so kompliziert 
werden, dafi man sich nicht ohne die triftigsten 
Gründe dazu entschließen wird, den Wert ^ =» 2 als 
eine „zufallige'' Konstante anzusehen. 

Davon zu unterscheiden ist die weitere Frage, ob 
das New ton sehe Gravitationsgesetz nicht einer Modifi- 
kation bedarf, um mit den Resultaten der Beobachtungen 
in noch bessere Übereinstimmung gebracht zu werden, 
eine Frage, die in der Tat mehrfach erörtert wurde; 
vgl. darüber Seeliger, Astron. Nachrichten, Bd. 137, 
No. 3273, 1894, und Sitzungsberichte der k. bayr. Akar 
demie d. Wiss. math. physik. Klasse, Bd. 26, 1896, 
P» 373» sowie C. Neumann, Allgemeine Untersuchungen 
über das Newtonsche Prinzip, Leipzig 1896. 

56) S. 124. Durch Einführung dieses absolut festen 
starren Körpers A, dessen Hauptträgheitsachsen die Koor- 
dinatenachsen der Mechanik zu liefern haben, versuchte 
C. Neumann (Die Prinzipien der Galilei-Newtonschen 
Theorie, akademische Antrittsrede, Leipzig 1870) die 
vorliegenden Schwierigkeiten zu überwinden. — Handelt 
es sich um relativ beschleunigte Bewegungen, so ist 



Zum dritten Teil. 



301 



die Anwendung der Gesetze für Zusammensetzung der 
Kräfte etc. nicht mehr gestattet; vgl. das von de Tilljr 
gegebene Beispiel, Annales de la Soc. scientifique de 
Bnixelles, t. 25, 1901. 

57) S. 125. Das Prinzip der Erhaltung der Energie 
tritt als Prinzip von der Erhaltung der lebendigen 
Kraft in der klassischen Mechanik auf, und zwar in 
der Form 

(i) i2:;w,V= V + h, 

wo die Summe sich auf die Indices i'= i, 2, . . . « der 
n bewegten Punkte erstreckt, m^ die Masse und Vi die 
Geschwindigkeit des i**®** Punktes bezeichnen; V ist die 
„Kräftefunktion" oder das „Potential", eine Funktion 
der Koordinaten .r,-, yij z,- der bewegten Punkte, welche 
zugleich als Maß der geleisteten Arbeit auftritt, und aus 
der die Komponenten der wirkenden Kräfte durch 
Differentiation nach den Koordinaten gewonnen werden, 
indem die 3 n Gleichungen der Bewegung hier in 
der Form 

, X *^'*,- dV ^\' dV ^\ dV 

erscheinen; aus ihnen entsteht (i) durch Integration, und 
h bezeichnet eine Integrationskonstante. Die Gleichung 
(i) sagt aus, daß die lebendige Kraft oder die poten- 
tielle Energie des Systems zu verschiedenen Zeiten 
stets denselben Wert annimmt, sobald die n Punkte 
solche Lagen annehmen, daß die Funktion V zu beiden 
Zeiten denselben Wert erhält, insbesondere also, wenn 
alle Punkte im zweiten Momente in die Lage zurück- 
kehren, in der sie sich im ersten befanden.- Seit Helm- 
holtz (Über die Erhaltung der Kraft, Berlin 1847; 
Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. i ; Ostwalds Klassiker- 
bibliothek, Bd. i) pflegt man die Funktion U =^ — V 
in die Gleichung (i) einzuführen, so daß dieselbe die 
Form 

(3) \ZmiVi^+U^h 



2 02 Anmerkungen 57 — 58. 

annimmt; diese Form ist für weitere Verallgemeinerungen 
besonders nützlich. Man bezeichnet U als Maß der 
„Spannkräfte" oder (nach William Thomson) als 
potentielle Energie im Gegensatze zur kinetischen 
Energie oder lebendigen Kraft (d. i. \2imiVi^ und 
kann die Gleichung (i) bez. (3) nun dahin aussprechen, 
daß die Summe der kinetischen und der poten- 
tiellen Energie stets denselben Wert besitzt; 
alle dynamischen Erscheinungen bestehen in einer Ver- 
wandlung von kinetischer in potentielle Energie und 
umgekehrt. — Die Ausdehnung dieser Vorstellungen auf 
die Erscheinungen der Wärme, Elektrizität etc. führte zu 
den großen Entdeckungen von R. Mayer, Joule, 
Helmhoitz u. a., woraus dann umgekehrt die „ener- 
getische" Auffassung der Mechanik erwachsen ist. 

Über letztere vgl. Planck, das Prinzip der Erhaltung 
der Energie , Leipzig 1887; Ostwald, Lehrbuch der 
allgemeinen Chemie, Leipzig 1893; Boltzmann, Wiede- 
manns Annalen, Bd. 57 und 58; Planck, ib. Bd. 57; 
sowie die Darstellung bei Voß a. a. O. Es sei hier 
auch an das Urteil von Hertz über das „energetische 
System" erinnert (Die Prinzipien der Mechanik, 1894, 
S. 26): „Mehrere ausgezeichnete Physiker versuchen 
heutzutage, der Energie so sehr die Eigenschaften der 
Substanz zu leihen, daß sie annehmen, jede kleinste 
Menge derselben sei zu jeder Zeit an einen bestimmten 
Ort des Raumes geknüpft und bewahre bei allem Wechsel 
desselben und bei aller Verwandlung der Energie in 
neue Formen dennoch ihre Identität. Diese Physiker 
müssen notwendig die Überzeugung vertreten, daß sich 
Definitionen der verlangten Art wirklich geben lassen. 
Sollen wir selbst aber eine konkrete Form dafür auf- 
weisen, welche uns genügt und welche allgemeiner Zu- 
stimmung sicher ist, so geraten wir in Verlegenheit; zu 
einem befriedigenden und abschließenden Ergebnisse 
scheint diese ganze Anschauungsweise noch nicht gelangt. 
Eine besondere Schwierigkeit muß auch von vornherein 
der Umstand bereiten, daß die angeblich substanzartige 
Energie in zwei so gänzlich verschiedenen Formen auf- 



Zum dritten Teil. 



303 



tritt, wie es die kinetische und die potentielle Form 

sind Die potentielle Energie hingegen widerstrebt 

jeder Definition, welche ihr die Eigenschaften einer Sub* 
stanz beilegt. Die Menge einer Substanz ist notwendig 
eine positive Größe; die n einem Systeme enthaltene 
potentielle Energie scheuen wir uns nicht als negativ 

anzunehmen '' 

58) S. 125. Unter dem mittleren Werte der Differenz 
beider Arten von Energie versteht man den Ausdruck 

(i) — ^ I {T- U)dt, wo T^\2,miVi^ ist, 

*0 

und wobei man sich (nach Ausführung der Integration 
der Differentialgleichungen der Bewegung) die Koordi- 
naten Xi^ yi, Zi als Funktionen der Zeit eingesetzt denken 
muß. Die Bedingung, daß der Wert dieses Integrals 
möglichst klein sei, wird nach den Regeln der Variations- 
rechnung in der Form 

(2) sj*{T-U)dt=^o 

geschrieben, und aus ihr können nach diesen Regeln 
umgekehrt die Differentialgleichungen der Bewegung ab- 
geleitet werden, wie es seit Jacobis berühmten Vor- 
lesungen über Dynamik (gehalten im Winter 1842/43 an 
der Universität Königsberg, herausgegeben nach Borch- 
ardts Aufzeichnungen von Clebsch, Berlin 1866) in 
fast allen Lehrbüchern der analytischen Mechanik zu 
finden ist. 

Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist eigent- 
lich von dem in Gleichung (2) ausgesprochenen „Hamil- 
tonschen Prinzipe'' verschieden; es sagt aus, daß auch 
die Variation des Integrals 

(3) j'smiVidsi =-fy2 (h- U) yZmidsi^ 

gleich Null ist, so daß auch dieses Integral zu einem 
Minimum wird. Dabei ist vorauszusetzen, daß die Zeit 



ß04 Anmerkungen 59 — 60. 

mittelst der Gleichung 

^£m,'{dsiy = {h - U)dt^ 

eliminiert und alle Koordinaten Xi^ yi^ Bi ^^ Funktionen 
von einer unter ihnen dargestellt seien (vgl. Jacobi 
a. a. O. p. 43flf.)' Nach den Regeln der Variations- 
rechnung ergeben sich aus dieser Bedingung die Diffe- 
rentialgleichungen der Bewegung ebenso, wie aus dem 
Hamiltonschen Prinzipe. Beide Prinzipe stehen über- 
haupt in engstem Zusammenhange (vgl. darüber von Helm- 
hol tz, Zur Geschichte des Prinzipes der kleinsten Aktion, 
Gesammelte Abhandlungen, Bd. i, p. 249, 1887, femer 
Voß, Bemerkungen über die Prinzipien der Mechanik, 
Sitzungsberichte d. k. bayr. Akad. matii. phys. Klasse, 
Bd. 31, 1901, sowie die oben erwähnte Arbeit von 
Holder). Der Name des Prinzips rührt von metaphysi- 
schen Vorstellungen her, die man früher damit verband 
und die zu heftigen Kontroversen Veranlassung gaben, 
vgl. darüber: A. Mayer, Zur Geschichte des Prinzipes 
der kleinsten Aktion, akademische Rede, Leipzig 1877, 
und Helmholtz a. a. O. 

59) S. 127. Der Ausdruck der kinetischen Energie 
T in Funktion der Geschwindigkeiten v, ist schon in 
Anmerkung 58) unter (i) angegeben. Oft ist es nütz- 
lich, statt der rechtwinkligen Koordinaten x^j^f z andere 
(z. B. Polarkoordinaten oder elliptische Koordinaten) durch 
Gleichungen der Form 

einzuführen, wobei die 3« Koordinaten x^j yi, z,- an k 
Bedingungen gebunden sein mögen; dann wird 



T-=^^Qrsgr9sf 



r s 

wo mit Qrs gewisse Funktionen der qi bezeichnet sind, 
und wo 

*' dt 



Zum dritten Teil. 



305 



gesetzt ist. Für die Ableitung der Differentialgleichnii^peii 
der Bewegung in diesen neuen Koordinaten ist das 
Hamilton sehe Prinzip besonders nützlich (vgl. Jacobi 
a. a. O.). Auch die Größen /^ bezeichnet man dann 
kurz als Geschwindigkeiten, obgleich sie sich nicht immer 
als Quotient eines Weg- und eines Zeitelementes dar- 
stellen. Man spricht auch dann noch kurz von Koor- 
dinaten qr und Geschwindigkeiten /^, wenn die qr nur 
Parameter zur Festlegung gewisser Zustände be- 
zeichnen, die qr also Maße für die Geschwindigkeit der 
Zustandsänderungen bedeuten; vgl. unten S. 2i8fF. des 
Textes. 

60) S. 127. Wilhelm Weber hatte zuerst für die 
elektrodynamischen Erscheinungen ein mathematisches 
Elementargesetz aufgestellt; er setzte die zwischen zwei 
elektrischen Teilchen m und m\ welche sich in der 
Entfernung r befinden, wirkende Kraft gleich 

WO c^ die konstante Geschwindigkeit bedeutet, mit 
welcher sich die elektrische Kraft im Räume ausbreitet. 
Es ist identisch 



Lr« ^ ^8-1/ ^ dt* J 



du- 



wenn 



^--'[f+^C-^)^ 



gesetzt wird. Das Potential (oder die potentielle Energie) 
[/ hängt also von der Entfernung r und der gegen- 

dr 

seitigen Geschwindigkeit — ab, die Kraft R sogar noch 

d^r 

von der Beschleunigung — -|- 

Nach Carl Neumann (Die Prinzipien der Elektro- 
dynamik, Gratulationsschrift der Universität Tübingen 
zum fünfzigjährigen Jubiläum der Universität Bonn, 
Tübingen 1868) entsteht das Web ersehe Gesetz aus 
dem Coulomb sehen (bez. aus dem Newtonschen), 

Poincar6, Wissenschaft und Hypothese. 20 



ßo6 Anmerkungen 60 — 62. 

wenn man annimmt, daß die wirkende Kraft sich mit 
der Geschwindigkeit c^ im Räume ausbreitet (vgl. auch 
ähnliche Vorstellungen bei Riemann, Ein Beitrag zur 
Elektrodynamik, 1867, Ges. Werke p. 270); umgekehrt 
erhält man für r = 00 wieder das Newtonsche Gesetz. 
Ist allgemein (p{r) diejenige Funktion von r, welche im 
Falle f = 00 das Potential darstellt, und setzt man 



80 wird 



fW-i/l/^^^. 



^-»«+(^) 



2 



^~ dr " dr '^ ^dr dt*' 

Unter der Annahme, daß auch die Ausbreitung der 
Newtonschen Gravitationskraft im Räume mit endlicher 
Geschwindigkeit erfolgt, hat Zöllner den Versuch ge- 
macht, das Web ersehe Gesetz auch für die Bewegung 
der Hinmielskörper zu verwerten; zu derartig komplizierten 
Annahmen haben die Beobachtungen bisher keine Ver- 
anlassung geboten. Das Web ersehe Gesetz hat lange 
die mathematische Theorie der elektrischen Erscheinungen 
erfolgreich beherrscht, bis Helmholtz dasselbe durch 
ein allgemeineres ersetzte, um gewisse Schwierigkeiten 
zu beseitigen, die der Satz von der Erhaltung der Energie 
zu bereiten schien. Nach ihm ist das elektrodynamische 
Potential zweier elektrischen Teilchen m und zw', die 
sich in den Stromelementen ds und ds' bewegen, gleich 
(Grelles Journal, Bd. 72, 1870; Wissensch. Abhandlungen, 
Bd. I, p. 545 flf.) 

— ^[(i +^) cos {ds, ds) 
+ (1 — k) cosin (r, ds), cos (r, dsy\ ds ds\ 

wo cos (r, q) den Cosinus der Richtung r gegen die 
Richtung q bezeichnet und k eine Konstante bedeutet, 
welche für das Web ersehe Gesetz gleich Null zu nehmen 
ist. Die sich hieran knüpfende Kontroverse zwischen 



Zum dritten Teil. 



307 



W. Weber, C. Neumann und Helmholtz ist ziemlich 
gegenstandslos geworden, seitdem die Max well sehen 
Vorstellungen über die Natur der elektrischen Erschei- 
nungen inmier mehr Anerkennung finden. In Maxwells 
Theorie nämlich sind nur geschlossene elektrische Ströme 
möglich, und der Unterschied des Helmholtz sehen 
Potentialausdruckes von dem Web ersehen würde nur in 
den Folgerungen für nicht geschlossene Ströme bemerk- 
bar werden; vgl. auch die weiterhin folgenden Erörte- 
rungen auf S. 2 13 ff. des vorliegenden Werkes. Poin- 
car6 bestreitet übrigens die von Helmholtz gegen das 
Webersche Gesetz erhobenen Einwürfe auch für offene 
Ströme, vgl. dessen Electricit6 et Optique, 2*^™® 6dition, 
Paris 1901, p. 266. 

61) S. 130. Vgl, die beiden Aufsätze von Helm- 
holtz: Über die physikalische Bedeutung des Prinzips 
der kleinsten Wirkung (Grelles Journal, Bd. 100, 1886) 
und: Das Prinzip der kleinsten Wirkung in der Elektro- 
dynamik (Sitzungsberichte der Berliner Akademie, Mai 
1892; Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. 3, p. 163, 
476 und 595). In der ersten Abhandlung wird gleich- 
falls die Schwierigkeit hervorgehoben, die Energie in die 
beiden Glieder T und U zu zerlegen, sobald „verborgene 
Bewegungen" vorkommen, d. h. sobald U noch von den 
Geschwindigkeiten abhängt. Die Ausdehnung der Gültig- 
keit des Hamiltonschen Prinzips auf nicht umkehrbare 
Prozesse (d. h. Prozesse, bei denen es mit unseren Mitteln 
nicht möglich ist, „ungeordnete Atombewegungen wieder 
zu ordnen", wenigstens soweit die anorganische Natur 
in Betracht konmit, wie W. Thomson hinzusetzt) wird 
nur angedeutet. An mehreren Stellen behält sich der 
Verfasser weitere Ausführungen für später vor; auch 
haben ihn diese noch in den letzten Lebenstagen be- 
schäftigt, sind aber nicht zum Abschlüsse gekommen; 
vgl. das (von Wiedemann verfaßte) Vorwort des dritten 
Bandes seiner Wissensch. Abhandlungen. 

62) S. 131. Robert Mayers berühmte Arbeiten 
stammen aus dem Jahre 1842 (Annalen der Chemie und 
Pharmazie, Bd. 42); vgl. dessen Werk: Die Mechanik 

20 ♦ 



7o8 Anmerkmigeii 62 — 65. 

der Wärme in „Gesammelte Schriften", Stuttgart 1867 
(seitdem mehrere Auflagen). Mayer stellte zuerst die 
Äquivalenz von Wärme und Arbeit fest und überträgt 
diese Erkenntnis (1845) ^^^ ^^^^ Naturerscheinungen 
durch den Satz von der „Unzerstörbarkeit der Kraft" 
(d. i. der Arbeit bez. der kinetischen Energie in unserer 
Bezeichnungsweise). Seine Resultate werden wesentüch 
ergänzt durch die experimentellen Arbeiten von Joule 
(Philosophical Magazine 1843) und die theoretischen 
von Helmholt z; vgl. oben die Anmerkung 57). Das 
Clausiussche Prinzip erweitert den sogenannten zweiten 
Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie, nach wel- 
chem für jeden geschlossenen Kreisprozeß die Glei- 
chung 



rs 



T-O 



besteht, wenn Q die Wärmemenge, T die absolute 
Temperatur bezeichnet, zu der Ungleichung (Poggen- 
dorfs Annalen, Bd. 125, 1865) 



/fSo. 



wenn es sich um nicht umkehrbare Prozesse handelt, 
woraus man dann folgert, daß bei mangelnder Wärme- 
zufuhr (d. i. konstanter Energie) die Entropie S stets 
wächst, wobei letztere nach Clausius durch die Glei- 
chung dQ = T'dS definiert wird; vgl. z. B. W. Voigt, 
Kompendium der theoretischen Physik, Bd. i, p. 507 flf. 
und 547, Leipzig 1895. — Eine Geschichte der Ent- 
wicklung der mechanischen Wärmetheorie findet man 
bei Mach, Die Prinzipien der Wärmelehre, Leipzig 1896. 
63) S. 132. Die zu fordernde Einfachheit ist be- 
sonders durch Kirchhoff am Beginne seiner Vorlesungen 
über Mechanik betont: „Als Aufgabe der Mechanik be- 
zeichnen wir, die in der Natur vor sich gehenden Be- 
wegungen vollständig und auf die einfachste Weise 
zu beschreiben" (vgl. auch J. S. Mills Induktive Logik). 
Diese Forderung wird ergänzt durch die von Mach be- 
tonte Forderung der Ökonomie (Die ökonomische 



Zum dritten und vierten Teil. 



309 



Natur der physikalischen Forschung, 1882; Populäre 
Vorlesungen, Wien 1896). — Unterscheiden muß man 
zwischen der Einfachheit der zur Beschreibung dienen- 
den Gesetze und der Einfachheit der Naturerscheinungen 
selbst. Es können sehr verwickelte Erscheinungen durch- 
schnittlich richtig durch sehr einfache Gesetze beherrscht 
werden; vgl. unten S. 147. 

64) S. 134. Hat man die in der Anmerkung 59) 
besprochenen 3« — k Parameter qr eingeführt, so wird 
man bei vollendet gedachter Integration der Bewegungs- 
gleichungen ^n — k Gleichungen der Form 

erhalten (für 2 = i, 2, 3, ... 3« — ^), wo Q, Cg, • • « die 
Integrationskonstanten bezeichnen; aus ihnen kann man 
die qr als Funktionen der Zeit / und der Konstante Cr 
berechnen; man wird daraus die Diflferentialquotienten 
q'r berechnen in der Form 

(2) qr = Or(t\ Ci, Cg, Q«-2;fc); 

aus diesen 6« — 2 k Gleichungen (i) und (2) kann man 
femer die Konstanten C durch die qr und qr aus- 
drücken und hat dann 6n — 2k Funktionen der Para- 
meter und ihrer Diflferentialquotienten, welche konstant 
bleiben. Diese Parameter q sind im Texte mit x be- 
zeichnet. 



Vierter Teil, Die Natur. 

65) S. 149. Auf dieses Beispiel wurde schon oben 
in der Anmerkung 63) hingewiesen. Der Druck des 
Gases auf die Wände des dasselbe enthaltenden Gefäßes 
wird in der kinetischen Gastheorie durch die Stöße der 
in allen Richtungen unregelmäßig sich bewegenden Mole- 
küle gegen diese Wände erklärt, und trotz der schein- 
baren Unbestimmtheit dieser Vorstellung führt die mathe- 
matische Formulierung von Durchschnittswerten zu dem 



jIO Anmerkimgeii 65 — 68. 

bekannten Gesetze von Mariotte und weiteifain za der 
van der Wals sehen Verallgemeinening desselben. £s 
kann hier auf die Lehrbücher von O. £. Meyer nnd 
Clausius und die Vorlesungen von Kirchhoff sowie anf 
die betr. Arbeiten von Maxwell verwiesen werden, be- 
sonders aber auf die Thermodynamique von PoincaT6 
(Lev'ons profess^es pendant le premier semestre 1 888 — 89, 
ri^dig^es par Blondin, Paris 1892) nnd Boltzmann: 
Vorlesungen über Gastheorie, Leipzig 1892 — 98. Das 
Gesetz der großen Zahlen herrscht in diesen Theorien 
ebenso wie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, worauf 
die vielfachen Anwendungen der letzteren in der Gas- 
theorie beruhen; vgl. auch unten S. 187 und die An- 
merkung 87). 

Was man freilich als einfach ansieht, ist zu ver- 
schiedenen Epochen sehr verschieden gewesen. Vor 
Kepler und Newton hielt man die Kreisbewegung 
für die einfachste (und „vollkommenste"); deshalb sollten 
alle Planetenbewegungen auf Kreise und deren Rollen 
aufeinander zurückgeführt werden; und heute sagen wir: 
Was gibt es Einfacheres als das Newtonsche Gesetz? 
Wir beurteilen heute die Einfachheit nach der Natur 
des mathematisch formulierten Gesetzes, das sich ergabt, 
wenn man die „zufälligen" Konstanten der Erscheinung 
(durch Differentiation und Elimination) herausgeschafft hat. 

Dieses und das folgende Kapitel bildeten einen Vor- 
trag (Relations entre la physique experimentelle et la 
physique math^matique), den Poincar6 beim internatio- 
nalen Physikerkongresse 1900 in Paris gehalten hat; 
vgl. den betr. „Rapport", t. i, p. i. 

66) S. 1 50. Nicht nur in der Optik, sondern in der 
ganzen mathematischen Physik (schon beim Parallelo- 
gramm der Geschwindigkeiten) wenden wir fortwährend 
dies Prinzip der Superposition an, d. h. die Annahme 
des gleichzeitigen Bestehens kleiner Bewegungen (wie 
die Schwingungen des Lichtäthers und die Zerlegung 
des weißen Lichtes in die einzelnen Farben des Spek- 
trums oder die Auflösung der Töne einer schwingenden 
Saite in den Grundton und die zugehörigen Ober- 



Zum vierten Teil. 



311 



töne usf.). Ausführlich bespricht Volkmann die 
logische Seite dieses Verfahrens: Erkenntnistheoretische 
Grundzüge der Naturwissenschaften und ihre Beziehungen 
zum geistigen Leben der Gregenwart, Leipzig 1896, 
p. 69 ff. 

67) S. 150. In der Tat hat man (besonders nach 
Lesage) versucht, die Gravitation aus den Stößen einer 
feinen, unregelmäßig verteilten Materie zu erklären; vgl. 
P. du Bois-Reymond, Die Unbegreiflichkeit der Fem- 
kraft, Naturwissenschaftliche Rundschau, Jahrg. 3, 1888; 
Isenkrahe, Das Rätsel von der Schwerkraft, 1879, und 
Maxwells Artikel „Atoms" in der Encyclopaedia Britan- 
nica (Papers, vol. II, p. 473). 

Das Newtonsche Gravitationsgesetz hat man zu er- 
gänzen gesucht, indem man den Exponenten 2 im Nenner 
durch 2 -\- E ersetzte, wo e eine kleine Zahl ist, oder 



ffii tn. 



indem man die Funktion ^ , * als erstes Glied einer 

Reihenentwicklung ansah; insbesondere hat man die 

Funktion * , * e in Betracht gezogen, wo ^i eine 

Konstante bedeutet; vgl. neben den in Anmerkung 55) 
erwähnten Arbeiten von Neu mann und Seeliger noch: 
Korn, Über die mögliche Erweiterung des Gravitations- 
gesetzes, Sitzungsberichte d. k. bayr. Akad. math. phys. 
Klasse, Bd. ^^, 1903. 

68) S. 155. Als Vektor bezeichnet man eine geome- 
trische Größe, zu deren vollständiger Bestimmung man 
einer Zahl und einer Richtung bedarf. Die Richtung 
wird bei analytischer Darstellung durch ihre Neigungen 
«> jS, y gegen die drei Koordinatenachsen gegeben. Jede 
Größe, die sich (analog der Kraft oder Geschwindigkeit) 
in drei Komponenten zerlegen läßt, wird als Vektor be- 
zeichnet. Ist z. B. eine Kraft oder Geschwindigkeit R 
nach Größe und Richtung gegeben, so sind ihre Kom- 
ponenten bekanntlich 

X = i? cos a, F = R cos ßf Z = R cos y . 

In der Optik wird der eine Vektor durch die der (sehr 



^12 Anmerkungen 68 — 69. 

kleinen) Verschiebungskomponenten «, v, w gegeben (wo- 
bei ein Punkt a*, y, z infolge der elastischen Schwingung 
in einen Punkt x -\- u^ y -\- v, z -\- w übergeht, und 
u, V, w Funktionen von x, y, z und von der Zeit / sind), 
der andere durch die Komponenten der kleinen Drehung, 
welche das Volumelement erleidet, nämlich: 

^ i/^J"' ^\ 1/^ ^\ fc 1/^^ ^^\ 

vgl. z. B. F. Neumann, Vorlesungen über die Theorie 
der Elastizität, herausgegeben von 0. E. Meyer, Leipzig 
1885, p. 41, oder die betr. Abschnitte in Kirchhoffs 
Mechanik oder v. Helmholtz, Vorlesungen über die 
Mechanik deformierbarer Körper. Die Vertauschbarkeit 
der Größen u, v, w mit den davon abgeleiteten ^, yi, f tritt 
z. B. hervor beim Vergleiche der Fresn eischen mit der 
Neumann sehen Theorie der Reflexion, vgl. Poincar6, 
Mathematische Theorie des Lichtes, deutsch von Gumlich 
und Jäger, Berlin 1894, p. 255. Sind u, v, w in der 
Hydrodynamik die Komponenten der Geschwindigkeit 
eines Flüssigkeitsteilchens, so sind §, ri, f die Kompo- 
nenten einer unendlich kleinen Rotation, eines „Wirbels" 
(vgl. z. B. Kirchhoff a. a. O.); dieses Wort ist im Text 
wegen der analytischen Analogie auf die Erscheinungen 
der Optik übertragen. 

69) S. 156. Ist u die Temperatur eines Körpers 
im Punkte x, y, z zur Zeit /, so ist u eine Funktion der 
viet Variabein x^y, z, /, welche der partiellen Differen- 
tialgleichung zweiter Ordnung 

genügt (wo a^ die Wärmeleitungskonstante des Körpers 
bezeichnet) und sich aus dieser Differentialgleichung be- 
stimmt, wenn man i. die Verteilung der Temperatur im 
Innern des Körpers zur Anfangszeit / = /q, 2. die Ab- 
hängigkeit der Temperatur von der Zeit an der Ober- 
fläche des Körpers oder das Gesetz, nach welchem der 
Temperaturfluß durch die Oberfläche des Körpers statt- 



Zum vierten Teil. 



313 



findet, kennt. Die Aufstellung der Differentialgleichung 
beruht auf der Annahme, daß die Wirkung der Wärme 
(bei festen Körpern) nur in unendlich kleiner Entfernung 
stattfindet und daß diese Wirkung eine ausgleichende 
ist, indem der wärmere Teil an den kälteren Wärme 
abgibt, die der Temperaturdiflferenz proportional ist. Die 
Theorie der „Wärmeleitung", d. i. die Theorie der aufge- 
stellten partiellen Differentialgleichung, wurde zuerst von 
Fourier entwickelt: 1808 im Bulletin des sciences de 
la soci6t^ philomatique und 1 8 1 1 in den M^moires de 
rAcad6mie des sciences, ausführlicher 1822 in dem 
Werke „Theorie analytique de la chaleur", das nicht nur für 
die Theorie der Wärme, sondern auch für die Entwicklung 
der Analysis von größter Bedeutung wurde und so einen 
Markstein in der Geschichte der Mathematik bezeichnet; 
vgl. die Darstellungen dieser Theorien bei Riemann: 
Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung 
auf physikalische Fragen, Vorlesungen, herausgegeben von 
Hattendorff, 2. Aufl., Braunschweig 1872 (seitdem 
durch H. Weber bearbeitet in neuer Auflage), femer 
Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl., Bd. 2 
(Anwendungen), Berlin 1881, p. 302 flf. — Von beson- 
derer Wichtigkeit ist die Fouri ersehe Theorie für die 
(besonders durch Poisson, F. Neumann und William 
Thomson geförderte) Frage nach dem früheren und 
jetzigen Zustande des Erdinnem und nach dem Einflüsse 
der Sonnenwärme auf die Temperatur im Innern der 
Erde und der Veränderung dieser letzteren mit den 
Jahreszeiten. Vgl. darüber W. Thomson, On the re- 
duction of observations of Underground temperature, 1860, 
und: On the secular cooling of the earth 1862, Mathe- 
matical and physical Papers, vol. 3; Adolf Schmidt, 
Theoretische Verwertung der Königsberger Bodentempera- 
tur-Beobachtungen, Schriften der phys.-ökonomischen Ge- 
sellschaft zu Königsberg i. Pr., Jahrg. ^2, 1891, und 
Leyst, Untersuchungen über die Bodentemperatur zu 
Königsberg i. Pr., ib. Jahrg. ^^, 1892; P. Volkmann, 
Beiträge zur Wertschätzung der Königsberger Erdthermo- 
meterstation 1872 — 92, ib. Jahrg. 34, 1893; Franz, Die 



^lA Anmerkungen 69 — 72. 

täglichen Schwankungen der Temperatur im Erdboden, 
ib. Jahrg. 36, 1895. 

Die Methoden der Theorie der Wärmeleitung lassen 
sich auch auf die Ausbreitung der Elektrizität (vgl. 
W. Thomson, Math, and phys. papers, vol. 2, p, 4iflf., 
Abhandlungen über Telegraphenleitung 1855 — 56; vgl. 
auch Poincar6, Electricit^ et Optique, p. 51 ff.) und 
nach Fick auf die Hydrodiffusion anwenden (vgl. H. F. 
Weber, Viertelj ahrsschrift der Züricher naturfbrschenden 
Gesellschaft, Novbr. 1878). Die der Leitung der Elektri- 
zität in Drähten erfordert indessen das Studium einer 
komplizierteren Differentialgleichung; vgl. Poincar6, 
Comptes rendus, Dezbr. 1893, und Picard, Comptes 
rendus, Jan. 1894, u. Bulletin de la Soci6t6 math. 
de France t. 22, 1894. 

70) S. 156. Die Theorie der Elastizität, insbesondere 
der elastischen Schwingungen, beruht auf der Behandlung 
der Differentialgleichung 

?!? - ^2/^_!ü 4. ?*« 4. ^M 

welche derjenigen für die Wärmeleitung ganz analog 
ist. Der Gleichgewichtszustand eines gebogenen elasti- 
schen Stabes wurde zuerst von de Saint- Venant er- 
folgreich behandelt: M^njoire sur la torsion des prismes, 
1858, und Memoire sur la flexion des prismes, Liouvilles 
Journal, 2*^"*® s6rie, t. i, 1856; vgl. Clebsch, Theorie 
der Elastizität fester Körper, Leipzig 1862; Saalschütz, 
Der belastete Stab unter Einwirkung einer seitlichen 
Kraft, Leipzig 1880; Poincar6, Le^ons sur la th6orie 
de r^lasticit6, Paris 1892. 

71) S. 157. Ein Vektor ist durch Größe und Rich- 
tung bestimmt; das Addieren von Vektoren geschieht wie 
das Zusammensetzen von Kräften, Geschwindigkeiten 
u. dergl., vgl. oben die Anmerkung 68). Ein Skalar 
bezeichnet im Gegensatze zum Vektor eine reine (reelle, 
positive oder negative) Zahl, „denn er kann stets ge- 
funden und in gewissem Sinne konstruiert werden durch 
Vergleichung von Strecken auf einer und derselben. 



Zum vierten Teil. 



315 



Skala (oder Achse)", indem der Quotient sJWeier gleich 
gerichteter Vektoren einer solchen reinen Zahl gleich 
ist. Die Bezeichnung ist der Theorie der Quaternionen 
entnonunen, welche in mechanischen und physikalischen 
Arbeiten neuerdings vielfach Anwendung findet und mit 
den geometrischen bez. arithmetischen Theorien von 
Möbius und H. Graßmann enge verwandt ist. Die- 
selbe wurde durch W. R. Hamilton (seit 1835 in ver- 
schiedenen Abhandlungen der R. Irish Academy und 
den Lectures on Quatemions, Dublin 1853) begründet; 
vgl. dessen Elemente der Quaternionen (London 1866), 
deutsch von P. Gl an, Bd. i u. 2, Leipzig 1882 — 84; 
ferner Tait, Elementary Treatise on Quatemions; 
H. Hankel, Theorie der komplexen Zahlensysteme, 
Leipzig 1867; Gibbs, Vector Analysis, New-York 1902. 

72) S. 163. Die von Helmholtz 1874 aufgestellte 
Theorie der Dispersion (Wissenschaftliche Abhandlungen 
Bd. 2, p. 213) geht von der Annahme aus (im Anschlüsse 
an frühere Arbeiten von W. Sellmeier), daß in den 
Lichtäther mitschwingende ponderable Atome eingebettet 
smd und daß sich zwischen Äther und Materie eine 
Reibungskraft geltend macht, die der Bewegung der 
Atome entgegenwirkt. Ausgehend von der elektromagne- 
tischen Lichttheorie und der Annahme polarisierter Ionen 
entwickelte Helmholtz 1892 eine zweite Theorie (Wiss. 
Abhandig. Bd. 3, p. 505); jedem Ion entspricht dabei 
eine besondere Linie (Absorptionsstreifen) im Spektrum; 
jedes Element wäre also mit so vielen Ionen behaftet, 
wie die Anzahl der Linien seines Spektrums beträgt. 
Auf ähnlichen Vorstellungen beruhen die Theorien von 
Drude (Lehrbuch der Optik, Leipzig 1900, p. 352) und 
Poincar^ (Electricit6 et Optique, la lumi^re et les 
th6ories 61ectrodynamiques, Paris 1901, p. 500 ff.). 

Von ganz anderen Vorstellungen ging W. Thomson 
(Lord Kelvin) aus (Notes and Lectures on molecular 
d3aiamics, Baltimore 1884), indem bei ihm alle Wellen- 
längen, die den Linien eines Spektrums entsprechen, durch 
eine Gleichung bestimmt werden, deren Grad davon 
abhängt, aus wie vielen konzentrischen Kugelschalen 



2i5 Anmerkungen 72 — 76. 

man sich ein Atom bestehend denkt. Andererseits habe 
ich versucht, das Auftreten der Verschiedenheiten in 
den Spektren verschiedener Elemente aus der Gestalt 
der Atome (die danach im allgemeinen nicht kugel- 
förmig zu denken sind) zu erklären: Zur Theorie der 
Spektrallinien, Sitzungsberichte der math. phys. Klasse 
d. k. bayr. Akad. der Wissensch., Bd. 31, 1901, und 
Bd. ^St 1903 (eine weitere Fortsetzung wird demnächst 
erscheinen); die einzelnen Linien des Spektrums werden 
dabei durch transzendente Gleichungen bestimmt. 

73) S. 164. In betreff der kinetischen Gastheorie 
vgl. oben Anmerkung 65). Wird ein fester Körper ge- 
löst, so werden seine Moleküle durch eine gewisse Ex- 
pansivkraft in den mit Flüssigkeit gefüllten Raum hinein- 
getrieben, in welchen sie unter einem gewissen Drucke, 
dem „osmotischen Drucke", gelangen. Dieser Druck ist 
von der Natur des Lösungsmittels unabhängig und ge- 
horcht den für Gase gültigen Gesetzen (nach van't Hoff, 
1885; vgl. z. B. Nernst, Theoretische Chemie, i. Aufl., 
Stuttgart 1893). Entsprechendes gilt auch für „feste 
Lösungen" (z. B. Wasserstoff in Platin, Kohlenstoflf in 
Eisen), vgl. van't Hoff, Zeitschrift für physikalische 
Chemie, Bd. 5, 1890. 

74) S. 166. Die Theorie der Elektronen ist einer- 
seits mit Rücksicht auf die Eigenschaften der (von Hittorf 
und Crookes erforschten) Kathodenstrahlen entstanden, 
andererseits aus der Annahme von wandernden Ionen 
zur Erklärung der elektrolytischen Vorgänge; nur daß 
man sich jetzt diese elektrischen Ionen von den wandern- 
den Atomen losgelöst denkt und dann Elektronen nennt. 
Die Elektrizität besteht hiemach also aus Atomen von 
sehr geringer Masse (vielleicht aus den Uratomen, aus 
denen sich alle anderen zusammensetzen). Diese Vor- 
stellungen sind besonders von J. J. Thomson (Philo- 
sophical Magazine, Serie 5, vol. 46, 1898), Lorentz (La 
th^orie ^lectrodynamique de Maxwell et son application 
aux Corps mouvants, Leyde 1892, und: Versuch einer 
Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen 
in bewegten Körpern, Leyden 1895) gefördert; vgl. auch 



Zum vierten Teil. 



317 



Wiechert, Die Theorie der Elektrodynamik, Schriften 
der physikalisch -ökonomischen Gesellschaft zu Königs- 
berg i. Pr., Jahrg. 1896, und: Grundlagen der Elektro- 
dynamik, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauß- 
Weber- Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899; sowie die 
übersichtliche Darstellung bei Kays er: Die Elektronen- 
theorie, akademische Festrede, Bonn 1903. — Auf 
S. 175 ff. und 242 des vorliegenden Werkes wird die 
Lorentzsche Theorie nochmals besprochen. 

75) S. 166. Eine kurze Übersicht über Carnots 
Gedankengang (R^flexions sur la puissance motrice du 
feu, Paris 1824) gibt Clausius in Abschnitt III, § 4, 
Bd. I seiner Mechanischen Wärmetheorie (dritte Aufl. 
1883); durch Abänderung und Verbesserung dieses Ge- 
dankengangs kam Clausius zum sogenannten zweiten 
Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie; vgl. auch 
oben die Anmerkung 62). 

Es sei erwähnt, daß F. Neumann die Grundgedanken 
der heutigen Wärmetheorie schon vor 1850 in seinen 
Königsberger Vorlesungen entwickelte (dabei das Wort 
„Arbeitsvorrath" für „Energie" gebrauchend); vgl. Volk- 
mann, Franz Neumann, Ein Beitrag zur Geschichte 
deutscher Wissenschaft, Leipzig 1896, p. 36. 

76) S. 168. In seinen Prinzipien der Mechanik, 
p. 207 ff., stellt sich Hertz das Wirken von Kräften 
zwischen gegebenen Systemen durch das Bild von 
,, Koppelungen" der Systeme untereinander vor, die 
dann die Bewegung als eine unfreie erscheinen lassen. — 
Diese Vorstellung ist verwandt mit der Konstruktion 
„dynamischerModelle" gegebener materieller Systeme 
(loco cit. p. 197 ff.); jedes System kann auf unendlich 
viele Weisen durch solche Modelle dargestellt werden. 
Um den Ablauf der natürlichen Bewegung eines mate- 
riellen Systems vorauszusehen, genügt die Kenntnis eines 
(möglichst zu vereinfachenden) Modells jenes Systems. 

Auch . andere physikalische Erscheinungen kann man 
durch mechanische Modelle veranschaulichen; vgl. Boltz- 
manns Vorlesungen über Maxwells Theorie der Elektri- 
jsität und des Lichtes, Leipzig 1891/93. — So konstruiert 



^i3 Anmerkungen 76 — 80. 

W. Thomson ein gyrostatisches Modell des Lichtäthers, 
um die „Quasi-Elastizität" des letzteren zu veranschau- 
lichen (Math. a. phys. Papers, vol. 3, p. 466, 1889); vgl. 
auch Sommerfeld, Mechanische Darstellung der elektro- 
magnetischen Erscheinungen in ruhenden Körpern, Wiede- 
manns Annalen, Bd. 46, 1892; auch seine oben in An- 
merkung 72) erwähnte Konstruktion der Atome aus 
elastisch verbundenen konzentrischen Kugelschalen will 
Lord Kelvin nur als ein „rohes" mechanisches Modell 
betrachtet wissen. — Zur Darstellung thermodynamischer 
Vorgänge dient die Theorie der monozyklischen 
Systeme (d. h. Systeme, in denen in sich zurücklaufende 
Bewegungen vorkommen und die in ihrer Greschwindig- 
keit nur von einem Parameter abhängen); vgl. Helm- 
holtz, Wissenschaftl. Abhandlgn., Bd. 3 (1884); Boltz- 
mann, Grelles Journal, Bd. 98 u. Bd. 100 (1884 — 85). 

77) S. 168. Die Kinematik der Gelenksysteme 
(syst^mes articul^s) ist von Königs besonders eingehend 
behandelt: Le<;:ons de cin^matique, Paris 1877; in Be- 
treff der Dynamik der Gelenksysteme vgl. Routh, Die 
Dynamik der Systeme starrer Körper, deutsch von 
Schöpp, Bd. 2, p. 297 ff., Leipzig 1898. 

78) S. 169. Die W. Thomsonsche Vorstellung be- 
ruht auf dem berühmten He Imholtz sehen Satze, nach 
welchem Wirbelbewegungen in einer Flüssigkeit aufein- 
ander anziehende und abstoßende Kräfte ausüben 
(Wissenschaftl. Abhandlgn., Bd. i; Grelles Journal, Bd. 55, 
1858), und wonach ein „Wirbelfaden" unzerstörbar ist 
und sich in der Flüssigkeit, ohne zu zerreißen, endlos 
fortbewegt (vgl. auchz. B. Kirch hoff s Mechanik, p. 252flf.; 
J. J. Thomson, On the motion of vortex rings, London 
1883; und Poincar^, Theorie des tourbillons, Paris 
1893), also diese wesentliche Eigenschaft der Unzerstör- 
barkeit mit der Materie teilt. Nimmt man an, daß die 
vermeintlichen materiellen Atome aus solchen Wirbeln 
(z. B. Wirbelringen) bestehen, die sich im Lichtäther 
fortbewegen, so fallt die Schwierigkeit fort, die in der 
sonst notwendigen Annahme liegt, daß sich materielle 
Atome im absolut starren Lichtäther ohne wesentlichen 



Zum vierten Teil. 



319 



Widerstand fortbewegen; vgl. W. Thomson, Philoso- 
phical Magazine, Juli 1887, und Maxwell, Artikel „Atoms" 
in der Encyclopaedia Britannica (Papers, vol. 2, p. 467). 

In betreff Riemanns Ideen über die Natur der 
Atome vgl. die Veröffentlichung aus dessen Nachlasse 
(p. 503 seiner Gesammelten Werke), sowie oben An- 
merkung 52). 

Wiecherts Anschauung nähert sich derjenigen von 
W. Thomson; nach ihm „sind die Atome Stellen ausge- 
zeichneter Beschaffenheit im Äther", vgl. die in An- 
merkung 74) zitierten Schriften, in denen allerdings auch 
materielle Atome dem Äther und den elektrischen Atomen 
gegenübergestellt werden. Auch Larmor betrachtet 
die Atome als Unstetigkeitspunkte des Äthers: Aether 
and Matter, Cambridge 1900, Kap. V u. VI und An- 
hang (und frühere Arbeiten in den Proceedings und den 
Philosophical Transactions der Royal Society). Clifford 
betrachtete die Atome als Unstetigkeiten unseres Raumes^ 
in denen letzterer durch „Quellen" aus einer vierten 
Dimension beeinflußt wird; vgl. Pearson, Granmiar of 
Science, p. 270. — Vgl. auch die in Anmerkung 76) 
erwähnten Modellkonstruktionen. 

79) S. 171. Fizeaus berühmtes Experiment stanamt 
aus dem Jahre 1859: Annales de chimie et de physique, 
Serie 3, t. 57; dasselbe wurde in größerem Maßstabe 
von Michelson und Morley wiederholt: American 
Journal of science, serie 3, vol. 31, 1886. Spätere Ver- 
suche von Fizeau mit Glassäulen ergaben ein zweifel- 
haftes Resultat; vgl. die Bemerkung von Lorentz auf 
S. 2 seines oben erwähnten Werkes. 

80) S. 172. Einen Bericht über diese verschiedenen 
Versuche findet man bei Lorentz a. a. O., bei Lar- 
mor in dem zitierten Werke und bei W. Wien: Über 
die Fragen, welche die translatorische Bewegung des 
Lichtäthers betreffen, Wiedemanns Annalen, Neue Folge, 
Bd. 65, 1898. Poincar6 begründet seine im Texte 
ausgesprochene Ansicht genauer am Schlüsse seines 
Werkes über die Theorie des Lichtes und im Kapitel 
VI u. VII des Werkes: Electricit6 et Optique. Von der 



■5 20 Anmerkungen 8i — 84. 

elastischen Lichttheorie ausgehend hat Voigt die Theorie 
des Lichtes für bewegte Medien behandelt: Gröttinger 
Nachrichten 1887. 

81) S. 176. Das Zeemannsche Phänomen (vgl. 
K. Ak. van Wetenskaps, Bd. 5, 1896, Communications 
of Labor, of Physics, Leyden, Bd. 29 u. 33, 1896, Philo- 
sophical Magazine, serie 5, vol. 43, p. 226, 1897) be- 
steht darin, daß eine Linie des Spektrums (z. B. eines 
Elementes) durch Einwirkung eines Magneten in zwei 
oder mehrere Linien zerspalten wird (vgl. z. B. die 
eingehende Untersuchung des Quecksilberspektrums in 
dieser Richtung von Runge und Paschen, Abhand- 
lungen der Berliner Akademie, 1902). Lorentz hat 
die Erscheinung theoretisch erklärt, indem er von Ionen 
ausgeht, die sich selbst wieder aus noch einfacheren 
Gebilden zusammensetzen; vgl. die Darstellung bei 
Poincar6, Electricit6 et Optique, p. 544 ff., wo auch 
die Drehung der Polarisationsebene besprochen wird. 
Eine andere Theorie des Zeemann-Effektes gab W. Voigt 
(Wiedemanns Annalen, Bd. 67, 68, 69, und Annalen der 
Physik, Bd. i u. 4) ; nach ihm ist die Erscheinung analog 
der Doppelbrechung des Lichtes in Kristallen. 

82 )S. 177. Mac-Cullagh hatte gleichzeitig mit 
F. Neumann die Theorien der Optik aus der Annahme 
eines Mediums abgeleitet, dem überall gleiche Dichte, 
in verschiedenen Körpern aber verschiedene Elastizität 
zukommt, so daß bei ihm (wie bei Neumann, im Gegen- 
satze zuFresnels Annahme) die Schwingung des polari- 
sierten Lichtes senkrecht zur Polarisationsebene statt- 
findet (vgl. The collected works by J. Mac-Cullagh, 
Dublin und London 1880, und die Berücksichtigung 
dieser Theorie in Volkmanns Theorie des Lichtes). 
An diese Vorstellung hatte Larmor in dem oben zitierten 
Werke angeknüpft. Poincar6 gibt eine eingehende 
Darlegung seiner Anschauung darüber am Schlüsse des 
Werkes: Electricit6 et Optique. 

83) S. 178. Für die hier besprochenen Anwendungen 
der Thermodynamik sei auf das in Anmerkung 73) er- 
wähnte Werk von Nernst über theoretische (insbesondere 



Zum vierten Teil. 



321 



physikalische) Chemie verwiesen, sowie auf J. J. Thom- 
son, Applications of dynamics to physics and chemistry, 
London 1888, Kapitel VII (Deutsche Übersetz., Leipzig 
1890). Auf das Carnotsche Prinzip und die Entropie 
wurde schon in Anmerkung 75) verwiesen. Die im Texte 
erwähnte Hysteresis ist eine mit der elastischen Nach- 
wirkung verwandte Erscheinung. Letztere besteht darin, 
daß die Ruhelage, die ein Körper nach einer elastischen 
Deformation (z. B. ein tordierter Draht) einnimmt nicht 
allein von der vor der Deformation vorhandenen Ruhelage 
abhängt, sondern auch von Deformationen, die der 
Körper etwa in weiter zurückliegenden Zeiten einmal 
erlitten hat; diese Erscheinung. ist besonders von Boltz- 
mann (Wiedemanns Annalen, Erg. -Bd. 7, 1876) und 
Maxwell studiert; vgl. J. J. Thomson, a. a. O. p. 130 
und Wiechert: Über elastische Nachwirkung, Inaugural- 
dissertation, Königsberg 1889. Von W. Thomson 
wurde (Philosophical Transactions, vol. 170, 1879) be- 
merkt, daß die wiederholte Torsion eines Drahtes einen 
ähnlichen dauernden Einfluß auf die Magnetisierung des 
Drahtes hat; Warburg studierte umgekehrt (Berichte der 
naturforschenden Gesellschaft zu Freiburg i. Br., Bd. 8, 
1880) den Einfluß wiederholter Magnetisierungen auf 
die Torsion des Drahtes. Über weitere Untersuchungen 
betr. diese als Hysteresis bezeichneten Erscheinungen 
vgl. den Bericht von Warburg, Rapport pr^sent6 au 
Congr^s international de Physique a Paris 1900. — 
Auch die elektrischen Rückstandserscheinungen sind nach 
Maxwell der elastischen Nachwirkung analog; vgl. den 
Bericht von Grätz über Elektrostatik etc. Winkel- 
manns Handbuch der Physik, 2. Aufl. Bd. 4, 1903. 

84) S. 180. Die ungeordneten Bewegungen der 
kleinsten Teile kann man bei den Brownschen „Wimmel- 
bewegungen" der Beobachtung unterwerfen; dieselben 
entstehen bei der Suspendierung kleinster Teile in Flüssig- 
keiten und bei Emulsionen (vgl. Arbeiten von Stark in 
Wiedemanns Annalen, Bd. 62, 65, 68). Die Nichtum- 
kehrbarkeit gewisser Erscheinungen beruht (vgl. auch 
oben Anmerkung 61) auch darauf, daß wir nur imstande 

Poincar6, Wissenschaft und Hjrpothese. 21 



^22 Anmerkungen 84 — 88. 

sind, mit den Molekülen in großen Massen zu experi- 
mentieren, aber nicht einzelne Moleküle abtrennen und 
beobachten können, also auf den Grenzen, welche uns 
bei Anwendung experimenteller Methoden gesetzt sind 
(vgl. J. J. Thomson a. a. O. p. 281). Um dies zu er- 
läutern, erdachte Maxwell (vergl. dessen Theory of 
Heat, 3'* ed. p. 308, 1872) das Gleichnis eines „Dä- 
mons", der imstande ist, die Moleküle nach gewissen 
Gesetzen zu sortieren, selbstverständlich ohne an die 
Existenz solcher Dämonen zu denken (wie ihm unter- 
gelegt wurde); vgl. W. Thomson, Populäre Vorträge und 
Reden (Bd. i, p. 473 der deutschen Ausgabe). 

Handelt es sich um die Ausbreitung kleinster Teile 
auf der Oberfläche einer Flüssigkeit oder an der Grenz- 
fläche zweier Flüssigkeiten, so kommt für die Herstellung 
des Gleichgewichts die Oberflächenspannung der Flüssig- 
keiten in Betracht, die ihrerseits durch etwaige elektrische 
Einflüsse umgeändert wird. So hängen diese Unter- 
suchungen auch mit der Kapillaritätstheorie und mit den 
kapillar - elektrischen Phänomenen zusanmien , deren 
Theorie von Helmholtz zuerst entwickelt wurde [1879, 
Wiedemanns Annalen, Bd. 7, und 1880, Bd. 11; vgl. 
auch die Beobachtungen von K. R. Koch: Wiedemanns 
Annalen, Bd. 42, 1891; Bd. 45, 1892 (mit Wüllner); 
Bd. 52, 1894] und die neuerdings durch Gouy experi- 
mentell und theoretisch weiter geführt wurden: Comptes 
rendus, 1895, 1900 u. 1901. 

85) S. 180. Die Einwirkung des Lichtes auf den 
elektrischen Funken ist von Hertz (Sitzungsberichte der 
Berliner Akademie 1887) festgestellt worden und seit- 
dem besonders von Elster und Geitel eingehend 
studiert. Die neueren Beobachtungen über strahlende 
Materie haben das Interesse an diesen und ähnlichen 
Untersuchungen neu belebt. Vgl. Warburg, Verhand- 
lungen der Deutschen physik. Gesellschaft, Jahrg. 2, 
1900. 

86) S. 181. Die Beseitigung der Schwierigkeiten, 
welche der Fresnelschen Theorie der Reflexion ent- 
gegenstehen, durch Annahme einer „Übergangsschicht" 



Zum vierten Teil. 



323 



bespricht Poincar^ eingehend in dem Werke: Mathe- 
matische Theorie des Lichtes, p. 247 der deutschen 
Ausgabe. Auch in der Neu mann sehen Theorie er- 
geben sich bei der partiellen Reflexion an durchsichtigen 
Medien ähnliche Schwierigkeiten, die man nach W. Voigt 
(Wiedemanns Annalen, Bd. 2^, 1884, u. Bd. 31, 1887) 
auch durch Annahme einer Übergangsschicht beseitigen 
kann; vgl. p. 3i8f. in Volkmanns mehrfach erwähnten 
Vorlesungen über die Theorie des Lichtes. 

87) S . 182. Durch Verallgemeinerung des Mariotte- 
schen Gesetzes gelang es van der Wals zuerst, den 
Übergang vom gasförmigen Zustande in den flüssigen 
mathematisch zu formulieren: Die Kontinuität des gas- 
förmigen und flüssigen Zustandes, Leipzig 1881 (deutsch 
von Roth). In betrefi" der theoretischen Ableitung seiner 
berühmten „Zustandsgieichung" vgl. z. B. Boltzmanns 
Vorlesungen über Gastheorie, wo auch die verschiedenen 
Versuche besprochen sind, die man gemacht hat, um 
durch Erweiterung jener Zustandsgieichung eine noch 
bessere Übereinstimmung mit der Erfahrung in allen 
Fällen zu sichern. Die Arbeiten von Andrews über 
Aggregatzustände findet man in Philosophical Trans- 
actions, vol. 159, II, 1869, vol. 166, 1870 und vol. 178A, 
1887. Feste Lösungen wurden schon oben in Anmer- 
kung 73) erwähnt; in betrefi" des Fließens fester Körper 
vgl.: Schwedoff, La rigidit^ des fluides, und Spring, 
Propri^t^s des solides sous pression; diffusion de la 
mati^re des solides; Rapports pr6sent6s au Congr^s 
international, Paris 1900. 

88) S. 182. Man bedient sich (nach Roozeboom, 
vgl. N ernst. Theoretische Chemie, p. 485) einer graphi- 
schen Methode, um die Abhängigkeit der Beschafienheit 
des Gleichgewichtszustandes von den äußeren Bedin- 
gungen der Temperatur und des Druckes erkennen zu 
lassen. Beim Wasser geschieht dies durch drei in einem 
„Übergangspunkte" zusammenlaufende Kurven; in kom- 
plizierteren Fällen muß man (nach Maxwell und Clau- 
sius) räumliche Konstruktionen zu Hilfe nehmen; vgl. 
W. Voigt, Theoretische Physik, Bd. i, p. 576. Alle 

21* 



2 24 Anmerkungen 89—91. 

diese Theorien beruhen auf den fundamentalen Unter- 
suchungen von Gibbs über die Theorie der Phasen 
[d. i. den räumlich gesonderten (festen, flüssigen oder 
gasförmigen) Körpern, welche sich aus den zugleich vor- 
handenen Komponenten bilden, d. h. aus den von- 
einander unabhängigen chemischen Bestandteilen des 
Systems]: Transactions of the Connecticut Academy, 
vol. 3, 1876. 

89) S. 186. Vgl. Bertrand, Calcul des probabilit6s, 
Paris 1889, p. 4ff.; vgl. auch Poincar6, Calcul des 
probabilit^s, Paris i8g6, p. 94 f. Eine ähnliche Schwierig- 
keit bietet sich bei dem folgenden einfacheren Probleme : 
Eine geradlinige Strecke L ist in drei Teile A^ B^ C ge- 
teilt; mit welcher Wahrscheinlichkeit fallt ein willkürlich 
auf der Strecke L gewählter Punkt P in den Teil ^? 
Es zeigt sich, daß die Antwort davon abhängig ist, wie 
man sich die Teilung der Strecke sukzessive ausgeführt 
denkt, wie Brunn näher ausgeführt hat (Sitzungsberichte 
der philos.-philol. Klasse der k. bayr. Akad. d. Wiss. 
1892); es ist also auch hier durch Übereinkommen eine 
Festsetzung zu treffen. Das im Texte erwähnte Bertrand- 
sche Problem ist neuerdings von de Montessus ein- 
gehend behandelt worden (Nouvelles Annales des math6- 
matiques, Serie 4, t. 3, 1903); er findet, daß im allge- 
meinen die Zahl der Lösungen unendlich groß ist, daß 
sie erst bestinmit wird, wenn in der Ebene des Klreises 
ein Punkt gegeben wird, durch den die fragliche Sehne 
gezogen werden soll, und daß sie dann abhängt von 
der Entfernung dieses Punktes vom Mittelpunkte des 
Kreises. 

90) S. 187. Es sei hier auf die in den obigen An- 
merkungen 65) und 87) gemachten Literaturangaben 
verwiesen. 

91) S. 192. Der betreffende Beschluß der Pariser 
Acad6mie des Sciences aus dem Jahre 1775 wird von 
Montucla in seiner Histoire des recherches sur la qua- 
drature du cercle (2*^°^® ^d., Paris 1831, p. 279) mitge- 
teilt. Um die Unmöglichkeit der Quadratur nachzuweisen, 
mußte man zeigen, daß die Ludolphsche Zahl % eine 



Zum vierten Teil. 



325 



„transzendente" Zahl ist, d. h. daß sie nicht Wurzel 
irgendeiner algebraischen Gleichung mit ganzzahligen 
Koeffizienten sein kann (so hatte Leibniz das Problem 
formuliert); vgl. meinen Aufsatz „Über die Zahl tt" in 
Bd. 20 der Math. Annalen (sowie Sitzungsberichte d. 
Berliner Akad. vom 22, Juni 1882 und der Pariser 
Acad6mie des Sciences vom 10. Juli 1882). Der Beweis 
stützt sich auf die Untersuchung Hermites über die 
Transzendenz der Zahl e (der Basis der natürlichen 
Logarithmen); letztere hat Weierstraß in übersichtlicherer 
Weise dargestellt (Zu Lindemanns Abhandlung „Über 
die Ludolphsche Zahl", Sitzungsber. d. Berliner Akad. 
vom 22. Oktbr. 1885) ^^^ damit den Beweis für die 
Transzendenz von % vereinfacht; vgl. die Darstellung 
bei Bachmann, Vorlesungen über die Natur der Irra- 
tionalzahlen, Leipzig 1892. Hubert zeigte, daß man 
durch Betrachtung eines gewissen bestimmten Integrals 
die von Hermite und Weierstraß benutzten Systeme 
von Gleichungen durch eine einzige Gleichung ersetzen 
kann, wodurch eine wesentliche Abkürzung erreicht wird 
(Göttinger Nachrichten 1893). Weitere Vereinfachungen 
erreichten Hurwitz (ibid.) und Gordan (Math. Annalen, 
Bd. 43, 1893), indem sie zeigten, daß die bisher be- 
nutzten Integraleigenschaften der Exponentialfunktion 
dabei ganz vermieden werden können und man alles 
aus der Definition dieser Funktion durch eine Potenz- 
reihe ableiten kann (der Übergang von der Zahl e zur 
Zahl % geschieht indessen immer in wesentlich gleicher 
Weise); vgl. die Darstellung von F. Klein: Vorträge 
über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie, Leipzig 
1895, sowie H. Weber und J. Wellstein, Encyklopädie 
der Elementarmathematik, Bd. i, 1903, p. 423 ff. — In 
betreff der Geschichte des Problems sei auf obiges Werk 
von Montucla verwiesen, femer auf Cantors Geschichte 
der Mathematik; Schubert, Die Quadratur des Kreises, 
Sammlung gemeinverständlicher wissenschaftlicher Vor- 
träge, herausgeg. von Virchow und Holtzendorflf, Hamburg 
i889;Rudio, Archimedes, Huyghens, Lambert, Legendre, 
vier Abhandlungen über die Kreismessung, Leipzig 1892; 



^20 Anmerkungen 92 — 94. 

Pringsheim, Über die ersten Beweise der Irrationalität 
von e und jr, Sitzungsber. d. k. bajrr. Akad. d. Wissensch., 
Bd. 27, 1898; W. W. R. Ball, Mathematical recreations 
and Problems, 2**^ ed., London 1892, p. 162 ff. 

92) S. 205. Das hier erwähnte Beispiel des Ecart6- 
spiels ist von Poincar6 auf S. 134 des in Anmerkung 89) 
zitierten Werkes behandelt; auf S. I29flf. findet man da- 
selbst auch eine eingehendere Darstellung des oben auf 
S. I98flf. besprochenen Problems über die Verteilung 
der kleinen Planeten, ebenso auf S. 127 f. das Beispiel 
des Roulettespieles (vgl. S. 202 des obigen Textes). 

Wegen der sich bietenden begriflflichen Schwierig- 
keiten ist besonders das sogenannte „Problem von 
St. Petersburg" bekannt, das sich auf ein Glückspiel 
und auf die Theorie der mathematischen Hoffnung be- 
zieht; vgl. Poincar6, a.a.O., S. 41 f.; Bertrand a. a. O., 
S. 62 ff.; sowie Pringsheim in den Anmerkungen zu 
der von ihm übersetzten und neu herausgegebenen Ab- 
handlung von Daniel Bernoulli: Versuch einer neuen 
Theorie der Wertbestiromung von Glücksfallen (Sammlung 
älterer und neuerer staatswissenschaftlicher Schriften Nr. 9), 
Leipzig 1896. 

93) S. 208. Die Gleichung dieser Gaußschen Fehler- 
kurve ist in rechtwinkligen Koordinaten 

Sie ist so bestimmt, daß das Differential ^. dx die (un- 
endlich kleine) Wahrscheinlichkeit dafür angibt, daß ein 
gemachter Beobachtungsfehler zwischen den Werten jc 
und X -{- dx liegt (Gauß, Theoria combinationis obser- 
vationum erroribus minimis obnoxiae, 1821, und einige 
weitere Abhandlungen; vgl. die Gesammelten Werke, 
Bd. 4). Die Theorie der Fehler ist bei Bertrand und 
Poincar6 a. a. O. eingehend besprochen (von denen 
ersterer erhebliche Einwände erhebt, letzterer dieselben 
aber möglichst zu beseitigen sucht), ebenso in fast jedem 
Werke über Wahrscheinlichkeitsrechnung; vgl. auch 
Helmert, Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode 



Zum vierten Teil. 



327 



der kleinsten Quadrate, Leipzig 1872. — Die Fehler- 
kurve hat die Gestalt des Durchschnittes einer Glocke, 
daher auch der Name „Glockenkurve". 

Sieht man von der Forderung ab, daß positive und 
negative Fehler gleich leicht vorkommen, so wird auch 
eine andere Kurve zugrunde zu legen sein, um die 
betr. Wahrscheinlichkeit zu definieren; derartige allge- 
meinere Voraussetzungen hat besonders Pearson be- 
nutzt, um die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf gewisse 
Fragen der Biologie betr. die Beurteilung von Massen- 
erscheinungen und der Variation der Arten anzuwenden; 
vgl. dessen Abhandlungen in den Philosophical Trans- 
actions von 1894 ab, sowie für einen kurzen Überblick 
über diese Untersuchungen das in Anmerkung 48) zitierte 
Werk „Grammar of Science". Ähnliche Gedanken hatte 
auch Fe ebner entwickelt; vgl. das aus dessen Nach- 
lasse von G. F. Lipps herausgegebene Werk: Kollektiv- 
maßlehre, Leipzig 1897, sowie G. F. Lipps: Die Theorie 
der Kollektivgegenstände, Wundts Philosophische Studien, 
Bd. 17, 1902). Es handelt sich um die Frage, ob die 
beobachteten Abweichungen vom Durchschnitte in Massen- 
erscheinungen auf Zufall oder Gesetz beruhen, und um Auf- 
stellung von Zahlen, die den Grad der Abweichung 
messen, femer (bei Pearson) um die Untersuchung, ob 
das vorliegende Beobachtungsmaterial in sich homogen 
ist oder nicht. 

94) S. 210. Die Notwendigkeit von Festsetzungen, 
die auf Übereinkommen beruhen, wenn höhere Probleme 
der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt werden sollen, 
ist von Poincar6 prinzipiell betont und in dem er- 
wähnten Werke durchgeführt; nur die „Wahrscheinlich- 
keit der Ursachen" bleibt stets unvollkommen begründet; 
darauf bezieht sich der Schluß jenes Werkes: „Nur durch 
Hypothesen dieser Art wird man zu richtigen Frage- 
stellungen kommen; aber man muß nicht erwarten, ein 
vollkommen befriedigendes Resultat zu erreichen. Gerade 
in den Anfangsbetrachtungen der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung liegt ein innerer Widerspruch; und wenn ich 
nicht fürchtete, ein zu oft gebrauchtes Wort zu wieder- 



X2S AnmcrknDgcii 95 — 98. 

holen, wurde ich sagen, daß sie uns nur eines lehrt: zu 
erkennen, daß wir nichts wissen." 

95) S. 213. Der Grund, weshalb wir nicht imstande 
sind, zwischen den verschiedenen optischen Theorien 
(insbesondere von Fresnel und F. Neu mann) zu unter- 
scheiden, wird am Schlüsse des Werkes von Poincar6 
über Lichttheorie eingehender besprochen; vgl. auch 
oben Anmerkung 68). 

96) S. 213. Das 1873 veröflfentlichte fundamentale 
Werk Maxwells (Treatise on Electricity and Magnetism) 
ist unter dem Titel „Lehrbuch der Elektrizität und des 
Magnetismus" in deutscher Übersetzung (von Weinstein) 
erschienen, 2 Bände, Berlin 1883. Die zahlreichen Ab- 
handlungen Maxwells sind gesammelt in zwei Bänden 
(Scientific Papers) herausgegeben. Seine elektromagne- 
tische Theorie wird jetzt besonders in der mathematischen 
Form angewandt, die ihr durch Heaviside (Philoso- 
phical Magazine, Serie 5, vol. 19, 1888) und Hertz 
(Göttinger Nachrichten 1890) gegeben wurde. 

97) S. 215. Dieser umgekehrte Weg (Ableitung der 
elektrischen Erscheinungen aus den optischen) hat mich 
seit langem beschäftigt; und ich habe denselben im Sommer 
1902 in meinen Vorlesungen so weit durchgeführt, daß 
sich die wichtigsten Resultate der Elektrodynamik und 
des Magnetismus ergeben; ich hoflfe eine Darstellung 
dieser Untersuchungen bald veröffentlichen zu können. 

Erwähnt seien auch die Versuche, die anziehenden 
und abstoßenden Kräfte der elektrischen und magne- 
tischen Erscheinungen (auch der Gravitation) dadurch 
zu erklären , daß man die Atome als pulsierende Kugeln 
betrachtet, die in einer vollkpmmenen Flüssigkeit ruhen. 
Die Versuche gehen auf die Experimente von Bjerknes 
zurück. Zwei in einer Flüssigkeit ruhende pulsierende 
Kugeln wirken aufeinander anziehend (und zwar nach 
dem New ton sehen Gesetze), wenn die Pulsationen mit 
gleichen Phasen, abstoßend, wenn sie mit ungleichen 
Phasen erfolgen; es entsteht also ein Bild der elektrischen 
Erscheinungen mit Umkehrung des Sinnes der Kraft- 
wirkung; vgl. Bjerknes, Memoire sur le mouvement 



Zum vierten Teil. 



329 



simultan6 de corps sph6riques variables dans un fluide 
ind6fim et incompressible, Forh. Vidensk., Christiania 
1871 und 1875, Göttinger Nachrichten 1876, Comptes 
rendus 187g, 1880 und 1881. Anwendungen derartiger 
Vorstellungen auf andere physikalische und chemische 
Fragen gab Pearson, Cambridge Philo sophical Trans- 
actions, vol. 14,11, 1885, und Proceedings ofthe London 
Mathematical Society, vol. 20. Die „Umkehrung des 
Sinnes" beseitigte Korn durch weitere Hilfsannahmen 
und gab fernere Ausführungen und Anwendungen: Eine 
Theorie der Gravitation und der elektrischen Erscheinun- 
gen auf Grundlage der Hydrodynamik (Münchener Habili- 
tationsschrift), Berlin 1894 (2. veränderte Auflage 1896), 
femer: Ein Modell zur hydrodynamischen Theorie der 
Gravitation, Sitzungsberichte der math.-phys. Klasse der 
bayr. Akad. d. W., Bd. 27, 1897; und: Die mechanische 
Theorie der Reibung in kontinuierlichen Massensystemen, 
Berlin 1901. 

98) S. 219. In betreff der hier eingeführten Para- 
meter q sei auf obige Anmerkung 59) verwiesen. Es 
seien at/, >/,-, Zi die Koordinaten der n Moleküle (/= i, 
2, 3, ...«), und führt man die m Parameter qk durch 
die folgenden Gleichungen ein: 

so geben die Funktionen 9,-, i/;,-, y die „Verbindungen 
dieser Parameter mit den Koordinaten der wirklichen 
oder der hypothetischen Moleküle". Es wird dann 
(wenn — U die potentielle Energie bezeichnet) 

U ^ F{x^,y^,z^\ . . . .; Xn, yn, Zn) = <P(^i, ^2» • • • ^«)» 
und 

T = ^2m,{x\^ +y,« + /,-2) , wo x\' = ^, etc. , 

= ^Em,{<p\'^ + i/;V^ + Xi^ = ^(^1, . . . ^»,; /i, . . . q'm) , 
wo z. B. 



^^o Anmerkungen 98—102. 

9> t — -JT —- ^— -TT + öTi -j; + • • • + 



dt Cq^ dt ' dq* dt ' '" ' d q^ dt 

Die Behauptung des Textes geht dahin, daß man 
die Funktionen 9,-, t/;,-, y nicht weiter zu kennen braucht, 
sondern nur die Funktionen <Z> und ^, denn diese allein 
kommen in dem Prinzipe der kleinsten Wirkung, bezw. 
im Hamiltonschen Prinzipe vor, nach welchem (vgl. 
oben Anmerkung 58) 



d C{T ^ ü)dt = o 



sein muß, und aus dem sich dann nach den Regeln 
der Variationsrechnung die Differentialgleichungen der 
Dynamik in der sogenannten „zweiten Lagrangeschen 
Form" ergeben, nämlich 






dt Cqj^ 



M, 



Diese Gleichungen hat man zu integrieren und zu sehen, 
ob die Resultate mit den Beobachtungen übereinstimmen, 
denn die Parameter qk sollen ja so eingeführt sein, daß 
sie direkt der Beobachtung zugänglich sind. Nachträg- 
lich hat man die Funktionen g?,-, i/;,-, y und die Kon- 
stanten Mi so einzuführen, daß 



n 



wird, was immer möglich ist, da die Zahl n beliebig 
groß gewählt werden darf. Die Zurückfuhrung der 
potentiellen auf kinetische Energie „ignorierter" Massen 
ist besonders von J. J. Thomson in dem mehrfach er- 
wähnten Werke weiter verfolgt. 

99) S. 224. Maxwell, lUustrations of the dynamical 
theory of gases, Philosophical Magazine 1860 (Scient. 
Papers, vol. i, p. 377); vgl. dazu: On the dynamical 
theory of gases; Philosophical Transactions, vol. 157, 
1866 (Papers, vol. 2, p. 26). 



Zum vierten Teil. 



33^ 



100) S. 227. Das Werk von Ampere: Th6orie 
math6matique des ph6nom^ne8 61ectrodynamiques uni- 
quement d^duite de rexp6rience, erschien 1823; eine 
eingehendere mathematische Erörterung findet man bei 
Poincar6, Electricit6 et Optique, p. 231 ff. An Ampere 
knüpften W. Webers Arbeiten an (Elektrodynamische 
Maßbestimmungen, erste Abhandig., Königl. sächsische 
Akademie d. W. 1852); vgl. oben Anmerkung 60). 

10 1) S. 235. Die betr. Arbeit von Helmhol tz 
wurde schon in Anmerkung 60) erwähnt. Für seine 
Diskussion mit Bertrand vgl. die dazu gehörige zweite 
Abhandlung in Grelles Journal, Bd. 75, 1873 (Wissensch. 
Abhandlgn., Bd. i, p. 646) und: Vergleich des Amp Pre- 
schen und Neu mann sehen Gesetzes für die elektro- 
dynamischen Kräfte, Monatsbericht der Berliner Akademie, 
1873 (Wissensch. Abhandlgn., Bd. i, p. 688). — Das 
hier erwähnte Neumann sehe Gesetz bezieht sich nicht 
auf Stromelemente, sondern auf die gegenseitige Wirkung 
geschlossener Ströme: Die mathematischen Gesetze der 
induzierten elektrischen Ströme, und: Über ein allge- 
meines Prinzip der mathematischen Theorie induzierter 
elektrischer Ströme, Abhandlungen der Berliner Akademie 
1845 ^^^ 1^47 (vgl« auch F. Neumanns Vorlesungen 
über elektrische Ströme, herausgegeben von Von derMühl, 
Leipzig 1884). — Die divergierenden Auffassungen von 
Helmholtz und Bertrand bespricht Poincar^ a. a. O. 
p. 274ff. 

102) S. 240. Hertz zeigte experimentell, daß elek- 
trische Störungen sich im Räume fortpflanzen wie das 
Licht, indem sie auch den Brechungsgesetzen unter- 
worfen und folglich als Wellenbewegungen aufzufassen 
sind, Wiedemanns Annalen Serie 2, Bd. 34, 1888, und: 
Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen 
Kraft, Leipzig 1892. — Die Theorie dieser seitdem 
vielfach studierten elektrischen Schwingungen behandelt 
Poincar6 zusammenfassend in dem Werke: Les oscilla- 
tions 61ectriques, Paris 1894; vgl. auch die Darstellung 
dieser und anderer elektrischer Erscheinungen bei E. C o h n : 
Das elektromagnetische Feld, Leipzig 1900. 



7ß2 Anmerkungen 103 — 105. 

103) S. 242. Die betr. Versuche (mit einer ver- 
goldeten, elektrisch geladenen, schnell rotierenden Ebonit- 
scheibe) wurden 1875 von Rowland in Berlin ausge- 
führt und von Helmholtz der Berliner Akademie mit- 
geteilt, vgl. des letzteren Wissenschaftliche Abhandlungen, 
Bd. I, p. 791, und Poggendorflfs Annalen, Bd. 158. 
Rowland wiederholte seine Versuche später in Balti- 
more, vgl. Philosophical Magazine, Serie 5, vol. 27, 
p. 445, 1889. Hirns te dt kam bei Wiederholung der 
Versuche zu gleichem Resultate: Über die elektromagne- 
tische Wirkung der elektrischen Konvektion, 27. Bericht 
der Oberhessischen Ges. für Natur- und Heilk., 1889, 
und Wiedemanns Annalen, Bd. 38. — Die Ablenkung 
der Kathodenstrahlen (d. i. des negativen Glimmlichts) 
durch den Magneten beobachtete Hittorf, Poggendorflfs 
Annalen, Bd. 136, 1869; Perrin stellte Versuche an, 
um die negativ elektrische Natur der Kathodenstrahlen 
direkt nachzuweisen, Comptes rendus, t. 1 2 1 , p. 11 30, 1 895. 

104) S. 243. Die betr. Arbeiten von Loren tz und 
Wiechert wurden in Anmerkung 74) erwähnt. In be- 
treff der Aberration des Lichtes und die damit zusammen- 
hängenden Fragen sei auf obige Anmerkungen 79) und 
80) verwiesen, und für das Zeemannsche Phänomen 
auf Anmerkung 81). 

105) S. 243. Cr6mieu wiederholte die Rowland- 
schen Experimente in etwas anderer Anordnung mit 
negativem Resultate: Comptes rendus, t. 131, 1900, 
p. 578 u. 797. Spätere Wiederholung gab aber ein 
positives Resultat (Comptes rendus, t. 132, 1901, p. 327). 



Nachtrag. 



Seite 270. Das hier erwähnte Werk Huberts „Grund- 
lagen der Geometrie" ist inzwischen in zweiter, erweiterter 
Auflage erschienen, Leipzig 1904. 

S. 285. Die hier und im folgenden behandelte Trans- 
formation ist von Darboux angegeben, Annales de r6cole 
normale 1864; vergl. femer dessen Werk: Sur une classe 
remarquable de courbes et de surfaces alg6briques, Paris 
1^73» P' 123 und seine Le^ons sur la th6orie g6n6rale 
des surfaces, t. 3, Paris 1894, p. 493. 

S. 296. Eine Ableitung des d'Alemb er t sehen Prin- 
zips und somit auch des Prinzips der virtuellen Geschwindig- 
keiten aus den Newtonschen Grundgesetzen gab ich in 
den Sitzungsberichten der k. bayr. Akademie d. Wiss. 
vom Februar 1904. 

Für die Darstellung der sogenannten Prinzipe der 
Mechanik in ihrer klassischen Form sei noch verwiesen 
auf Boltzmanns Vorlesungen über die Prinzipe der 
Mechanik, i. Teil, Leipzig 1897. 

S. 315. Lord Kelvins Baltimore Lectures on mole- 
cular dynamics and the wave theory of light sind in- 
zwischen in neuer erweiterter Auflage erschienen, London 
1904. 

S. 32^. Die hier erwähnten Arbeiten von Andrews 
sind in Ostwalds Klassikerbibliothek in deutscher Über- 
setzung erschienen. 

S. 328 f. Die Untersuchungen von Bjerknes sind 
durch seinen Sohn zusammenhängend dargestellt: Vor- 
lesungen über hydrodynamische Femkräfte nach C. A. 
Bjerknes' Theorie von V. Bjerknes, Bd. i u. 2, Leipzig 
1900 u. 1902. 



-»♦♦■ 



Register. 



Aberration des Lichtes 171, 243, 

319. 
Absoluter Ort 77, Raum 81, 90 f., 

118, 243, a. Zeit 93, 286 ff., 

a. Bewegung 113. 

Addition, Definition 6 ff. 

Ähnliclikeits-Transformation274. 

Äther 169 ff., 243, 319. 

Akkomodation der Augen 55 f. 

Allgemeinheit in d. Wahrschein- 
lichkeitsrechnung 189. 

Ampere, Elektrodynamik 224, 

331. 
Analysis u. Anschauung 31. 

Analysis situs 34, 253. 

Andrade, Mechanik 92, 109. 

Andrews, Aggregatzustände 182, 

323, 333- 
Anordnung, Gesetze 269. 

Anthropomorphismus 109. 

Archimedisches Axiom 269 f. 

Arithmetik 6, 245. 

Arithmetisierung d. Mathematik 
247, 251. 

Assoziatives Gesetz 7. 

Astronomie u. Geometrie 74 ff., 
fingierte nicht -galileische A. 
95, 292, A. u. Physik 98, fin- 
gierte Theorien 116 ff. 

Axiome, der Geometrie 36, im- 
plizite 44 ff., 269, Natur der A. 
49 ff., als Übereinkommen u. 
Definitionen 51, A. der Mo- 
nodromie 274. 

Ball, W. R., Mathematical re- 
creations 326. 



Baumann, Raum u. Zeit 279. 

Beltrami , Flächen konstanter 
Krümmung 41, 255, Bild d. 
Lobatschewskyschen G^ometr. 
266, 282. 

Beobachtungsfehler 1 87, 209,3 2^* 

Bemoulli, D., Theorie d. Glücks- 
falle 326. 

Bertrand , Wahrscheinlichkeits- 
rechnung 186, 324, mathem. 
Hofinung 326, Fehlertheorie 
326,Elektrodynamik234f.,33 1. 

Beschleunigung 94, 99 ff., relative 

114. 

Bewegungen 46, 254, 271, 272, 
bei mehr Dimensionen 48, als 
Gruppen 272, 285, dargestellt 
durch Transformationen 284, 
relative u. absolute 113 ff. 

Bewegungsraum 57. 

Beweis und Verifikation 4, re- 
kurrierender 9. 

Bianchi, Flächentheorie 268. 

Bilder physikalisch. Beziehungen 
162. 

Bjerknes, Kugeln in einer Flüssig- 
keit 328 f., 333. 

Bogenelement einerKurve 49,276. 

du Bois Reymond, kontinuier- 
liche Größen 29, Femkraft 311. 

Boltzmann, Energie 302, dyna- 
mische Modelle 317, mono- 
zyklische Systeme 318, elasti- 
sche Nachwirkung 321. 

Bolyai, nichteuklidisch.Geometrie 
254. 

Brechungsindex f. Lichtbewegung 



Register. 



335 



in der nichteuklidischen Welt 

68f., 281. 
Brownsche Bewegungen 180. 
Brunn, Bertrands Paradoxon in 

der Wahrscheinlichkeitsrechn. 

324. 

Cantor,G., Zahlbegriff 248, Punkt- 
mengen 251. 

Camotsches Prinzip 166, 178,316. 

Cayley, A., allgemeine Maß- 
bestimmung 255, Entwicklung 
d. neueren Math. 278. 

Chasles, Definition des Winkels 
256. 

Chemie 180. 

Clausius, Thermodynamik 131, 
308, Camotsches Prinzip 166, 
317, Gastheorie 310. 

Clebsch, über Plücker 278, Dar- 
legung seiner Leistungen 278, 
Elastizität 314. 

Clifford, Raumformen 276, Geis- 
tesstoff 296, Atome 319. 

Cohn, E., Elektromagnetisches 
Feld 331. 

Coppemicus 118, 296 f. 

Coulomb, elektrische Fluida 165. 

Cr^mieu, elektrische Konvektion 

243» 332. 
Crookes, Kathodenstrahlen 241. 

Darboux , unstetige Funktionen 
252, Transformation 333. 

Dedekind , irrationale Zahlen 
245 ff., in der Geometrie 250, 
Erläuterungen zu Riemann 25 5 . 

Definitionen 45, 140. 

Deformationen 68. 

Determinismus 134. 

Differentialgleichungen, der Be- 
wegungen 94, 290 ff., 99, 119, 
297, für den Zustand des Uni- 
versums 134, 170, hjrpothe- 
tischer Fluida 2 17 ff. 

Dilatation 85. 

Dimensionen der Kontinua 33 ff., 
des Raumes 55, 86 ff., be- 



« stimmt durch Muskelempfin- 
dungen 57. 

Dirichlet, Arithmetisierung der 
Math. 247. 

Dispersion des Lichtes 163. 

Distributives Gesetz 8. 

Dreieck, Summe der Winkel 40. 

Drude, Theorie d. Dispersion 315. 

Ebene, Definition 44. 

Ecartdspiel 205. 

Einfachheit d. Natur 132, 147 ff., 
158, 182, 207, 309. 

Einheit der Natur 147, 174, 180, 
182. 

Elektrische Ströme, offene und 
geschlossene 225 ff. 

Elektrod3aiamik 305, 328 ff. 

Elektromagnetische Lichttheorie 
2i3ff. 

Elektronen 165, 316, 242 ff. 

Element eines Kontinuum 32. 

Elementarerscheinung 1 5 6 f. 

Empirismus s. Erfahrung. 

Energetisches System 124 ff. 

Energie 124 ff., 133, 167, 178, 
213, 2i7f., 301 f. 

Entfernung, Definition 272, Ab- 
schätzung 56, u. gerade Linie 
76, gegenseitige 78. 

Entropie 308. 

Erdmann, B., Axiome der Geo- 
metrie 257, 279. 

Erfahrung in d. Geometrie 72 ff., 
81, 88. 

Euklid, Axiome u. Postulate d. 
Geometrie 254, Definition d. 
Gleichheit 270 f., Definition der 
Geraden 272, Postulat d. recht. 
Winkel 279, 

Eulerscher Satz über Polyeder 

253. 
Experiment 142 ff., 153. 

Faden zur Darstellung v. Kräften 

109 ff. 
Faradays Experiment 230, 237. 
Fechner, Psychophysik 248, 



33^ 



Register. 



Zend-Avesta 296, Kollektiv- 
maßlehre 327. 

Fechnersches Gesetz 22, 249. 

Fehlertheorie 207 fF., 326. 

Feld, magnetisches 238. 

Feste Körper 52, u. Geometrie 
62ff., 68, 85. 

Festigkeit d. Flüssigkeiten 182. 

Fick, Hydrodiffusion 314. 

Fiedler, W., projektive Koor- 
dinaten 266. 

Fizeau, Aberration d. Lichtes 

171, 319. 
Fläche konstanter Krümmung 

41, 255f. 
Flächengleichheit 270. 
Flächensatz der Mechanik 120, 

297. 
Fluida, hypothetische 165, 169, 

217. 
Fortpflanzung d. Lichtes in d. 

nichteuklid. Welt 68, 281, 
Foucault, Pendelversuch 116. 
Foucault, Psychophysik 249. 
Fourier, Wärmeleitung 313. 
de Francesco , nichteuklidische 

Mechanik 289. 
Franz, Erdtemperatur 313. 
Fresnel, Lichttheorie 161, 181, 

211 ff., 312, 322. 
Fricke, automorphe Funktionen 

269. 
Fundamentalfläche des Raumes 

273. 

Galilei, Trägheitsprinzip 96,293. 
Gastheorie 149, 163, 179, 187, 

310. 
Gauß, nichteukl. Geometrie 254, 

Krümmungsmaß 268, Theorie 

d. Beobachtungsfehler 326. 
Gelenksystem 168, 318. 
Genocchi , Diflferentialrechnung 

245. 

Geometrie, nichteuklidische 3 6 ff., 
254 ff., Riemannsche 38, sphä- 
rische 39, elliptische, hyper- 
bolische,parabolische256, 273, 



„vierte" 47, von Riemann 48, 
von Clifford 276, von Hubert 
277, von Minkowski 277, pro- 
jektivische 277, Gegenstand 
d. G. 65 , u. Astronomie 74. 

Geometrische Eigenschaften d, 
Körper 82. 

Gerade Linie, Definition 47, 76, 
270, erzeugendes Element 278, 
Bahn d. Lichtstrahls 74. 

Geschwindigkeit 94 ff. G. der 
Entfemungsändening 80. 

Gesichtsraum 54. 

Gibbs , Vektor - Analy sis 315, 
Phasen 324. 

Gleichheit in d. Geometrie 28, 
46, 254, 270 f., bei rechten 
Winkeln 279, bei Kräften i ooff. 

Glockenkurve 208, 327. 

Gmeiner, Arithmetik 245. 

Gordan, Zahlen e und n 325. 

Gouy, Brownsche Bewegungen 
179. 

Graßmann, H., Arithmetik 245, 
Kongruenz d. Raumes in sich 
279, Zahlensysteme 315. 

Gravitationsgesetz 150, 299, 306, 
311, aus der Hydrod3mamik 
abgeleitet 328. 

Größe, mathematisch^ 17 ff., meß- 
bare 28, unendlich kleine 2 9 f. 

Größensätze, allgemeine in der 
Geometrie 270. 

Größer u. kleiner, Definition 270 f. 

Gruppen v. Bewegungen 66, 272, 
von linearen Transformationen 
268, 276. 

Gruppenbegriff als allgemeine Er- 
kenntnisform 73. 

Hamilton, H'sches Prinzip 125, 

305, 307. 330. 
Hamilton, W. R., Quatemionen 

315- 
Hankel, H., Zahlensysteme 245, 

Quatemionen 245. 

Heath, nichteuklidische Mechanik 

289. 



Register. 



337 



Heaviside, elektromagnetische 
Grundformeln 328. 

Heine, Zahlbegriff 251. 

Helmert, Ausgleichungsrechnung 
326. 

V. Helmholtz, Zählen u. Messen 
245, Grundlagen der Geo- 
metrie 255, 257, Bild d.nicht- 
euklid. Geometrie 266, 281, 
Axiom d. Monodromie 274, 
Erhaltung d. Energie 125, 301, 
kleinste Wirkung 130, 304, 
307, elektrod3aiamisches Gesetz 
231, 2341:, 306, 307, 331, 
Theor. d. Dispersion 163, 315, 
Monocyklen 318, Wirbel 318, 
elektrische Polarisationen 322. 

Hermite, Zahl e 325. 

Hertz,Mechanik 1 06, 295, Energie 
302, Koppelungen u. Modelle 
168, 317, Licht u. Elektrizität 
322, Elektromagnetismus 328, 
elektrische Wellen 239, 331, 
Kathodenstrahlen 242. 

Hubert, D., nicht-archimedische 
Geom. 270, 275, System von 
geometrischen Axiomen 275, 
Grundlagen d. Geometrie 277, 
333, Zahlen e und n 325. 

Himstedt, elektrische Konvektion 

241, 332. 
Hirth, G., Plastisches Sehen 280, 
Hittorf, Kathodenstrahlen 316, 

332. 
Holder, Anschauen U.Denken 277, 

mech. Prinzipien 295, 304. 
van't Hoff, Osmotischer Druck 

316. 
Homogenität des Raumes 53, 

65, 279, der Materie 160. 
Hurwitz, Zahlen e und «325. 
Hypothesen d. Physik 142 ff., 152. 
Hysteresis 178, 321. 



Implizite Voraussetzungen 44, 

269. 
Indifferente Hypothesen 1 54, 164. 



Induktion, unipolare 230, elektro- 
dynamische 234. 

Induktion und Verifikation 13 f., 
math. und physik. 17, 160. 

Inkommensurable Zahlen 20 ff., 
in der Geometrie 26, 250. 

Integration in d. math. Physik 
160. 

Interpolation 148, 187. 

Ionen 180, 316. 

Isenkrahe, Schwerkraft 311. 

Isotropie des Raumes 65, 279. 

Jacobi, Dynamik 303. 

Joule, Mechanik d. Wärme 308. 

Kant, Axiome als S3mthetische 
Urteile 50. 

Kathodenstrahlen 24 1 £, 3 1 6, 33 2. 

Kayser, Elektronen 317. 

Kelvin s. W. Thomson. 

Kepler 296, 310. 

KlÜing, nichteuklid. Geometrie 
256 f., Cliffordsche Raum- 
formen 277 , nichteuklidische 
Mechanik 289. 

Kinetische Energie 125, 301. 

Kinetische Gastheorie 163, 179, 
187, 191, 219, 330. 

Kirchhoff, Mechanik 108, 294. 

Klein, F., Funktionsstreifen 249, 
Arithmetisierung 252, Ana- 
lysis Situs 253, nichteuklid. 
Geometrie 255 f., automorphe 
Funktion 269, projektive Geo- 
metrie 266, Helmholtz' Grund- 
lagen d. Geometrie 274,Clifford- 
sche Raumformen 277, Ver- 
gleichende Betrachtungen 277, 
Vierdimension. Geometrie 278, 
Fragen d. Elementargeometrie 

325. 
Koch, elektr, Polarisation 322. 

Königs, Kinematik 318. 

Kollektiverscheinungen 3 27 . 

Kommutatives Gesetz 8 f. 

Kompensation v. Bewegungen 6 1 . 



P o i n c a r 6 , Wissenschaft und Hypothese. 



22 



i 



338 



Register. 



Kongruenz des Raumes in sich 
53» 279. 

Konstante 121, 134, 300. 

Konstruktion, verallgemeinerter 
Begriffe 15 ff., elementare geo- 
metrische 271. 

Kontinuum, mathematisches 18, 
23.ff., physikalisches 22, 87, 
Kontinua verschiedener Ord- 
nung 25, von mehreren Di- 
mensionen 31 f., u. Raum 35. 

Konvektion, elektrische 226, 

240 ff., 332. 

Korn, Gravitation 311, 329. 

Korrigieren ein. Ortsveränderung 
60 f., 64, 68. 

Kraft 100, dargestellt durch Me- 
chanismen 168. 

Kronecker, Zahlbegriff 246. 

Krümmung, konstante ein. Fläche 

41 f. 

Krümmungsmaß 268, konstantes 
279, Bestimmung durch Stem- 
parallaxen 283. 

Kurve s. Linie. 

Lagrange, virtuelle Geschwindig- 
keiten 296, Form der d5ma- 
mischen Differentialgleichun- 
gen 219, 329. 

Laguerre, Definition des Winkels 
256. 

Larmor, Äther u. Materie 169, 
176 ff., 319, 320. 

Lebendige Kraft 30 1. 

Leibniz, Addition 3, unendlich 
kleine Größen 252, Analysis 
Situs 253, Quadratur d. Kreises 

325. 
Leitung d. Elektrizität 226. 

Leyst, Bodentemperatur 313. 

Licht, Fortpflanzung im nicht- 
euklidischen Raum 68, L. u. 
Elektrizität 175, 2llff. 

Lie, Bewegungen bei n Dimen- 
sionen 48, Grundlagen d. Geo- 
metrie u. Gruppentheorie 272 ff. 

Lindemann, F., nicht-euklidische 



Geometrie 254, 257, 269 f., Dar- 
stellung von X -^ iy in der 
nichteuklid. Grenzfläche 265, 
Euklids Größensätze 270 f., 
Übergang v. d. projektivischen 
zur metrischen Geometrie 272, 
Liniengeometrie 277, Gleich- 
heit rechter Winkel 279, Be- 
wegungen 285 , nichteuklidische 
Mechanik 289, Spektrallinien 
316, Zahl «325, Ableitung d. 
elektromagnetisch. Gesetze aus 
d. elastischen Lichttheorie 328. 

Linie als Grenze eines Streifens 
26, 249. 

Liniengeometrie 278. 

Lippmann, absolute und relative 
Geschwindigkeit 243. 

Lipps, G. F., Kollektivgegen- 
stände 327. 

Lipps, Th., Psychologische Stu- 
dien 279. 

Listing, Ajialysis situs 253. 

Lobatschewsky, nicht-euklidische 
Geometrie 37 f., 254, Zeit 286. 

Lokalisieren eines Objektes 59. 

Lorentz, Optik u.Elektrod3mamik 
172, 175» 316, Lichtäther 319, 
Zeemann-Effekt243, 320, Elek- 
tronen 242 ff. 



Mac-Cullagh, Lichttheörie 177, 
320. 

Magnetische Kraft 228 ff. 

Magnetischer Pol 237. 

Magnetische Rotation 230, 237. 

Magnetismus 175. 

Mach, Mechanik 284, 286, 291, 
294, 295, Ökonomie der For- 
schung 308, Wärmelehre 308. 

Mariottesches Gesetz 149, 187, 
207, 310. 

Masse 100, 106. 

Massenmittelpunkt, Bewegung 
105. 

Materie 169. 

Mathematische Physik 155 ff. 



Register. 



339 



Mayer, A., Prinzip d. kl. Wirkung 

303- 
Mayer, R., Mechanik der Wärme 

131» 307. 
Maxwell, Gastheorie 224, 310, 

330, Atome 311, 319, Dis- 
persionstheorie 163, Dämonen 
179, 322, elastische Nach- 
wirkung 321, elektromagne- 
tische Lichttheorie 213, Elek- 
trizität u. Magnetismus 328 ff., 
239 ff. 

Mechanik, klassische 90 ff., nicht- 
euklidische 92, 289, anthropo- 
morphe 108. 

Mechanische Erklärung 177, 217. 

Mechanismen 168. 

Meyer, O. E., Gastheorie 310. 

Michelson, Bewegung des Äthers 

319. 
MiU, Stuart-, Definition u. Axiom 

45. 
Minkowski, Geometrie der Zahlen 

277. 
Molekulare Hypothesen 212. 
de Montessus, Bertrands Wahr- 

scheinlichkeitsau%abe 324. 
Montucla, Quadratur des Kreises 

324. 
Morley, Bewegung d. Äthers 319. 

Multiplikation, Definition 8. 

Muskelempfindungen 57 ff., 71. 



N ernst, theoretische Chemie 320, 

323. 
Neumann , C. , Riemannsche 

Flächen 252, Gravitations- 
gesetz 300, absolute Bewe- 
gungen 300, Webersches Ge- 
setz 305. 

Neumann, F., Elastizität 312, 
Bodentemperatur 313, Wärme- 
theorie 317, Lichttheorie 320, 
elektrodynamischesGesetz 331. 

Newton, Mechanik 90, Zeitbegriff 
286, Prinzipia 96, 294, abso- 
luter Raum 115 ff., Gravita- 



tionsgesetz 299, Newtonsches 

Gesetz 150, 294, 311. 
Nichtarchimedische Geometrie 

270, 275. 
Nichteuklidische Geometrie 3 6 ff., 

67 ff., 2 54 ff. 
Nichteuklidische Welt 66 ff,, 85. 
Nichtumkehrbare Prozesse I78ff., 

321. 
Nutzeffekt der wissenschaftlichen 
Maschine 146. 

Orientierung, absolute, im Räume 

11- 
Ort, absoluter, im Räume 77. 

Ortsveränderungen 59, 64, 65, 
nichteuklidische 69, 87. 

Osmotischer Druck 163 f. 

Ostwald, Energie 302, 316. 

Oszillationen, elektr. 239, 331. 

d'Ovidio, Entwicklung d. neueren 
Geometrie 278. 

Parallaxe der Sterne 282. 

Parallelentheorie 3 8 ff. 

de Paolis, projektive Geometrie 
266. 

Pasch, Funktionsbegriff 249, 
neuere Geometrie 269. 

Paschen, Zeemann-Effekt 320. 

Peano, Arithmetik 245 f. 

Pearson, Grammar of science 
284, 294, 319, Massenerschei- 
nungen 327, pulsierende Atome 

329. 
Perpetuum mobile 133. 

Perrin , Kathodenstrahlen 242, 

332. 
Perspektiven von vierdimensio- 

nalen Körpern 71, 281. 
Phosphoreszenz 180. 
Physikalische Chemie 182. 
Physikalische Theorien 161 ff. 
Picard, Telegraphenleitung 314. 
Planck, Energie 302. 
Planeten, Bewegung 97, 294, der 

fingierten Astronomie 95 f.. 



22 



340 



Register. 



297 f., wahrscheinliche Ver- 
teilung d. kl. PI. 196, 326 ff. 

Plücker, Liniengeometrie 278. 

Poincar6, Anwendung d. nicht- 
euklid. Greom. in d.Fonktionen- 
theorie 44, 268 f., 276 f., Grund- 
lagen d. Geometrie 86, Zeit- 
begriff 91, 286, Webersches 
Gesetz 305, Gastheorie 310, 
math. Physik 310, Lichttheorie 
312, 328, Telegraphenleitung 
314, Elastizität 314, Dispersion 
d. Lichtes 315, Wirbel 318, 
Bewegung des Lichtäthers 319, 
Zeemann-Effekt 320, Larmors 
Theorie 320, Übergangsschicht 
323, Wahrscheinlichkeitsrech- 
nung 324, 326, wahrschein- 
liche Verteilung der Ziffern 
bei Logarithmen 194, Mathem. 
Hoffnung 326, Mechanische 
Erklärungen 221, Theorien 
von Ampere u. W. Weber 33 1, 
Kontroverse zwischen Bertrand 
u. Helmholtz 331, elektrische 
Oszillationen 331. 

Poisson, Erdtemperatur 317. 

Poncelet, unendlich ferne Ebene 
256. 

Postulate, Euklids 37, 271, in 
d. Physik 138. 

Potential 30 1 , elektrodynamisches 
227. 

Potentielle Energie 1 25, 2 1 9, 30 1 . 

Pringsheim, A., Zahlbegriff 248, 
252, Zahlen e und ic 326, 
Problem von S. Petersburg 
326. 

Prinzip, d. Trägheit 93 ff., 119, 
d. actio et reactio 102, 114, 
171, 294, d. relativen Bewegung 
113, 1 19, d. kleinsten Wirkung 
I25ff., 178, 303, d. Thermo- 
dynamik 131, 166, 178, von 
Hamüton 125, 305 ff., 330, der 
Energie 167, 178, 213, 2i7f. 

Projektivische Koordinaten 266. 

Prowe, Coppemicus 297. 



Punkt 32, 87. 
Punktmengen 251. 

Quadrate, Methode d. kleinst. Q. 

209. 
Quadratur des Kreises 192, 324 f. 
Querschnitt 32, 252. 

Rationale Brüche 22, 248. 

Raum 36 ff., von 2 Dimensionen 
39, 256, geometrischer 53, von 
vier Dimensionen 278, in sich 
kongruent 53, 279, Zahl der 
Dimensionen 55 ff.» 71, abso- 
luter 81, 90, drei Dimensionen 
86, Relativität 77, 243. 

Reflexion des Lichtes 181. 

Reguläre Körper v. vier Dimen- 
sionen 281. 

RekurrierendesVerfahren9ff,, 50. 

Relativität des Raumes 77 f., 
243, der Bewegung 113. 

Richtungsgefuhl 57. 

Riemann, unstetige Funktionen 
252, Querschnitt 252, mehr- 
fach ausgedehnte Mannigßdtig- 
keit 253, Hypothesen der Geo- 
metrie 37, 255, 279, Bogen- 
element als quadratische Form 
der Differentiale 276, G«istes- 
masse296,Elektrodynamik3o6, 
Wärmeleitung 313, Atome 319. 

Riemannsche Flächen 252. 

Riemannsche Geometrie 37, 48 ff., 
254ff. 

Rotation, absolute eines Planeten 
80. 

Roulettespiel 202. 

Routh, Dynamik 295, 318. 

Rowland, elektrische Konvektion 
240, 332. 

Rudio, Quadratur d. Kreises 325. 

Runge, Zeemann-Effekt 320. 

Saalschütz, belasteter Stab 314. 
de Saint- Venant, gebogener Stab 

314. 
Scheffers, Flächentheorie 268. 



Register. 



341 



Schering, nichteukl. Mechan. 289. 
Schläfli, Analysis situs 253. 
Schlegel, reguläre Körper v. vier 

Dimensionen 281. 
Schlußweisen, mathematische i ff., 

rekurrierende 9flf. 
Schmidt, Ad., Bodentemperatur 

313. 

Schmitz - Dumont , Erkenntnis- 
theorie 283. 

Schröder, E., Arithmetik u. Al- 
gebra 245. 

Schubert, Quadratur des Kreises 

325. 
Schur, Archimed. Axiom 270, 

Gleichheit von Figuren 270. 

Schwarz, H. A., Kurven ohne 
Tangente 252. 

Schwarzschild, Krümmungsmaß 
des Raumes 283. 

Schwedoflf, Festigkeit d. Flüssig- 
keiten 323. 

Schwerpunkt s. Massenmittel- 
punkt. 

Seeliger, Gravitationsgesetz 300. 

Senkrechte 48, 272. 

Skalar 157, 314. 

Sommerfeld, elektromagnetische 
Erscheinungen 318. 

Spiegelungen 285. 

Spring, Diffusion d. festen Körper 

323. 
Stark, Emulsionen 321. 

V. Staudt, proj. Geometrie 266. 

Stetige Funktionen in der Wahr- 
scheinlichkeitsrechnung 194 ff. 

Stolz, Arithmetik 245 f., Archi- 
medisches Axiom 269. 

Strahlungserscheinung. 180, 242. 

Stumpf, Raumvorstellung 279. 

Superposition kleiner Bewegun- 
gen 150, 310. 

Systematische Fehler 208. 

Tait, theoret. Phys. 294, Quater- 

nionen 315. 
Tangente 31. 
Tannery, Introduction ä la th^orie 



des fonctions 18, 248, Arith- 
metik 245. 

Tastraum 57, 280. 

Tastsinn 61, 69. 

Temperaturveränderungen, be- 
nutzt bei Vorstellung der nicht- 
euklidischen Welt 67. 

Temperaturverteilung 156. 

Thermod3aiamik 124 ff., 131,166, 
178, 316. 

Thomae, J., Zahlbegriff 248. 

Thomson, J. J., Elektronen 316, 
Wirbelringe 318, Physik und 
Chemie 321, Ignorierte Massen 

330. 

Thomson, W. (Lord Kelvin), 
theoret. Physik 294, poten- 
tielleEnergie 302, nichtumkehr- 
bare Prozesse 307, Erdtempe- 
ratur 3 1 3, Dispersion des Lichts 
3 1 5» 3 33»Modell desÄthers3 1 8, 
Atommodell 315,318, Wirbel- 
atome 169, 318. 

de TiUy, philosophie des sciences 
286, nichteuklidische Mechanik 
289, Prinzipien der Mechanik 
294. 

Trägheit, Prinzip d. T. 93 ff., 1 17. 

Übergangsschicht in der Licht- 
theorie 181, 323. 

Übereinkommen , zur Messung 
von Strecken 28, in Geometrie 
u. Mechanik 51, 92, 112, in 
d. Physik 138, in d. Wahr- 
scheinlichkeitsrechnung 185 ff., 
205, 211, 327. 

Übersetzung s. Wörterbuch. 

Ultraparallel 257. 

Umkehrbare Erscheinungen 130, 
179. 

Unbegrenzt u. unendlich 40, 257. 

Unendlich ferne Punkte 256,273, 
285. 

Unendl. kleine Größen 29ff., 252. 

Unipolare Induktion 230. 

Unsichtbare Moleküle 98 f. 

Untergruppe einer Gruppe 89,285, 



342 



Register. 



Variation der Arten 327. 

Vektor 154, 311. 

Verallgemeinerung 14 fF., 142 fif. 

Veranschanlichnng d. nichteuklid. 
Geometrie 42 f., öyflf., 258 ff. 

Verifikation u. Beweis 4, wieder- 
holte 12, u. Induktion 13. 

Veronese, Grundzüge d,Geometrie 
269. 

Verschiebungsströme 239. 

Vierdimension.Geometrie 7 1 ,278. 

Vierdimensionale Welt 73. 

Voigt, W., Lichttheorie 320, 
323,Zeemann-£ffekt 320, theor. 
Physik 324. 

Volkmann, theor. Physik 294, 
Grundbegriffe der Mech. 294, 
295 , Erkenntnistheorie 311, 
Erdthermometer 313, F. Neu- 
mann 317, Lichttheor. 320, 323. 

Voraussage v.Erscheinungen 145. 

Vorstellungsraum 53 ff., 58. 

Voß, A., mechanische Prinzipien 
286, 294, 295, 296, 302. 

Wärmeleitung 156, 3 12. 

Wahrscheinlichkeit, Definition 
184, Notwendigkeit einer Ver- 
einbarung 185, 324, subjektive 
und objektive 188, Grade der 
Allgemeinheit 189 f., W. d. 
Ursachen u. d. Wirkungen 191, 
204, 207, W. in d. Mathema- 
tik 192 ff., in d. Physik 196 ff'., 
beim Spiele 202 ff. , W. a 
posteriori und a priori 204. 

Wahrscheinlichkeitsrechn. 1 83 ff., 
angewandt in der Biologie 327. 

van der Wals, Zustandsgieichung 

Warburg, Hysteresis 321, Strah- 
lungserscheinungen 322. 
Weber, H., Elementarmathematik 

325. 
Weber, H.,E., psychophys. Gesetz 

249. 



Weber, H.F., Hydrodiffasion 314. 

Weber, W., Parallelogramm d. 
Kräfte 296, elektrodyn. Grund- 
gesetz 127, 305, 307, 331. 

Weierstraß, Zahlbegriff 247 f., 
nicht differenzierbare Funk- 
tionen 252, Zahlen e und tt 3 25 . 

Wellenbewegungen 211 ff. 

Wesentliche Konstante 121. 

Wiechert, Elektrodjmamik 317, 
Äther und Materie 169, 319, 
elastische Nachwirkung 321. 

Wien, W., Beweg, d. Äthers 319. 

Winkel, Definition 256, 273. 

Wirbel, in d. Optik u. Hydro- 
djmamik 154, 312. 

Wirkung u. Gegenwirkung 102, 
114, 171. 

Wörterbuch zur Übersetzung d. 
Sätze der gewöhnlichen Geo- 
metrie in solche d. nichteukl. 
Geometrie 44, 258 — 268, der 
letztem in solche der projek- 
tivischen Geometrie 269. 

Wundt, physiolog. Psychologie 
249, Logik 279. 

Zähigkeit der Flüssigkeiten 178. 
Zahl, gebrochene 22, inkommen- 
surable 20 ff., 250 ff. 
Zahlbegriff 20 ff., 246 ff., 251. 
Zeemannsches Phänomen 176, 

243» 320. 
Zeit, absolute 91, 286 ff. 
Zentrifugalkräfte 117. 
Zufällige Fehler 208. 
'Zufallige Konstante 121, 300,3 1 o. 
Zusammensetzung v. Kräften 112. 
Zustand der Körper 77, 80 f., des 

Universums 134, eines Systems 

135» 190. 
Zustandsgieichung von van der 

Wals 323. 
Zustandsveränderungen 59ff.,305, 

182. 
Zwischenmedium 238. 






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